3.ある円に内接している四角形$ABCD$があり，この四角形は辺$AB$上に中心を持つ別の円に他の３辺が接している． このとき， $AD+BC=AB$ であることを証明せよ． （1985年IMO）
解答 $AD$と$BC$の交点を$P$として$A',B'$を $S(OP):A \mapsto A',B \mapsto B'$ で定義する． 右図で１の角が等しい．（∵ 四角形ABCDが円に内接及び対称性） ∴ $DC$‖$B'A'$ したがって，右図の２の角が等しい． ∴ $A'C=A'O$ さらに対称性より $OA'=OA$ ∴ $A'C=OA$ また，３の角に注目することにより $B'D=BO=OB$ 以上をまとめると $AD+BC=AD+BA'+A'C$ $=(AD+B'A)+A'C$ $=OB+OA=AB$ 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |