問題の解答

5.
$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$D$とする.このとき,次が成り立つことを証明せよ.
(1) $AB>AC \Longleftrightarrow \angle CAD > \angle BAD$
(2) $AB+AC>2AD>|AB-AC|$


解答
点$E$を
$T(\overrightarrow{AD}):D \mapsto E$
で定義すると,四角形$ABEC$は平行四辺形.
したがって,
$AB>AC$
$\Longleftrightarrow AB>BE$
$\Longleftrightarrow \angle BEA>\angle BAE$
$\Longleftrightarrow \angle CAD>\angle BAD$


また,
$AB+AC=AB+BE>AE$
$=2AO>|AB-BE|=|AB-AC|$



ここで用いた
$\triangle ABC$で
$AB>AC \Longleftrightarrow \angle C < \angle B$
は次のように証明すればよい.

証明
$(\Rightarrow)$
点$D$を辺$AB$上に
$AD=AC$
を満たすようにとれば
$\angle B < \angle ADC =\angle ACD < \angle C$

$(\Leftarrow)$
$\dfrac{\angle B +\angle C}{2}<\angle C$
より辺AB上に点Dを
$\angle ACD=\dfrac{\angle B +\angle C}{2}$
を満たすようにとる.
このとき
$AC=AD$<$AB$



逆は転換法を用いてもよい.


平面における幾何学変換の目次


全体の目次