6.連続分布
A:先生こんにちは．
定義 実数のある区間または実数全体に値を取る確率変数$X$に対して，1つの関数$f(x)$ が対応して次の性質を持つとする． $(1) \ f(x)\geqq 0$を満たす． $(2) \ X$が$a\leqq X\leqq b$の範囲の値を取る確率$P(a\leqq X\leqq b)$は$\int_a^bf(x)dx$ である． $(3) \ $曲線$y=f(x)$と$x$軸の間の面積は$1$である．($X$の取る全範囲の$f(x)$の積分は$1$) このとき，$X$を連続型確率変数といい，関数$f(x)$を$X$の確率密度関数，関数$y=f(x)$を$X$の分布曲線という． 確率密度関数により確率分布が定められるとき，その確率分布を 連続分布という．これに対して，二項分布に従う確率変数のように 飛び飛びの値をとる確率変数を離散型確率変数と呼ぶ． T:関数$f(x)$が確率密度関数の連続型確率変数$X$の平均，分散を定義しよう． まず，離散型確率変数の平均，分散を思い出そう． 確率分布が $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$ で与えらえているときの$X$の平均と分散を言ってごらん． A:そんなの楽勝ですよ． $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots +x_np_n$ $E(X)=m$とおくと $V(X)=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots +(x_n-m)^2p_n$ です． 
T:そうですね．それでは，確率変数$X$は区間$[a,b]$が定義域で確率密度関数を$f(x)$ とするよ．区間$[a,b]$を$n$等分し $a=x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n=b$ としたとき，右図の$S_k$の面積は何だっけ． A:なんでしたっけ． T:ヒストグラムを思い出してごらんよ． A:あそうか．$x_{k-1}\leqq X \leqq x_k$の確率だ． T:そうです．それは$P(x_{k-1}\leqq X\leqq x_k)$と書いてもいいよ．$P(x_{k-1}\leqq X\leqq x_k)$は離散型の確率分布の$p_k$ に対応するものだ． ということは，$X$の平均は $x_1S_1+x_2S_2+\cdots +x_nS_n\cdots (*)$ の細分を細かくしたもの，すなわち$n \to \infty$とした極限と考えることが自然だろう． A:分かった感じはするけど，腑に落ちた感じはしないな． T:たぶん，これは君の微分，積分に対しての理解の成熟度と関係しているんだろうな．私も注意して説明 するから少し我慢してくれ． A:我慢しましょう． T:上の$(*)$の$n\to \infty$の時の極限値を調べよう． $S_k$は面積だけど，長方形で近似するとどうなる． A:底辺は$x_k-x_{k-1}$で，これは区間$[a,b]$を$n$等分したものだから$\frac{b-a}{n}$です． 高さはどうするんですか． T:$x_{k-1}$と$x_k$の間ならどれを選んでもいいけど，$x_k$を選ぶとどうなる． A:$S_k\fallingdotseq \frac{b-a}{n}f(x_k)$ となりました． T:よくできた．それでは$(*)$を書き直そう． $x_kS_k=x_kf(x_k)\dfrac{b-a}{n}$ だから，シグマを用いて表すと $\displaystyle \sum_{k=1}^nx_kf(x_k)\dfrac{b-a}{n}$ となるね．書き方の習慣で$\frac{b-a}{n}=\Delta x$と書くこともある． $n\to \infty$としたときの極限値はどうなる． A:その辺がいまいち分かっていないんです． T:よく見てごらん，縦の長さが$x_kf(x_k)$の長方形の面積の和だから． $\displaystyle \sum_{k=1}^nx_kf(x_k)\dfrac{b-a}{n}\to \int_a^bxf(x)dx \ (x\to \infty)$ となるんだ. したがって $E(X)=\int_a^bxf(x)dx$ となる．これが，連続型確率変数の平均の定義だ．． どうだい．ぴんと来ないかな． A:僕は，数学Vの微分や積分の計算はでき，グラフを描いたり面積を計算することはできるんですけど あまり基本的なことはわかってないかもしれないな． T:みんな同じようなものじゃないかな．グラフを描く， 面積を計算することはいろんなことが詰まっており数学Vの正しい勉強法だ．数学Vを勉強しながら，関連する数学T，Uの内容を復習するのが 優れた方法だよ．数学T，Uを学んでいるときは，未成熟というか， 数学の内容の抽象性を理解するだけの成熟度に問題があり， 数学Vを学んだ今なら以前とは異なる理解が得られうんじゃないかな． 話を進めよう． 次に，確率変数$X$の分散を求めよう．同じように，確率$p_k$を面積$S_k$に置き換えて，$X$ の分散$V(X)$の式を$E(X)=m$として書いてごらん． A:$p_k$を$S_k$に置き換えるから $\displaystyle \sum_{k=1}^n(x_k-m)^2S_k$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2f(x_k)\dfrac{b-a}{n}$ ですか． T:そこまではいいよ．$n\to \infty$のときの極限値を求めてごらん． A:同じようにやると， $\displaystyle \to \int_a^b(x-m)^2f(x)dx \ \ (n\to \infty)$ となります． それが分散の定義だ．まとめると次のようになるよ．
確率変数$X$の定義域を$[a,b]$,確率密度関数を$f(x)$とする．
このとき，$X$の平均$E(X)$，分散$V(X)$,標準偏差$\sigma (X)$は次の式で与えられる． $\displaystyle E(X)=\int_a^bxf(x)dx, \ \ V(X)=\int_a^b(x-E(X))^2f(x)dx, \ \ \sigma (X)=\sqrt{V(x)}$ T:次に分散の式を書き直そう．$E(X)=m$と置いて積分の中を展開して計算してごらん． A:$\int_a^b(x-m)^2f(x)dx$ $=\int_a^bx^2f(x)dx-2m\int_a^bxf(x)dx+m^2\int_a^bf(x)dx$ この後どうするんですか． T:$m$の意味や$f(x)$の条件を考えてごらん． A:そうか．$\int_a^bxf(x)dx=m$で$\int_a^bf(x)dx=1$だから $V(X)=\int_a^bx^2f(x)dx-m^2$ となりました． T:そうだね．もし$\int_a^bx^2f(x)dx=E(X^2)$と表せば $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ と なり，離散型確率変数と同じ式になるね． ここまではいいかな． A:内容は別として，計算だけならできそうです． T:それでは次に進むよ． 確率変数$X$の定義域を$[a,b]$,確率密度関数を$f(x)$とするとき，新しい確率変数$pX+q$ の確率密度関数を調べたい． まず，$X$と$Y=pX+q$の関係を思い出そう． $X$の確率分布が $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$ で与えられているとき，確率変数$Y=pX+q$の確率分布はどうなる． A:それは簡単で $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline Y=pX+q & px_1+q & px_2+q & \cdots & px_n+q \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$ です． T;要するに$P(X=x_k)$と$P(pX+q=qx_k+q)$の値が等しいんだね． A:もちろんです． T:ということは$Y=pX+q$と置くと $P(\alpha \leqq X\leqq \beta)$と$P(p\alpha +q\leqq Y\leqq p\beta +q)$が等しいね． $X$の確率密度関数が$f$,$Y$の確率密度関数を$g$とすると,$g(x)$は $\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=\int_{p\alpha +q}^{p\beta +q}g(x)dx\cdots (*)$ を満たすわけだ． A:先生，ややこしいですね． T:少し面倒かな．$(*)$の$g(x)$を求めたいわけだ．左辺を$t=px+q$と置いて置換積分してごらん． A:何やっているか見通しが立たないけどやってみます． $t=px+q$なら$x:\alpha\to \beta$のとき$t:p\alpha +q \to p\beta +q$であり $x=\frac{t-q}{p}$より$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{p}$すなわち$dx=\frac{dt}{p}$より $\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx =\int_{p\alpha +q}^{p\beta +q}f(\dfrac{t-q}{p})\dfrac{dt}{p}\cdots (**)$ となる． T:そうだね，したがって，$(*),(**)$を比べて $g(x)=\dfrac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})$ となる． なお，$p < 0$のとき，上端と下端の大小が逆になるので，ここでは$p > 0$と仮定する． まとめると次のようになる．
確率変数$X$は定義域$[a,b]$,確率密度関数$f(x)$とする．
このとき，確率変数$pX+q \ (p > 0)$は定義域$[pa+q,pb+q]$, 確率密度関数は $\dfrac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})$である． $pX+q$の確率密度関数の作り方より明らかであるが， $E(pX+q)=pE(X)+q, \ V(pX+q)=p^2V(X)$ が成り立つことを示そう．これは積分の良い練習だ． まず，$E(X)=m$，すなわち$\int_a^bxf(x)dx=m$のとき $\displaystyle \int_{pa+q}^{pb+q}x\cdot \dfrac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})dx=pm+q$ を示してごらん． A:難しそうだな． T:置換積分の練習だよ． $t=\dfrac{x-q}{p}$ と置いて計算してごらん． A:まず，積分区間が $x:pa+q\to pb+q$のとき$t:a\to b$ で，$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{p}$だから$\frac{dx}{p}=dt$ したがって， $\displaystyle \int_{pa+q}^{pb+q}x\cdot \dfrac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})dx$ $\displaystyle =\int_a^b(pt+q)f(t)dt$ $\displaystyle =p\int_a^btf(t)dt+q\int_a^bf(t)dt$ $=pE(X)+q$ できました．やってみると簡単ですね． T:君が意欲を保っているからできるのであって，そんなに簡単な内容ではないよ．学ぶとき大事なことは理解力より意欲なんだよ． 次は $V(pX+q)=p^2V(X)$ を証明するんだが，これは私がやろう． 自分がやっていると思ってみてくれよ． まず，$V(pX+q)$の定義は $pX+q$の確率密度関数が$\frac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})$であり， $\displaystyle V(pX+q)=\int_{pa+q}^{pb+q}x^2\frac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})dx-(pE(X)+q)^2$ になるのはいいかな．第2項は$E(pX+q)^2$のことだよ． 第１項を計算するよ． 平均のときと同じ置換積分だ． $t=\frac{x-q}{p}$と置くと (第１項)$\displaystyle =\int_a^b(pt+q)^2f(t)dt$ $\displaystyle =p^2\int_a^b t^2f(t)dt+2pq\int_a^b tf(t)dt+\int_a^bq^2f(t)dt$ ここで，$\int_a^btf(t)dt=E(X),\int_a^bf(t)=1$であるから $=p^2E(X^2)+2pqE(X)+q^2$ したがって， $V(pX+q)=(p^2E(X^2)+2pqE(X)+q^2)-(pE(X)+q)^2$ $=p^2(E(X^2)-E(X)^2)=p^2V(X)$ となるわけだ． A:見かけは大変だけど，計算するとそうではないですね．でも，この証明必要なんですか． T:いい質問だね．離散分布の平均，分散を連続分布の場合に拡張したわけだね．それは，離散分布の区間をどんどん小さくしていった 極限なわけだ．区間の幅がどんなに小さくてもそれは離散分布だから成り立つ.そういう立場に立てば，証明など必要なく，ここで証明したことは 当たり前と考えていいんだよ．置換積分の良い練習になると思ったんだけどどうかな． A:学ぶ側からいえば余計なことは学ばないほうがいいかな． T:そうかもしれないな．ただ数学を学ぶときはできるだけ寄り道しよう．寄り道こそが数学の総合力だ． というのが私の教え方なんだよね．生徒は早く進みたがるから，あんまり生徒の評判はよくないかも． さて，話を戻そう．2つの確率変数$X,pX+q$の平均と分散の関係を述べたけど， $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_{p\alpha +q}^{p\beta +q}\dfrac{1}{p}f(\dfrac{x-q}{p})dx \cdots (*)$ が成り立つのはいいね． A:先生，それは確率変数$pX+q$の確率密度関数を$(*)$が成り立つように定義したので当たり前の式ですね． T:その通り．やっている内容見失っていない，素晴らしいことだ．例題を解こう． 例題 定義域$[0,2]$の確率変数$X$で，その確率密度関数が$f(x)=ax(2-x)$で与えらえている． (1) 定数$a$の値を求めよ． (2) $X$の平均と分散，標準偏差を求めよ． (3) $Y=\dfrac{X-q}{p}$の平均が$0$標準偏差が$1$となるように$p,q$を求めよ．この$pX+q$を$X$ を標準化した確率変数という． (4) $\frac{1}{4}\leqq X\leqq \frac{1}{2}$のとき，対応する$\alpha \leqq Y \leqq \beta$ の$\alpha ,\beta$を求め， $P(\frac{1}{4}\leqq X\leqq \frac{1}{2})=P(\alpha \leqq Y \leqq \beta)$ を確認せよ．
答えがあるわけでない．一緒に解いていこう．
まず(1)からいこう． |
上の資料のヒストグラムを書くと右の図のようになる．ここで注意することは，
相対度数が面積となる
長方形を書くことだ．特に長方形の高さに注意する必要がある．
T:その曲線のグラフを$y=f(x)$とするよ．体重を$X$とするとき，例えば$57\leqq X\leqq 62$
の値を取る確率（相対度数）はどうなるかな．