7.正方形の紙$ABCD$を折り，点$B$が辺$CD$上の点$B'$となるようにし，折った後の点$A$の位置を点$A'$とする． また，$AD$と$A'B'$との 交点を$E$とする． このとき，$\triangle EB'D$の内接円の半径を$r$とすると $r=A'E$ が成り立つことを証明せよ． （日本の算額） 解答 線分$BB'$の垂直二等分線を$n$とし，$C',D'$を $S(n):C \mapsto C',D \mapsto D'$ で定義すると $S(n):(正方形ABCD) \mapsto (正方形A'B'C'D')$ である． ここで，$B'$が$CD$上にあるから，$B$は$C'D'$上にある． $B$から$EB'$に下した垂線の足を$H$とすると $BH=BA=BC$ であるから，点$B$は$\angle AEB',\angle CB'E$の２等分線の交点であり，$\triangle DEB'$の傍心である． $\therefore DA=\dfrac{DE+EB'+B'D}{2} \ \ $(理由は下で説明) $\therefore A'E=A'B'-EB'=\dfrac{DE+DB'-EB'}{2}=r$ 
右図で，$I$は$\triangle ABC$の傍心であり，$J,L,K$は傍接円の接点である． $AL=AJ,BL=BK$ であるから $AB+BC+CA=CJ+CK$ $\therefore CJ=\dfrac{AB+BC+CA}{2}$ 
右図より，直角三角形$ABC$の内接円の半径$r$は$r=\dfrac{AB+BC-AC}{2}$ である． この問題は算額の問題で 深川英俊・ダンべトー 共著 日本の幾何 森北出版 で取り上げられています（p.60 例題3.1）．あわせてご覧ください． この問題は高校生に出題すると，いろいろな解答が寄せられます．優れた問題の１つです． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |