11.推定

A:先生こんにちは．
T:相変わらず元気そうだね．
A:コロナも大分収まってきましたね．
T:まだくすぶっているけど，どうなるのかな．
それでは始めようか．
ここまで，よく頑張ってきたね．もう一息だ．これからは仕上げだ．難しいところはないんじゃないかな．
今回は推定だ．これは，数学でよく出てくる逆に似ているんじゃないかな．
まず，次の例を考えるよ．
例
下の表は，$10000$人の生徒の体重のデータである．
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{階級} & \text{階級値} & \text{度数} &\text{相対度数} \\ \hline 50\sim 60 & 55 &3000 & \frac{3}{10} \\ \hline 60\sim 70 & 65 &5000 & \frac{5}{10} \\ \hline 70\sim 80 & 75 &2000 & \frac{2}{10} \\ \hline \end{array}$
すでに扱った例の人数を$100$倍しただけだ．
これから学ぶ上でいくつかの用語が必要で，というより用語があった方が説明しやすいだけなんだけど，それから始めよう．学ぶときは，概念を 理解することが大事で，用語は時間がたてば自然に身につくものだ．一所懸命覚えることなどバカげているよ．
さて，この$10000$人の生徒の体重を調べるの方法は2つあり，一つは全部を調べることでこれを全数調査という．もう一つは 何人かを選んで調べる方法でこれを標本調査という．
これから考えるのは標本調査だよ．
標本調査の場合，調査対象全体を母集団という．この例は１万人の生徒の体重のことだ．
上の表で表した，母集団の確率分布を母集団分布，母集団の平均，分散，標準偏差をそれぞれ母平均， 母分散，母標準偏差という．
選び出す集合を標本といい，母集団の数，標本の数をそれぞれ母集団の大きさ，標本の大きさという．
母集団から標本を選ぶとき，意図を持たない，すべてが等確率で選ぶ方法を無作為抽出という．
母集団から標本を選ぶとき，毎回元に戻しながら1つずつ選ぶことを復元抽出といい， 毎回元に戻さないで１つずつ選ぶことを非復元抽出という．
これからやるのは，母集団と標本の関係を調べ，標本から母集団の状況を推定することです．
どういう風にやるのかなと興味を持ちながら聞いたらいいんじゃないかな．

上の例の母集団より一人を選びその変量(体重)を$X$とするとき，$X$の確率分布はどうなる．
A:母集団分布と一致するでしょう．すなわち
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 55 & 65 & 75 \\ \hline P & \frac{3}{10} & \frac{5}{10} & \frac{2}{10} \\ \hline \end{array}$
です．
T:そうだね．母集団より一人を抽出してえられる確率変数の確率分布$X$は母集団分布と一致するわけだね． 当然，$X$の平均，標準偏差は母平均，母標準偏差と一致するね．
次に，母集団から$n$人を無作為抽出するよ．
１人目の体重を$X_1$,２人目の体重を$X_2$,・・・，$n$人目の体重を$X_n$として，新しい確率変数$\bar{X}$を
$\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$
よって定義する．この確率変数$\bar{X}$を標本平均という．
ここで，標本平均$\bar{X}$の分布と母集団分布の関係を調べよう．
$n$人を抽出するとき，復元抽出，非復元抽出，君ならどちらを選ぶ．
A:非復元抽出でしょう．だって，同じ人を選んだらダメでしょう．
T:その通りだね．どんな調査でも非復元抽出が一般的と思うが，まず計算がし易い復元抽出で調べ，その後 非復元抽出の場合を計算する.そして，母集団の人数が大きい時２つは殆ど変わらないことを示し，復元抽出で議論をして構わないという 論の進め方をするよ．

先ず，復元抽出を考える．
母平均を$m$,母標準偏差を$\sigma$とする．各$X_i$の平均，標準偏差はどうなる．
A:各$X_i$は大きさ１の標本であるから
$E(X_1)=E(X_2)=\cdots =E(X_n)=m$
$\sigma (X_1)=\sigma (X_2)=\cdots =\sigma (X_n)=\sigma$
です．
T:$n$人の標本の標本平均$\bar{X}$の平均は．
A:$E(\bar{X})=E(\dfrac{X_1+\cdots +X_n}{n})=\dfrac{E(X_1)+\cdots +E(X_n)}{n}=m$
となります．
T:よくできました．
次に，$\bar{X}$の分散を計算しよう．
ここで考えているのは復元抽出であるので，確率変数$X_1,X_2,\dots ,X_n$はどの２つも互に独立である. このとき，分散$V(\bar{X})$を計算してごらん．
A:$V(\bar{X})=V(\frac{X_1+\cdots +X_n}{n})=\dfrac{V(X_1+\cdots +X_n)}{n^2}$
$=\dfrac{V(X_1)+\cdots +V(X_n)}{n^2}=\dfrac{\sigma ^2}{n}$
T:よくできた．それでは，$\bar{X}$の標準偏差は
A:$\sigma (\bar{X})=\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}$です．
T:それでは，非復元抽出の場合を考えよう．これは私がやろう．
非復元抽出の場合の$n$人の標本を$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$とし，それらの標本平均を$\bar(Y)$とする．
前回の内容を見ながら変形していこう．
非復元抽出は選んだものを１列の並べて考えると扱いやすい．
$Y_1$は母集団分布と一致し，任意の$i$で$Y_1$と$Y_i$は分布が同じであるから
$E(Y_1)=E(Y_2)=\cdots =E(Y_n)=m$
$\sigma (Y_1)=\sigma (Y_2)=\cdots =\sigma (Y_n)=\sigma$
がなりたつ．
平均は$E(\bar{Y})=m$は同様である．
母集団の大きさを$N$とすると,分散は前回示したことより
$V(Y_1+\cdots +Y_n)=\dfrac{n(N-n)}{N-1}\sigma ^2$
である．
したがって，
$V(\bar{Y})=V(\frac{Y_1+\cdots +Y_n}{n})=\dfrac{1}{n^2}V(Y_1+\cdots +Y_n)=\dfrac{N-n}{n(N-1)}\sigma ^2$
$\therefore \sigma (\bar{Y})=\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
まとめると次のようになる．

母平均$m$,母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を無作為抽出する．
復元抽出の時，標本平均$\bar{X}$の平均$E(\bar{X})$,標準偏差$\sigma (\bar{X})$は
$E(\bar{X})=m,\sigma (\bar{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
であり，
非復元抽出の時，母集団の大きさを$N$とすると, 標本平均$\bar{Y}$の平均$E(\bar{Y})$,標準偏差$\sigma (\bar{Y})$は
$E(\bar{Y})=m,\sigma (\bar{Y})=\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
である．
母集団の大きさ$N$が標本の大きさ$n$に比べて十分大きいとき$\frac{N-n}{N-1}$は$1$ に近いから，標本平均の標準偏差は非復元抽出も復元抽出として扱ってよいことが分かる．
さらに，もう一つどうしても認めなければならない性質がある．それは
母平均$m$,母標準偏差$\sigma$のどのような確率分布の母集団であっても，そこから抽出された 大きさ$n$の無作為標本の標本平均$\bar{X}$は$n$が大きいとき， 近似的に正規分布$N(m,\frac{\sigma ^2}{n})$ に従う．
です．確率変数$\bar{X}$の平均，標準偏差はすでに示してあるが，分布が正規分布であるということです．
A:この証明は難しいんですか．
T:私は証明はわからない．ただ，二項分布が近似的に正規分布であることを振り返ると納得できると思うよ．
二項分布の説明としてサイコロを$n$回振った時の１の目が出る回数としたが，ここでは
例
袋の中に多数の製品があり，その中の不良品の割合は$\frac{1}{6}$である．この箱の中から無作為に$50$ 個の製品を抽出するとき，$k$番目に不良品なら$X_k=1$,良品なら$X_k=0$で確率変数$X_k$を定める．この時，標本平均
$\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2+\cdots +X_{50}}{n}$
を考える．
このとき，$Y=X_1+X_2+\cdots +X_{50}$は二項分布だろう．
A:そうですね．これは二項分布$B(50,\frac{1}{6})$です．前回このように考えて，二項分布の平均，分散を計算しました．
T:母集団分布はどうなる．
A:$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 \\ \hline P & \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}$
です．
T:そうだね．母集団分布は正規分布とは大分かけ離れた分布だろう．すでにパソコンで見たように， 二項分布はほぼ正規分布と重なっていたね．このぐらいで納得してもらうほかないな．これが私の限界だ．
どんな分布であってもそれを繰り返せば正規分布に近づいていくということだ．
A:先生，納得できました．先に行きましょう．
T:これで準備は概ね済んだ．これから，推定すなわち母集団の推定に入ろう．
母集団の推定で重要なことは2つあり，それは
$\bullet$ 母平均の推定
$\bullet$ 母比率の推定
だ．母平均，母比率の推定の前に一つ例を挙げる．
例
母平均$m=50$,母標準偏差$\sigma =10$の母集団を考える．
これは，要するに偏差値を考えるということだね．多分これが一番考えやすいんじゃんないかな．
母集団から一人を選びその値を$X$とすると$P(30\leqq X\leqq 70)$は幾つになる．
A:要するに偏差値$30$以上$70$以下の割合ですね．それは
$0.47725\times 2=0.9545$
です．
T:それでいいよ．これは偏差値で慣れているからそれでいい.一般には
$Y=\dfrac{X-50}{10}$
で標準化し
$30\leqq X\leqq 70$のとき$-2\leqq Y\leqq 2$であり,$Y$は標準正規分布$N(0,1)$に従うから，君の結果になるんだね．
それでは，母集団から大きさ$100$の標本を抽出したときの標本平均$\bar{X}$が$48\leqq \bar{X} \leqq 52$となる確率はどうなる．
A:$\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{100}$
$V(\bar{X})=\dfrac{\sigma ^2}{100}$
より
$\sigma (\bar{X})=\sqrt{\sigma}{\sqrt{100}}=1$
標準偏差が$1$だから
$P(48\leqq \bar{X}\leqq 52)=0.9545$
となり，上で求めたものと同じ確率になります．
T:よくできた．それでは，母集団から大きさ$10000$の標本を取り出したのときの標本平均$\bar{X}$が $49.8\leqq \bar{X} \leqq 50.2$となる確率はどうなる.
A:同じ計算です．
$\sigma (\bar{X})=\dfrac{10}{\sqrt{10000}}=0.1$
より
$P(49.8\leqq \bar{X}\leqq 50.2)=0.9545$
T:そうだね．やっている内容を読み取ってくれよ．抽出する大きさ$n$が大きければ，標本平均は母平均にどんどん近づくことが分かるだろう．
A:どんどん近づいていますね．抽出する大きさが$10000$なら，標本平均は$95$％以上が$49.2$以上$50.2$以下に入っているんですね．
T:その通りだよ．一般的に書くと，
母集団の平均$m$,標準偏差$\sigma$のとき，この母集団から大きさ$n$の標本を抽出したとき，その標本平均の 標準偏差は$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$であり，$n$を大きくしていくと標本平均の標準偏差は限りなく$0$に近づく．
具体的に言えば，標本平均$\bar{X}$の約$95$％が
$m-\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\leqq \bar{X}\leqq m+\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$
を満たしている．
この内容をまとめると次のようになる．
大数の法則
母平均$m$の母集団より大きさ$n$の標本を無作為抽出するとき，$n$が大きくなるにつれて標本平均$\bar{X}$ は母平均$m$に近づく
この性質はこれからの議論の中でしばしば使われます．
これから，母平均，母比率の推定に入るのであるが，その前に確率変数$X$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき， 正規分布表より
$P(-1.96\leqq X \leqq 1.96)=0.95 \cdots (*)$
および
$P(-2.58\leqq X \leqq 2.58)=0.99 \cdots (**)$
が成り立つね．
A:表を見れば分かります．
T:ここで考えているのは近似値だから，$(*)$のかわりに
$P(-2\leqq X \leqq 2)=0.95 $
$(**)$のかわりに
$P(-3\leqq X \leqq 3)=0.99 $
を用いることもあるけど，だいたい$(*),(**)$を用いるよ．大事なことは$95$％と$99$％がその範囲に入っているということだ．
それでは，母集団の平均が$m$,標準偏差が$\sigma$のとき，この母集団に合わせて$(*),(**)$を書き直すとどうなる．
A:$(*)$は
$P(m-1.96\sigma \leqq X \leqq m+1.96\sigma)=0.95 \cdots (*')$
で，$(**)$は
$P(m-2.58\sigma \leqq X \leqq m+2.58\sigma)=0.99 \cdots (**')$
です．
T:そうだね．$(*)$は
$P(-1.96\sigma \leqq X-m \leqq 1.96\sigma)=0.95$
と書いてもいいね．


続く(11.推定(2))


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