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10. 半径１の円周上の２点$A,B$を結ぶ曲線の長さが2より短いなら，この曲線は必ずこの円の半円の内部に含まれる． 
証明対偶を証明する． 曲線$AB$がいずれの半円にも含まれないとする． $AF$をこの円の直径とする． $F$と$B$が一致すれば $AB\geqq 2$ である． したがって，$F$と$B$が異なるときに，曲線$AB$がいずれの半円の内部にも含まれないとき $AB\geqq 2$ を示せばよい． $O$を円の中心とする． $\angle FOB$の２等分線を直径$DE$とする．曲線$AB$は半円に含まれないから， 曲線$AB$と直径$DE$は必ず交わりその交点の一つを$C$とする． ここで $S(DE):($曲線$CB) \mapsto ($曲線$CF)$ とする． 曲線$ACB=$曲線$AC+$曲線$CB=$曲線$AC+$曲線$CF\geqq AF=2$ したがって証明された． 解説 同じ図を利用すると，次の命題をも証明できる．
命題２点$A,B$が半径１の円周上の点で曲線$AB$がこの円を２等分するなら曲線$AB$の長さは２以上である． 言い方を変えれば，面積を２等分す曲線のうち一番短いものは直径である． 証明 曲線$AB$が円の面積を２等分するとき， $AF$が円の直径となるよう$F$を定め，$\angle FOB$の２等分線を直径$DE$とする． 仮定より直径$DE$と曲線$AB$は交わりその交点の１つを$C$とする． $S(DE):($曲線$CB) \mapsto ($曲線$CF)$ で曲線$CF$を定めれば 曲線$AB$の長さは直径$AF$より長いことが分かる． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |