5.$\triangle ABC$の辺$BC$の中点を$D$とする．このとき，次が成り立つことを証明せよ． (1) $AB>AC \Longleftrightarrow \angle CAD > \angle BAD$ (2) $AB+AC>2AD>|AB-AC|$ 解答 点$E$を $T(\overrightarrow{AD}):D \mapsto E$ で定義すると，四角形$ABEC$は平行四辺形． したがって， $AB>AC$ $\Longleftrightarrow AB>BE$ $\Longleftrightarrow \angle BEA>\angle BAE$ $\Longleftrightarrow \angle CAD>\angle BAD$ また， $AB+AC=AB+BE>AE$ $=2AO>|AB-BE|=|AB-AC|$ 
ここで用いた$\triangle ABC$で $AB>AC \Longleftrightarrow \angle C < \angle B$ は次のように証明すればよい． 証明 $(\Rightarrow)$ 点$D$を辺$AB$上に $AD=AC$ を満たすようにとれば $\angle B < \angle ADC =\angle ACD < \angle C$ $(\Leftarrow)$ $\dfrac{\angle B +\angle C}{2}<\angle C$ より辺AB上に点Dを $\angle ACD=\dfrac{\angle B +\angle C}{2}$ を満たすようにとる． このとき $AC=AD$＜$AB$ 逆は転換法を用いてもよい． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |