パスカルの定理の解説
$1. \ \triangle ABC$と$\triangle DEF$が$O$を相似の中心とする相似の位置にあるとき，
$H(O,k):\triangle ABC \mapsto \triangle DEF$
が成り立ち，$AD,BE,CF$が$O$を通るので，３直線$AD,BE,CF$が一点で交わることが分かります．
これから，この性質をよく用います．


$2. \ $２つの長方形を１辺を$x$軸上においてみれば，４辺はそれぞれ平行であるが，一般には相似でない．このように， この命題は三角形だけで成り立つ性質である．
1の命題で$AB=DE$のときは$\triangle ABC$≡$\triangle DEF$となり平行移動により２つの三角形を重ねることができる．

$3. \ $この問題の証明が
岩田至康　　　幾何学大辞典　　　　　槙書店
には３通りある（問題番号310番）.是非ご覧ください．ここで述べた方法はこの辞典の中の証明２です．
比較的よく見かける証明方法はメネラウスの定理を用いる方法で，それは証明３になっています．
とてもすばらしい辞典で手元において損はありません．


$4. \ $パスカルの定理が楕円で成り立つこと，すなわち右図で，$P,Q,R$が一直線上にあることはすぐ分かります．
というのは，一次変換で円の像は楕円であり，直線の像は直線であるからです．

パスカルの定理が双曲線や放物線で成り立つことは，円錐を平面$\alpha$で切ったときの切り口が円$C$で 平面$\beta$で切ったときの切り口が双曲線$H$とします．
平面$\alpha$上の点$P$に直線$OP$と平面$\beta$との交点を$Q$とし，
$f:\alpha \longrightarrow \beta$
を
$P \mapsto Q$
で定義すれば
$f:C \mapsto H$
であり，この射影$f$で直線は直線にうつるので，一般の円錐曲線でパスカルの定理が成り立つことが分かります．
なお，円で成り立つ性質を円錐曲線に拡張するときこの射影$f$をしばしば使います．


$5. \ $パスカルの定理が証明されれば，次のブリアンション(Brianchon)の定理の証明は一飛びです．

ブリアンションの定理
6角形$ABCDEF$が円に外接するなら，相対する頂点を結ぶ直線$AD,BE,CF$は１点で交わる．

一飛びといっても飛ぶには反転の知識が必要なのでその解説をします．といってもここで用いる部分だけの解説ですから たいしたことはありません． 反転に興味をもったら反転のページをご覧ください．

平面上に半径$ｒ$の円$O$が与えられたとき，円の中心$O$以外の平面上の点$P$に対して半直線$OP$上の点を$P'$を
$OP\cdot OP'=r^2$
で定義する．

この変換$P \mapsto P'$を$I(O)$と表し，円$O$を反転円とする反転変換という．
すなわち
$I(O):R^2\setminus \{ O\} \longrightarrow R^2\setminus \{ O\}$
ここで$R^2\setminus \{ O\}$は平面$R^2$より点$O$を除いたものである．
反転変換による$P$の像$P'$は
$P$が円の内部のとき，$P$を通り$OP$に垂直な直線と円と交点の片方を$A$としたとき$A$における接線と$OP$との交点であり，
$P$が円の外部にあるとき，$P$から円$O$に接線を$PA$を引き，$A$から$PO$に下した垂線の足である．
なぜならば，
$OP\cdot OP'=OA^2$
より
$OP:OA=OA:OP'$
が成り立つからである．

円$O$を反転円とする反転変換$I(O)$を用いて，平面上の$O$と異なる点には$O$を通らない直線が対応し， $O$を通らない直線には$O$と異なる点 が対応する相反（reciprocation）という変換 を次のように定義する．

$O$と異なる点$P$に対して，$I(O)：P \mapsto P'$によって$P'$を定義し，$P'$を通り$OP'$に垂直な直線を定義する． この直線$p$を点$P$の極線という．
$O$を通らない直線$p$に対して，$O$から$p$に下した垂線の足を$P'$とし
$I(O)：P' \mapsto P$
により$P$を定義する．
この点$P$を直線$p$の 極という．
右図で点$P$の極線が直線$AP'$で直線$AP'$の極が点$P$である．

極と極線について次の関係式を理解すればここでは十分である．
点$P$の極線を$p$，点$Q$の極線を$q$，点$R$の極線を$r$とする．
$1. \ Q$が$p$上にあれば$P$は$q$上にある．
$(\because) \ OP\cdot OP'=OQ\cdot OQ'$
より
$\triangle OPQ'$∽$\triangle OQP'$
したがって，
$\angle OP'Q=90^{\circ}$なら$\angle OQ'P=90^{\circ}$



$2. \ $3点$P,Q,R$が一直線上あれば，３直線$p,q,r$は１点で交わる．逆に，３直線$p,q,r$が１点で交われば３点$P,Q,R$ は一直線上にある．
$(\because) \ $３点$P,Q,R$が一直線上のあるとき，$O$からその直線に下した垂線の足を$A$,点$A$の逆点を$A'$とすると， ３直線$p,q,r$は点$A'$を通るから，１点で交わる． 逆に３直線$p,q,r$が１点で交わるときその交点を$A'$とすれば，３点$P,Q,R$は$A'$の極線上にあるので，一直線上にある．


$3. \ $2直線$p,q$の交点$A$の極線は直線$PQ$であるし，直線$PQ$の極は２直線$p,q$の交点である．
$(\because) \ $ 点$A$が２直線$p,q$の交点とすれば，$P，Q$はともに$A$の極線上にあるから$A$の極線は直線$PQ$である．
また，直線$PQ$上の任意の点の極線は直線$PQ$の極を通るから，直線$PQ$の極は２直線$p,q$の交点である．


準備は終了しました．
ブリアンションの定理は，円に外接する６角形$ABCDEF$で$AD,BE,CF$が一点で交わることです．
一方，６角形と円との接点を$P,Q,R,S,T,U$とすると，パスカルの定理は
$PU,RS$の交点を$L,PQ,ST$の交点を$M,QR,UT$の交点を$N$とすると$L,M,N$が一直線上にあることです．
ここで，頂点$A$の極線は$PU=a$,同様に$B,C,D,E,F$の極線はそれぞれ$b,c,d,e,f$です．
さらに，２直線$a,d$の交点が$L$であるから，直線$AD$は$L$の極線です．
同様に点$M$の極線が直線$BE$,点$N$の極線が直線$CF$となります．
したがって，
$L,M,N$が一直線上にある
$\Longleftrightarrow$
$AD,BE,CF$が１点で交わる．
が成り立つことが分かりました，このように，パスカルの定理，ブリアンションの定理のいずれかが 証明されれば自動的にもう一方が証明できるのです．




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