7.正規分布(2)
T:話を戻そう．
連続型確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が
もちろん，確率変数$X$が正規分布$N(m,\sigma ^2)$ に従うとき，$X$の平均$E(X)$,分散$V(X)$,標準偏差$\sigma (X)$
はそれぞれ$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)}{2\sigma ^2}}$ で与えられるとき，$X$は正規分布$N(m,\sigma ^2)$にしたがうという． $y=f(x)$のグラフを正規分布曲線という． 特に，正規分布$N(0,1)$を標準正規分布という． $E(X)=m,V(X)=\sigma ^2,\sigma (X)=\sigma$ である． ここまではいいかい． A:楽勝です． T:これから今日の話の本題です． A:え，これからですか． T:というより，これからの話をするために今までの話があるといったほうがいいかな． 
確率変数$X$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，ちなみにこの場合の確率密度関数$f(x)$は$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ だが，この時の確率$P(0\leqq X\leqq x)$,すなわち $\displaystyle \int_0^x\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ は計算されている．通常，統計の書では正規分布表が巻末にあると思うがそれだよ． 多くは$x$が小数第2位まで載っている．右の表が正規分布表で$0\leqq x\leqq 3$の範囲の小数第１位まで載せてある． 
いくつか計算してみよう．$P(-1\leqq X \leqq 1.5),P(1\leqq X\leqq 1.5)$は幾つだい． A:$x\leqq 0$はグラフが$y$軸に関して対称であることを用いるんですね． T:そうだよ．$f(x)$は偶関数だからね． A:$P(-1\leqq X \leqq 1.5)=P(0\leqq X\leqq 1)+P(0\leqq X\leqq 1.5)$ $=0.34134+0.43319=0.77453$ $P(1\leqq X\leqq 1.5)=P(0\leqq X\leqq 1.5)-P(0\leqq X\leqq 1)$ $=0.43319-0.34134=0.09185$ T:この辺は問題なさそうだね． 次に，$X$が正規分布$N(m,\sigma ^2)$に従うとき，$X$に関する確率は$X$を標準化(平均$0$,標準偏差を$1$)することによって求めるよ． 例えば，$X$が正規分布$N(50,10^2)$に従うとき，$P(40\leqq X\leqq 70)$を求めてごらん． A:それは簡単です． $X$の標準偏差が$10$だから，標準化するには $Y=\dfrac{X-50}{10}$ とすればよい． $X=40$のとき$Y=-1$,$X=70$のとき$Y=2$.したがって， $P(40\leqq X\leqq 70)=P(-1\leqq Y\leqq 2)$ $=0.34134+0.47725=0.81859$ です． T:よくできた．ところで，君は偏差値を知っているよね．偏差値の変換式知っているかい． A:標準偏差を学んだ時先生が説明された記憶はあるんですが覚えてないな． T:じゃ，変換式を作ってごらん．平均点を$50$とし，標準偏差分得点が高ければ$+10$と考えるんだ． 平均点$m$,標準偏差$\sigma$,$x$点の時の偏差値を$y$として$x,y$の関係を求めてごらん． A:$x-m$が標準偏差の何倍かを計算すればいいから $y=50+\dfrac{x-m}{\sigma}\times 10$ となりました． T:その通りだね．それでは，$100$人が受けた試験の成績の分布が正規分布に従うとするとき，偏差値$60,70$ は概ね何位だと考えればいいんだ． A:偏差値，$60,70$はそれぞれ標準正規分布の$1,2$に対応し， $P(0\leqq X\leqq 1)=0.34134$より，偏差値$60$はだいたい$16$位， $P(0\leqq X\leqq 2)=0.47725$より，偏差値$70$はだいたい$2$位か$3$位． というと偏差値$80$は$1000$人で1位か２位だ．これは神ですね． T:今日の最後の話題だ．二項分布と正規分布の関係を調べよう． まず，二項分布覚えているかな． A:二項定理は覚えていますが，二項分布はなんでしたっけ． T:それでいいんだよ．その都度確認すればいいんだ．それを繰り返して身につくんだ．誰でもそうだよ． 自分が劣っているなんて思っちゃだめだよ．． 前の内容復習してごらん． A:事象$A$が起こる確率が$p$の試行を$n$回繰り返すときの事象$A$が起こる回数を$X$とする．このときの$X$ の確率分布は $P(X=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k} \ (k=0,1,2,\dots ,n)$ である．この分布を確率$p$に対する次数$n$の二項分布といい$B(n,p)$と表す． と書いてあります． T:$B(n,p)$の平均と分散を覚えてないだろうから，結果を見てごらん． A:そういえば，シグマの計算やりましたね． $X$が二項分布$B(n,p)$に従うとき $E(X)=np,V(X)=npq, \ $ここで$q=1-p$ です． 一方，平均$E(X)=np=m$,分散$V(X)=npq=\sigma ^2$として，正規分布$N(m,\sigma ^2)$に従う確率変数の 確率密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma ^2}}\cdots (*)$ を作り，$B(n,p)$の点を取ったものと$(*)$のグラフについて， $p=\frac{1}{6}$の$n=20,60,100$の場合を重ねた図が下の図だよ．  T:申し訳ないが，残念ながら，これを説明するだけの力が私にはないのだよ．実をいうと， 統計の話を君にすることなって，この説明をどうしようかなと気にはしていたんだ．興味があれば 黒田孝郎著 統計と確率 講談社 が良いかもしれな． ということで次の内容は認めるよ．
二項分布$B(n,p)$に従う確率分布$X$は$n$が大きいとき近似的に正規分布$N(np,np(1-p))$に従う．
すなわち，二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$は$n$が大きいとき,$Y=\dfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ で$Y$を定めれば，$Y$は標準正規分布$N(0,1)$と考えてよく，さらに$N(0,1)$の確率は計算されているわけです．
一つ例題を解こう．
A:すぐには解けません．
次に半整数補正を学ぼう．
例題 |
A:このグラフを見ると，$2X$の確率密度関数は$X$の確率密度関数を$x$軸方向に$2$倍して，$y$軸方向に$\frac{1}{2}$倍したというのがよくわかりますね．
右図は，$X$が二項分布$B(16,\frac{1}{2})$に従う確率変数のヒストグラムと対応する正規分布曲線$f(x)$
を重ねたものだ．
一方，二項分布から正確な値を計算すると$0.7899$となり，半整数補正することにより
誤差が大分小さくなることがわかる．