A:先生こんにちは．
T:来たね．
A:今回が最終回ですね．なんか寂しいな．
T:大分地力がついてきたよ．勉強は基本的には一人でやるものだ．興味があるものとか，以前学んだけど， 理解できなかったことから学んだらどうだい．私も疲れたけど，とても楽しかったよ．君が来る前は引きこもり気味だったのがそれが治ったようだ．案外感謝するのは 私の方かもしれないな．そのうち学びたいことがあったらまた一緒に学ぼう．
A:ほんとですか．そういってくれるとうれしいな．
それでは始めよう．
今日は検定だ．検定の説明のために一つの話をするよ．
お祭りで夜店を歩いていた時，ある店で．
「このサイコロは正確だ．どの目の出方もすべて正確に$\frac{1}{6}$だ」
と言っていたので，
「1の目も正確に$\frac{1}{6}$出るかい」
と聞いたら，
「当然だ」
といった．じゅあ確かめる．
「ほら，サイコロを6回振った時１の目が２回出たじゃないか」$\cdots (*)$
と言ったら，多分
「お客さん勘弁してよ」
というでしょう．
しかし，もし$6$回振って全部$1$の目が出たら$\cdots (**)$
正確にできているとは思えません．
すさわち，$(*)$の差は偶然に起こる許容範囲ですが，$(**)$の差は偶然に起こるであろう許容範囲を超えている．どの程度なら正確でないと判断できるかを考えたい．
実際確率を計算すると
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.05 & 0.008 & 0.0006 & 0.00002 \\ \hline \end{array}$
となる．$(**)$は10万回行えば2回程度起こるであろうが，これは許容を範囲を超えていると考えるわけだね．
あらかじめ定められた値(ここでは$\frac{1}{6}$)と比べてある試行の結果$X$が偶然起こる許容範囲を超えているとき 2つの差は有意である(自然に起こることでなく別に意味がある)という．
有意である差を定め，ある試行の結果が偶然に起こる許容の範囲内か 許容範囲を超えているかを判断することを検定というんだ．
A:有意である差はどう定めるんですか．
T:それが大事だね．
確率変数$X$が標準正規分布に従うとき，一般には
$P(-1.96\leqq X\leqq 1.96)=0.95\cdots (*)$
$P(-2.58\leqq X\leqq 2.58)=0.99\cdots (**)$
を利用するんだ．
ある試行の結果得られた値が，あらかじめ定めた値(この値を仮説という)により得られた範囲$(*)$の範囲にあるとき 仮説は偶然の許容範囲にあると考え， $(*)$の範囲にない時仮説は偶然の許容範囲を超えていると考える．この判断を有意水準$5$％の検定 または危険率$5$％の検定という．
もちろん$(**)$を用いれば有意水準(危険率)$1$％の検定である．
検定で，仮説が許容範囲に入っていないとき，仮説は正しくないと考え，この判断をすることを仮説を棄却するという．
有意水準(危険率)$5$％の検定で棄却するということは，正しくないと判断するが，その判断が間違える可能性(危険率) は$5$％ぐらいあるよという意味です．
検定の一般的な手順を書くと次のようになる．

A:電池の寿命時間の分布の$95$％の範囲を調べれば解決しますね．
T:その通り．
A:母集団の標準偏差は分からないが，これは標本の標準偏差を用いるのですか．
T:推定の時と同じで，母集団の分布と標本の分布は変わらないとみるんだね．
A:母集団の標準偏差が$\sigma$のとき，大きさ$n$の標本平均$\bar{X}$の標準偏差は$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$だから，
T:ちょっと待って．検定の問題を解くの初めてだから丁寧に解こう．
まず仮説は何だい．
A:A社の電池の寿命時間は$60$時間である．
T:標本平均が従う正規分布は
A:平均が$60$で,母分散を$\sigma$とすると$N(60,\frac{\sigma ^2}{10})=N(60,\frac{7.4^2}{10})$です．
T:信頼度$95$％の信頼区間は．なお，信頼区間の外側を有意水準（危険率）$5$％の棄却域と呼ぶ．
A:$60-1.96\times \dfrac{7.4}{\sqrt{10}}\leqq \bar{X} \leqq 60+1.96 \times \dfrac{7.4}{\sqrt{10}}$
$1.96\times \dfrac{7.4}{\sqrt{10}}=4.6$
だから
$55.4\leqq \bar{X}\leqq 64.6$
$63.7$はこの範囲に入っているから棄却できない． すなわち，A社の電池の寿命が平均$60$時間であるが間違えているとは言えない．
T:よくできました．
A:分かってしまうととても簡単ですね．誰でもできるんじゃないですか．
T:分かってしまうとなんでもそういうもんなんだよ．統計の知識がない人が君見ると君を神と思うかもしれない．
A:これで女性にもてたらいいな．
T:勝手にやってごらん．君は今回統計を学び，数学ができる出来ないの差は小さいものだと分かったんじゃないかな．私は，中学生，高校生に長い間数学を教えてきたけど， 成績の良し悪しは成熟度と関係が深いと感じているんだ．分かりやすく言うと，成績がいいのは単に早熟なだけだと思うことが少なくない．私は専門的なことはわからなけど， 人間の成熟度は20歳から25歳で全員が追いつき，それからどう生きるか，社会の中でどうキャリアを積んでいくかが大事なんじゃないかな．論語の中に 「年少者だからといって，すべて自分より後輩だと思ってはならぬ．年少者という者は馬鹿にできないものじゃ．ぐずぐずしているとすぐ追いついてくるのでな． だが，四十，五十になっても，徳をもって世に聞こえないようでは，もうその人の将来は知れたものじゃ」（論語，子罕篇：下村湖人著　論語物語より）
これは「後世畏るべし」として有名だが，三十，四十でどう生きるかが大事だという意味と思っている．
A:先生，言葉が重いですね．
T:私はこんなことを言う資格はないんだけどね．学生時代の友人にこんなこと言ったら笑われちゃうよ．
話を戻すと， 大事なことは，問題を解くことではなく，使った内容を一つ一つ確認してほしいんだ．
例えば，この問題を解くうえで用いたことを書いてみると．
1.標本平均の平均，分散，標準偏差がどうなるか．
2.$95$％の信頼区間，$99$％の信頼区間
3.電池の寿命時間の分布を正規分布とみて問題を解いている．
これらの内容をその都度復習することが大切だよ．多分君はこの点が欠けていたんじゃないかな，問題を沢山解けば いいというもんじゃなく，問題を解くとき，使った性質を確認していくんだ．これから学ぶときに参考になると思うよ．
A:私の学び方の欠点が分かってきました．
T:先生の言うことは参考意見だよ．最後に自分で決めるものだ．
それでは最後の問題を解こう．次は母比率の検定だ．

例題
あるテレビ番組の視聴率が$10$％といわれている．無作為抽出した$1600$世帯を選らんで調査したところ，$120$世帯が 視聴していた．視聴率は$10$％とみなせるかどうかを有意水準$5$％で検定せよ．

A:やってみます．
まず，仮説をあるテレビ番組の視聴率は$10$％である．
$X$を無作為抽出中のテレビ番組を視聴していた台数とすると，$X$は二項分布$B(1600,0.1)$に従う．
二項分布の平均$m$,分散$\sigma ^2$は
$m=1600\times 0.1=160,\sigma ^2=1600\times 0.1\times 0.9=12^2$
したがって，$95$％の信頼区間は
$160-1.96\times 12\leqq X\leqq 160+1.96\times 12$
より
$136.5 \leqq X\leqq 182.5$
$120$はこの範囲にないから，仮説は棄却される．したがって，このテレビ番組の視聴率は$10$％であるとは言えない．