問題の解答
9.(蝶定理)
円$O$と弦$PQ$がある.弦$PQ$の中点$M$を通る2本の弦$AB,CD$を引き,弦$AD$と弦$PQ$の交点を$X$,弦$BC$と弦$PQ$の交点を$Y$とする. このとき$M$は線分$XY$の中点である.
証明
直線$OM$に関する対称移動を利用して,この定理の証明をします.
直線$OM$は弦$PQ$の垂直2等分線より
$S(OM):B \mapsto E$
で$E$を定めると,$E$は円周上にあり,
$PQ$$EB$,$MB=ME$
が成り立つ.
右図で
1=2=3=4 ・・・@
さらに
8+1=8+3=180°(∵四角形ADEBは円に内接する)
より4点$X,D,E,M$は円に内接する.
したがって
6=5=7 ・・・A
@,Aおよび$ME=MB$より
$\triangle MEX \equiv \triangle MBY$
$\therefore MX=MY$









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