4.△$ABC$の辺$BC,CA,AB$上に点$P,Q,R$を $BP:PC=CQ:QA=AR:RB=t:1-t$ を満たすようにとる． 線分$AP,BQ,CR$の長さを３辺に持つ三角形の面積を$K$, △$ABC$の面積を$L$とするとき $\dfrac{K}{L}$を求めよ． （1991年 日本数学オリンピック） 解答 点$S$を $T(\overrightarrow{BP}):Q \mapsto S$ で定めると， $BQ=PS$ さらに $QS:BC=BP:BC=CQ:CA$ および $\angle CQS=\angle QCB$ より， △$CQS$∽△$ACB$ 相似比に注目すれば $SC=AR$ 四角形$ARCS$が平行四辺形であるから $T(\overrightarrow{RA}):RC \mapsto AS$ 以上で，△$APS$が$AP,BQ,CR$の長さが３辺の三角形であることが分かった． △$ABC$の面積を$１$とすると， △$ABP=t$, △$ACS=$△$ARC=t$ さらに， △$PCS=$△$PCQ=t(1-t)$ $\therefore \dfrac{K}{L}=1-t(1-t)$ 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |