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9.(蝶定理) 円$O$と弦$PQ$がある．弦$PQ$の中点$M$を通る２本の弦$AB,CD$を引き，弦$AD$と弦$PQ$の交点を$X$,弦$BC$と弦$PQ$の交点を$Y$とする． このとき$M$は線分$XY$の中点である． 
証明直線$OM$に関する対称移動を利用して，この定理の証明をします． 直線$OM$は弦$PQ$の垂直２等分線より $S(OM)：B \mapsto E$ で$E$を定めると，$E$は円周上にあり， $PQ$‖$EB$，$MB=ME$ が成り立つ． 右図で 1=2=3=4 ・・・@ さらに 8+1=8+3=180°（∵四角形ADEBは円に内接する） より４点$X,D,E,M$は円に内接する． したがって 6=5=7 ・・・A @，Aおよび$ME=MB$より $\triangle MEX \equiv \triangle MBY$ $\therefore MX=MY$ 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |