11.推定(2)
$\bullet$母平均の推定
母平均$m$,母標準偏差$\sigma$の母集団より，抽出された大きさ$n$の標本平均$\bar{X}$は，$n$
が大きい時，正規分布$N(m,\frac{\sigma ^2}{n})$に従うと考えてよい．
このとき
$P(-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq \bar{X}-m \leqq 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0.95$
が成り立つね．
A:それは標準偏差が$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$だからですね．
T:ということは，辺々$-1$をかけ，
$P(-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq m-\bar{X} \leqq 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0.95$
さらに，$\bar{X}$を移行して
$P(\bar{X}-1.96\sigma \leqq m \leqq \bar{X}+1.96\sigma)=0.95$
が成り立つね．これは母平均$m$が不等式
$\bar{X}-1.96\sigma \leqq m \leqq \bar{X}+1.96\sigma \cdots (\sharp)$
を満たす確率が$0.95$という意味だ．
$(\sharp)$で示される母平均$m$の範囲を母平均$m$に対する信頼度$95$％の信頼区間といい
$[\bar{X}-1.96\sigma , \bar{X}+1.96\sigma]$
と表す．
式の$1.96$を$2.58$にかえれば信頼度$99$％の信頼区間になる．
この内容を振り返ると，
母集団の平均と標準偏差を与えたとき，標本平均の信頼度$95$％の信頼区間を調べ，そのことより標本平均から母平均の範囲を
調べたわけだが，母標準偏差を用いているね．これが問題点だ．
A:母平均を推定するのに，母標準偏差を用いるのはおかしいですね．
T:次の性質が用いられるんだ．
標本の大きさが大きい時は，母標準偏差と標本の標準偏差は同じ値として差し支えない
A:これはどういう風に理解するといいんですか．
T:母集団と抽出された標本の分布は変わらないと考えるといいかな．例えば，母集団の確率分布が
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline
P & p_1 & p_2 & p_3 & p_4 \\ \hline
\end{array}$
のとき，抽出した大きさ$n$の標本の度数分布はどうなる．
A:度数分布ですか．
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline
\text{度数} & np_1 & np_2 & np_3 & np_4 \\ \hline
\end{array}$
です．
T:だから，母集団と標本の確率分布は変わらない，だから標準偏差も変わらないと考えればいいよ．
ただ厳密にいうとこれは正確でないんだ．実際は
平均$m$,分散$\sigma ^2$の母集団から，無作為抽出した大きさ$n$の標本を
$X_1,X_2,\dots ,X_n$
その標本平均を
$\bar{X}(=\dfrac{X_1+\cdots +X_n}{n})$
とするとき
$V=\dfrac{1}{n-1}\{(X_1-\bar{X})^2+\cdots +(X_n-\bar{X})^2\}$
の値が母集団の分散と一致するんだ．
A:通常の分散の定義なら，
$V=\dfrac{1}{n}\{(X_1-\bar{X})^2+\cdots +(X_n-\bar{X})^2\}$
なのに，$n$が$n-1$に変わっているんですね．証明はどうするんですか．
T:証明は難しくない．単純な計算だ．
まず，$X_i$や$\bar{X}$は確率変数なので，$V$も確率変数で$V$の値は$E(V)$の値だよ．分かりやすく言うと，100回ぐらい繰り返し，$V$
を計算し，その平均を取ったといいう意味だ．
それでは計算しよう．
分かっていることは
$E(X_i)=m,V(X_i)=E(X_i^2)-m^2=\sigma ^2$
および，$X_i,X_j (i\neq j)$は互いに独立
なお，以下$\sum$は特別な指定がないとき$\displaystyle \sum_{i=1}^n$の意味だよ．
$\sum (X_i-\bar{X})^2=\sum X_i^2-2(\sum X_i)\bar{X}+\sum \bar{X}^2=\sum X_i^2 -n\bar{X}^2\cdots (*)$
次に$E(\bar{X}^2)$を計算する．
$\displaystyle \bar{X}^2=\left(\dfrac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right)^2=\dfrac{\sum X_i^2+ \sum_{i\neq j}X_iX_j}{n^2}$
$E(X_iX_j)=E(X_i)E(X_j)=m^2,E(X_i^2)=\sigma ^2+m^2$であるから
$E(\bar{X}^2)=\dfrac{n(\sigma ^2+m^2)+n(n-1)m^2}{n^2}=\dfrac{n\sigma ^2+n^2m^2}{n^2}=\dfrac{\sigma ^2}{n}+m^2$
$(*)$より
$E(\sum (X_i-\bar{X})^2)=\sum E(X_i^2)-nE(\bar{X}^2)$
$=n(\sigma ^2+m^2)-n(\dfrac{\sigma ^2}{n}+m^2)$
$=(n-1)\sigma ^2$
したがって，
$E\left(\dfrac{1}{n-1}\{(X_1-\bar{X})^2+\cdots +(X_n-\bar{X})^2\}\right)=\sigma$
となるわけだ．
確率変数の計算だから少しわかりづらいかも．
$n$は大きい値を用いているから，実際は使い慣れた
$V=\dfrac{1}{n}\{(X_1-\bar{X})^2+\cdots +(X_n-\bar{X})^2\}$
を用いてかまわないわけだよ．
A:分かりました．
T:問題を解こう．
例題
全国の高校生から1000人を抽出してその身長を調べたところ平均値が$161.5\mathrm{cm}$,標準偏差は$6.5\mathrm{cm}$
であった．信頼度$95$％で全国の高校生の身長の平均を推定せよ．
A:出来そうです．やってみます．
標準偏差が$6.5$ですね．これを使うんですね．
T:ここは注意してくれよ．理論は，母集団の標準偏差を使っているが，母集団の標準偏差と標本の標準偏差はあまり変わらないとして，
標本の標準偏差を母集団の標準偏差として用いるんだよ．
あとは簡単です．
$1.96\times \dfrac{6.5}{\sqrt{1000}}=1.96\times \dfrac{6.5}{31.6}=0.4$
したがって，母集団の平均身長$m$の信頼度$95$％の信頼区間は
$161.1\leqq m\leqq 161.9$
T:よくできました．このように標本を$1000$人ぐらい取れば相当正確に母集団の平均が推定できるわけだね．
例えば，センターテストの結果の中間報告が早い時期に発表されるね．
標本を何人取っているかは知らないけど，あれは相当正確だよ．
$\bullet$母比率の推定
もう一つの話題が母比率の推定だ．これは，母平均の推定の一つだが特によく用いられる．
母集団の中で，ある性質$A$を持つ割合を$p$とする．この$p$を母集団の性質$A$を持つも母比率という．
$A$がコロナウイルス等の感染症なら，母比率は罹患率というし，製品の不良品なら不良率という．
ここでは，コロナウイルスを想定して考えよう．
A:これが目的の内容ですね．
T:そうだね．これを説明するために今までの内容があるといってもいいね．
まず，二項分布の復習をしよう．
A:覚えてないな．レジュメを見てみますね．
事象$A$が起こる確率$p$の試行を$n$回行う反復試行で，起こる回数を$X$とすると，$X$は確率変数で，この確率変数$X$
が従う確率分布を二項分布という
ということです．
T:その都度定義を見直すといいと思うよ．
さて，罹患率が$p$の母集団から，大きさの$n$の無作為標本を抽出しということは，
事象$A$が起こる確率$p$の試行を$n$回行う反復試行ということだね．
A:言い方を変えただけですね．
T:二項分布の平均，分散を求めたときと似たことをやるよ．
母集団から$n$人を選ぶとき$i$番目に選んだ人について
$\begin{cases}
X_i=1 \ \ (i\text{番目に選んだ人が感染している})\\
X_i=0 \ \ (i\text{番目に選んだ人が感染していない})
\end{cases}
$
によって$X_i$を定める．
このとき，
$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$
とすると，$X$は大きさ$n$の標本の中で感染者の人数を表す確率変数で，$X$は二項分布$B(n,p)$に従う．
標本平均
$\bar{X}=\tfrac{X}{n}=\dfrac{X_1+\cdots +X_n}{n}$
は標本の中の感染者の割合で，この割合を標本比率という．
二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$の平均，分散は幾つだい．
A:ちょっと待ってください．
$E(X)=np,V(V)=np(1-p)$
です．
T:$n$が大きい時，二項分布は正規分布と考えていいから，正規分布で表すとどうなる．
A:平均と分散で決まるから$N(np,np(1-p))$となります．
T:それでは，標本平均$\bar{X}$の平均と分散はどうなる．
A:$\bar{X}=\frac{X}{n}$だから
$E(\bar{X})=\dfrac{E(X)}{n}=p$
$V(\bar{X})=\dfrac{V(X)}{n^2}=\dfrac{p(1-p)}{n}$
T:$X$が正規分布に従うとき，$\bar{X}=\frac{X}{n}$も正規分布に従うから，$\bar{X}$は正規分布$N(p,\frac{p(1-p)}{n})$
に従うわけでだ．
したがって，標本比率$\bar{X}$について
$P\left(-1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\leqq \bar{X}-p \leqq -1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95$
が成り立つね．
辺々$-1$倍して
$P\left(-1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\leqq p-\bar{X} \leqq -1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95$
となる．
したがって，次のようにまとめることができる．
標本の大きさが大きい時，標本比率を$\bar{X}$とすると，母比率$p$の信頼度$95$％の信頼区間は
$\left[\bar{X}-1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},\bar{X}+1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$
である．
ここで，母比率の範囲を調べるの式の中に母比率$p$があるのでは都合が悪い．その問題を解決しよう．
罹患率$p$,感染していると$1$,感染していないとき$0$としたときの母集団の確率分布はどうなる．
A:それは簡単で
A:$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X & 1 & 0 \\ \hline
P & p & 0 \\ \hline
\end{array}$
となります．
T;この確率分布の平均は
A:$E(X)=p$です．
T:そうだね．母比率，ここでは罹患率だが，が母平均で$\bar{X}$が標本平均だね．大数の法則で
$p$と$\bar{X}$は殆ど変わらないといえるから，$p$を$\bar{X}$に書き直し
標本の大きさが大きい時，標本比率を$\bar{X}$とすると，母比率$p$の信頼度$95$％の信頼区間は
$\left[\bar{X}-1.96\sqrt{\dfrac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}},\bar{X}+1.96\sqrt{\dfrac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}\right]$
となる．
次の問題を解いてごらん．
例題
東京にある大学病院で，入院予定者$1000$人に対して，コロナウイルのPCR検査を実施したところ$30$人の感染者がいた．
東京都のコロナウイルス感染者の比率$p$の信頼度$95$％の信頼区間を求めよ．
A:できそうです．
標本比率は
$\dfrac{30}{1000}=0.03$
で$n=1000$より
$1.96\sqrt{\dfrac{0.03\times 0.97}{1000}}=0.01$
したがって，
$0.02-0.01 \leqq p \leqq 0.02+0.01$
$\therefore 0.01\leqq p\leqq 0.03$
$1$％から$3$％となりました．
全然難しくないですね．
T:それは君が順序だてて学んできたからだよ．立派なものだよ．
予定した内容で残っているのは検定だけだ．それは次回にしよう．多分次回が最終回だ．
A:どうもありがとうございました．
12.検定
全体の目次
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