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12. $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$の四角形$ABCD$の面積を$S$とする．このとき $S\leqq \dfrac{ac+bd}{2}$ が成り立つことを証明せよ．等号が成り立つ場合も調べよ． （第２４回 オーストリア・ポーランド数学オリンピック）
証明線分$BD$の垂直二等分線を直線$n$とし，点$A'$を $S(n):A \mapsto A'$ で定義する． $\triangle ABD$の面積と$\triangle A'BD$の面積は等しい． したがって， $2S=bd\sin \angle A'BC +ca\sin \angle A'DC$ $\leqq bd+ac$ 次に等号の成り立つ場合を調べる． $\angle A'BC=90^{\circ},\angle A'DC=90^{\circ}$ より $\angle A'+\angle C=180^{\circ}$ であるから， $\angle A+\angle C=\angle A'+\angle C=180^{\circ}$ したがって，四角形$ABCD$は円に内接する． 
さらに，$\angle A'BC=\angle ADB+\angle DBC=90^{\circ}$ より（$\angle A'DC=90^{\circ}$は円に内接することより不要） $\angle ADB+\angle DAC=90^{\circ}$ したがって，対角線が直交する． 以上をまとめると，等号が成り立つのは，四角形が円に内接しかつ対角線が直交するときである． 解説 問題の不等式よりこの問題はトレミーの定理を用いる方が自然であろう． トレミーの定理を用いると次のようになる． 対角線$AC=p,BD=q$のなす角を$\theta$とする． $2S=pq \sin \theta$ $\leqq pq $・・・@ $\leqq ac+bd$・・・A @で等号が成り立つのは対角線が直交する場合で，Aで等号が成り立つのは円に内接するときです． トレミーの定理 $pq \leqq ac+bd$ でどっちが大きいのか分からなくなることがあります． そのときはひし形を考えると分かります．扁平なひし形を考えれば左辺$pq$は小さくなります． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |