7.正規分布
A:先生こんにちは．
$X$が連続型確率変数で，その確率密度関数$f(x)$が
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ で与えられる時，$X$を標準正規分布という． 
T:まず，標準正規分布の確率密度関数$f(x)$の1次導関数，２次導関数を計算して$y=f(x)$のグラフを調べよう．A:楽勝です． $f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}xe^{-\frac{x^2}{2}}$ $f''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}$ となります． T:グラフについてわかることは． A:$x=0$で最大値$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$をとり，$x=\pm 1$で変曲点をもつかな． T:あと付け加わえると，偶関数であるから，$y$軸に関して対称． それに，$x\to \pm \infty$のとき$y\to 0$であるから，$x$軸が漸近線だね． ちなみに，グラフは右図になる． 次に，標準正規分布の平均と分散を求めよう． その前に，$f(x)$が確率密度関数となるためには $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$ でなければいけないが，この証明はここではやりません．パソコンで近似値を計算してみましょう． 
$\displaystyle\int_0^n\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$の$n=1,2,3,4,5$を順に計算したのが右図だ． グラフは$y$軸に関して対称であるから $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$ が納得してもらえると思う．どうしても証明したいというなら， 多変数の積分の勉強まで待つ必要があるかな． それでは，平均と分散を計算しよう． 計算式は何だい． A:えーとなんでしたっけ． まとめているレジュメを見てごらん． A:分かりました．積分区間は$(-\infty,\infty)$ですね．だから $\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ です． T:この値はわかるかい． A:分かるわけありませんよ．こんなの． T:グラフの対称性を考えてごらん．$e^{-\frac{x^2}{2}}$が偶関数だから． A:そうか．奇関数だから$0$なんですね． T:そうだよ．だから計算する必要はないんだけど，上端，下端が$\infty$は 初めてだろうからその説明もかねて，この積分を計算しよう． 本来は $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx:=\lim_{a\to -\infty,b\to \infty}\int_a^bf(x)dx$ のことで，$f(x)$の不定積分が$F(x)$のとき $\displaystyle =\lim_{a\to -\infty,b\to \infty}[F(x)]_a^b$ のことだけど，実際は極限計算を含めて $[F(x)]_{-\infty}^{\infty}$ と書いて計算していいんだ． それでは計算してみよう． $xe^{-\frac{x^2}{2}}$の不定積分はどうなる．$e^{-\frac{x^2}{2}}$を微分して考えてごらん． A:分かりました．不定積分は$-e^{-\frac{x^2}{2}}$です． $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}xe^{-\frac{x^2}{2}}=[-e^{-\frac{x^2}{2}}]_{-\infty}^{\infty} =-\left[\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}}\right]_{-\infty}^{\infty}$ 上端，下端ともに極限は$0$だから $\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=0$ になりました． T:よくできました．つぎは分散です． $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ だから $\displaystyle E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ を計算してごらん．部分積分をするんだ．$E(X)$の計算を見直してごらん． A:やってみます． $\displaystyle E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ $\displaystyle =\left[x\cdot -\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}+ \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ 第２項が$1$だけど，第１項はどうなるのかな． T:第１項か．一目でわかるようになるんだが．少し説明しよう． 要するに $\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}\dfrac{x}{e^{\frac{x^2}{2}}}$ を求めることなのはわかるかい． A:それは問題ありません． T:通常は $x > 0$のとき$e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2} \cdots (\sharp)$ を証明して示すんだ． $(\sharp)$を示してごらん． A:何度か微分してやるんでしたっけ． T:一般的にはそうだね．それは後で教科書見てごらん．ここでは $y=e^x-(1+x+\dfrac{x^2}{2})$ のグラフ(増減表)を書いて解決しよう． $y',y''$を計算して，増減表を書いてごらん． A:$y'=e^x-(1+x),y''=e^x-1$です． T:$y''$は$y'$の導関数だから次のようになるのは分かるかな． $\begin{array}{|c|c|c|}\hline x &0 & \cdots \\ \hline y' & 0 & + (*2) \\ \hline y'' & 0 & + (*1) \\ \hline y & 0 & \nearrow (*3) \\ \hline \end{array}$ $y''$より$(*1)$が分かり，さらに$x=0$のとき$y'=0$であるから$(*2)$がわかり， そして$x=0$のとき$y=0$および$(*3)$であるから $x > 0$のとき$y > 0$が成り立つ ことが分かるね． A:何度か微分して証明することと同じですね. T:同じだよ．増減表を用いたほうが少しわかりやすいと思うんだがどうかな． この不等式を用いると $x > 0$のとき $e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2} > \dfrac{x^2}{2}$ であるから, $0 < \dfrac{x}{e^x} < \dfrac{x}{\frac{x^2}{2}}$ より $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^x}=0$ を得る． あとは $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^{\frac{x^2}{2}}}$ の計算だ．やってごらん． A:$\dfrac{x}{e^{\frac{x^2}{2}}}=\dfrac{\frac{x^2}{2}}{e^{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{x}{2}}\to 0 (x\to \infty)$ でいいですか． T:それでいいだろう．$x\to -\infty$は大丈夫かな． A:奇関数だから当たり前ですね． T:その通り． せっかくだからもう少し話そう． $e^x$を多項式で表すことを考えよう． A:$e^x$が多項式で表せるのですか． T:もちろん表せないよ．例えば$n$次式で表せたとしたら，$n$次式は$n+1$回微分したら$0$になるから表せないことはわかるね． だから級数を利用することになる． $y=e^x$は$y'=y$だからこの条件を満たす多項式(級数)を見つけよう． $\frac{x^n}{n!}$を微分したらどうなる． A:$\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$です． T:そこで $f(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ を考えよう． $f'(x)$はどうなる． A:$f'(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ 最後が一つなくなるだけだから，そうか級数 $f(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots $ を考えて $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots \cdots (\flat)$ と見るわけですね． でもこんなことやっていいわけですか． T:もちろんいいわけがない．級数は収束するかどうかがとても大事なのだ．例えば，アーベルは 「一体，収束しない級数なるものは悪魔が発明したものだ．そのようなものを少しでも証明に用いるのは恥辱である・・・」 (高木貞二著 近世数学史談)と述べている． 例えば,関数 $1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots$ を等比級数とみればどうなる． A:$1+x+x^2+\cdots =\dfrac{1}{1-x}$ です． T:この式が意味があるのは，というか，左辺が収束する$x$の範囲は A:$-1 < x < 1$です． T:この式は$x$がほかの値では意味が無いわけだね．例えば$x=2$を代入してごらん．左辺は正の数の和なのに，右辺は$-1$とこんなバカなことはないだろう． このように級数を扱うときは収束条件が付きまとうんだよ． ここでは$(\flat)$をそのまま用いるのではなく，$(\flat)$の右辺の各項は正だから $e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つことが読み取れるだろう． これは簡単に証明できるから，これを数学的帰納法で証明しよう． 命題 任意の正の整数$n$で $x > 0$で$e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つ． 証明 $f_n(x)=e^x-(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!})$ とおく． $n=1$のとき明らかに成り立つから， $n=k$のとき成り立つことを仮定して，$n=k+1$のとき成り立つことを証明する． $f_{k+1}'(x)=f_k(x)$ より$x > 0$で$f_{k+1}'(x) > 0$が成り立ち，$f_{k+1}(0)=0$であるから $x > 0$で$f_{k+1}(x) > 0$が成り立つ．
この命題より
話を戻そう． |
例えば，原点を中心として，$x$軸方向に$a$倍，$y$軸方向に$b$倍する変換
T:次のような説明はどうかな．