A:先生こんにちは．
T:来たかい．
A:数学はゆっくり進み先を急がないというのが分かってきたみたいです．
T:そうかい．それはよかった．でも勉強は人それぞれだから，何とも言えないんだよ． 自分にあった方法が見つかるといいね．

それでは始めよう．
まず，2つの事象$A,B$が独立の復習をしよう．事象$A,B$が独立とはどういう意味だい．
A:一方の事象が起こったという条件が他方の事象が起こる確率に影響を与えないことです．
T:そうだね．
２つの事象$A,B$が独立の定義は
$P_A(B)=P(B),P_B(A)=P(B)\cdots (*)$
の両方が成り立つこととなっているが，
$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)$
より，$(*)$の一方が成り立てばもう一方も成り立つから，片方が成り立てば，２つの事象$A,B$が 独立と言えるわけだね．

つぎの例題を解いてごらん．
例題
同じ大きさの球が$N(=n_1+n_2+n_3)$個入った袋があり，そのうち$n_1$個の球には数字$x_1$が，$n_2$個には数字$x_2$が， $n_3$個には数字$x_3$が書いてある．
(1) 最初に1個取り出し，その値を$X_1$とし，取り出した球を戻して，次に取り出した球の値を$X_2$とする． これを続け，$k$番目に引いた球の値を$X_k$とする．確率変数$X_k$の確率分布と平均を求めよ．
(2) 最初に1個取り出し，その値を$Y_1$とし，取り出した球を戻さないで，次に取り出した球の値を$Y_2$とする． このように，戻さないで次々に取り出し，$k$番目に引いた球の値を$Y_k \ (k\leqq N)$とする．確率変数$Y_k$の確率分布と平均を求めよ．

A:(1)は楽勝ですね．$X_1$と$X_k$では情況が変わらないから，確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X_k & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline P & \frac{n_1}{N} & \frac{n_2}{N}& \frac{n_3}{N} \\ \hline \end{array}$
だから，
$E(X_k)=\dfrac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3}{N}$
です．
(2)はどうやんのかな．
T:条件付き確率で話したことあるけど，取った球を１列に並べてごらん．
A:確率$P(Y_k=x_1)$は，すべての球を一列に並べたとき，$k$番目に$x_1$が置かれる確率ですね．
T:そうだよ．
A:分母が$N!$で，$k$番目に$x_1$を置いて，あとは任意においていいから
$P(Y_k=x_1)=\dfrac{n_1\cdot (N-1)!}{N!}=\dfrac{n_1}{N}$
同様に
$P(Y_k=x_2)=\dfrac{n_2}{N},P(Y_k=x_3)=\dfrac{n_3}{N}$
したがって，確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Y_k & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline P & \frac{n_1}{N} & \frac{n_2}{N}& \frac{n_3}{N} \\ \hline \end{array}$
先生，$X_k,Y_k$は同じ確率分布になりました．
T:それでいいんだよ．
(1)の取り出す方法を復元抽出，(2)の取り出す方法を非復元抽出という．どちらの何回目でも同じになるんだよ．
A:復元抽出は当たり前ですが，非復元抽出でも同じになるということですね．
T:その通りです．
A:そういえば，くじを引いたとき何番目に引いても当たる確率は変わらないというあれですね．
T:そうです．
次に，復元抽出である(1)で，$k$番目に$x_1$,$l$番目に$x_2$の確率$P(X_k=x_1,X_l=x_2)$および $k$番目も$l$番目も共に$x_1$の確率$P(X_k=x_1,X_l=x_1)$を求めてごらん．
なお，ここで述べた$P(X_k=x_1,X_l=x_2)$は$X_k=x_1$かつ$X_l=x_2$である確率のことだよ．
A:それは簡単です．
$P(X_k=x_1,X_l=x_2)=\dfrac{n_1}{N}\cdot \dfrac{n_2}{N}=\dfrac{n_1n_2}{N^2}$
$P(X_k=x_1,X_l=x_1)=\dfrac{n_1}{N}\cdot \dfrac{n_1}{N}=\dfrac{n_1^2}{N^2}$
です．
T:そうだね，問題ないね．それでは，非復元抽出である(2)で$k$番目に$x_1$,$l$番目に$x_2$の確率$P(Y_k=x_1,Y_l=x_2)$および $k$番目に$x_1$,$l$番目に$x_1$の確率$P(Y_k=x_1,Y_l=x_1)$を求めてごらん．
A:;これも１列に並べて考えれば簡単です．
$P(Y_k=x_1,Y_l=x_2)$は$k$番目に$x_1$,$l$番目に$x_2$を置いて，あとは自由に並べればよいから
$P(Y_k=x_1,Y_l=x_2)=\dfrac{n_1n_2(N-2)!}{N!}=\dfrac{n_1n_2}{N(N-1)}$
$P(Y_k=x_1,Y_l=x_1)$は$k$番目と$l$番目が$x_1$であとは自由だから
$P(Y_k=x_1,Y_l=x_1)=\dfrac{n_1(n_1-1)(N-2)!}{N!}=\dfrac{n_1(n_1-1)}{N(N-1)}$
です．
T:よくできました．これはわかりづらいところなんだよ．
君の結果より，復元抽出である(1)の２つの確率変数$X_k,X_l$の確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X_k\diagdown X_l & x_1 & x_2 & x_3 &\text{計}\\ \hline x_1 & \frac{n_1^2}{N^1} & \frac{n_1n_2}{N^2}& \frac{n_1n_3}{N^2} & \frac{n_1}{N} \\ \hline x_2 & \frac{n_1n_2}{N^2} & \frac{n_2^2}{N^2}& \frac{n_2n_3}{N^2} & \frac{n_2}{N} \\ \hline x_3 & \frac{n_1n_3}{N^2} & \frac{n_2n_3}{N^2}& \frac{n_3^2}{N^2} & \frac{n_3}{N} \\ \hline \text{計} & \frac{n_1}{N} & \frac{n_2}{N}& \frac{n_3}{N} & 1 \\ \hline \end{array}$
同様に，非復元抽出である(2)の２つの確率変数$Y_k,Y_l$の確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline Y_k\diagdown Y_l & x_1 & x_2 & x_3 &\text{計}\\ \hline x_1 & \frac{n_1(n_1-1)}{N(N-1)} & \frac{n_1n_2}{N(N-1)}& \frac{n_1n_3}{N(N-1)} & \frac{n_1}{N} \\ \hline x_2 & \frac{n_1n_2}{N(N-1)} & \frac{n_2(n_2-1)}{N(N-1)}& \frac{n_2n_3}{N(N-1)} & \frac{n_2}{N} \\ \hline x_3 & \frac{n_1n_3}{N(N-1)} & \frac{n_2n_3}{N(N-1)}& \frac{n_3(n_3-1)}{N(N-1)} & \frac{n_3}{N} \\ \hline \text{計} & \frac{n_1}{N} & \frac{n_2}{N}& \frac{n_3}{N} & 1 \\ \hline \end{array}$
となる．
ここで求めた,2つの確率変数の対応する確率を表した確率分布を同時分布という． ２つの確率変数を扱うとき，このような同時分布を考える．

２つの確率変数$X,Y$の同時分布が
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X\diagdown Y & y_1 & y_2 & y_3 &\text{計}\\ \hline x_1 & r_{11} &r_{12} & r_{13} & p_1 \\ \hline x_2 & r_{21} &r_{22} &r_{23} & p_2 \\ \hline \text{計} & q_1 &q_2 & q_3 & 1 \\ \hline \end{array}\cdots (\sharp)$
であるとき，
任意の$i,j \ (i=1,2,j=1,2,3)$で
$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$
すなわち
$r_{ij}=p_iq_j$
が成り立つとき，確率変数$X,Y$は独立であるといい，確率変数$X,Y$が独立でないとき従属であるという．
2つの確率変数$X,Y$の同時分布が$(\sharp)$で与えられたとき$X+Y$の平均を求めてごらん．
A:できるかな．
T:定義にしたがってやってごらん．$X+Y$の取る値に確率をかけて加えるだけだよ．
A:難しくないですね．
$E(X+Y)=(x_1+y_1)r_{11}+(x_1+y_2)r_{12}+(x_1+y_3)r_{13}+(x_2+y_1)r_{21}$
$ +(x_2+y_2)r_{22}+(x_2+y_3)r_{23}$
この後見通しが立たないな．
T:$x_i,y_i$でそれぞれ整理してごらん．
A:$x_1(r_{11}+r_{12}+r_{13})+x_2(r_{21}+r_{22}+r_{23})$
$+y_1(r_{11}+r_{21})+y_2(r_{12}+r_{22})+y_3(r_{13}+r_{23})$
$=x_1p_1+x_2p_2+y_1q_1+y_2q_2+y_3q_3$
$=E(X)+E(Y)$
となりました．先生がいないと出来ませんね．
T:見ているだけでなく，自分でやるのが大事だよ．
今解いたのは，確率変数$X$の取る値が２つ，$Y$の取る値が3つの場合だ．
一般的な場合はシグマの計算になり，そのほうが見通しがいいかもしれない．
その証明もやろう．二重添え字の和の計算から始めよう．
$\displaystyle \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}a_{ij}$
を考えよう．
これは，
$\begin{pmatrix} a_{11}& \ldots &a_{1m}\\ \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n1}&\ldots &a_{nm}\end{pmatrix} $
のように，長方形の形に数字が並んでいるとき，すべてを加えた和のことだ．初めて見るかい．
A:初めてです．
T:通常，この和は
$\displaystyle \sum_{i,j}a_{ij}$
のように書かれる．要するに，加える範囲は自分で読み取れという意味だよ．
A:不親切ですね．
T:前にも言ったんじゃないかな．数学では当たり前のことはくどくど書かないんだよ．
それではこの和を調べよう．
長方形の形に並んだ数字の和を君はどう加える．
A:各行を加えて，それらを加えるかな．
T:その通りだね．その方法で加えると次のようになる．
$\displaystyle \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}a_{ij}=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^ma_{ij}\right)$
列を先に加えてもよいから
$\displaystyle \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}a_{ij}=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^ma_{ij}\right) =\sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^na_{ij}\right)$
となるね．
A:思ったより難しくないですね．
T:それでは
$\displaystyle \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}a_ib_j$
はどうなるかな．
A:同じように計算すればいいんですね．やってみます．
$\displaystyle \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}a_ib_j=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^ma_ib_j\right) =\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\left(\sum_{j=1}^mb_j\right) $
T:$a_i$は$j$の和で関係ないから外に出せるんだね．よくできました．
それでは，$X,Y$の同時分布が次のとき，平均$E(X+Y)$を計算してごらん．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X\diagdown Y & y_1 & y_2 & \ldots &y_m &\text{計}\\ \hline x_1 & r_{11} &r_{12} &\ldots &r_{1m} & p_1 \\ \hline x_2 & r_{21} &r_{22} &\ldots &r_{2m} & p_2 \\ \hline \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots & \vdots \\ \hline x_n & r_{n1} &r_{n2} &\ldots &r_{nm} & p_n \\ \hline \text{計} & q_1 &q_2 & \ldots & q_m & 1 \\ \hline \end{array}\cdots (\flat)$
A:出来るかな．やってみます．
$\displaystyle E(X+Y)= \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}(x_i+y_j)r_{ij}
$
$\displaystyle = \sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}x_ir_{ij}+\sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}y_jr_{ij}
$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^nx_i\left(\sum_{j=1}^mr_{ij}\right)+\sum_{j=1}^my_j\left(\sum_{i=1}^nr_{ij}\right)$
$\displaystyle =\sum_{i=1}^nx_ip_i+\sum_{j=1}^my_jq_j$
$=E(X)+E(Y)$
出来ました．上の方法は答えが偶然出た感じがしますが，この方法は見通しをもった解答ですね．
T:今やった内容をまとめると次のようになるよ．

続く(同時分布(2))


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