A:先生こんにちは．
T:相変わらず元気そうだね．
A:おかげさまでコロナの影響もなく順調です．
T:そうかい．それでは始めようか．今日は二項分布だ．統計を学ぶとき避けては通れない重要な内容だよ．
先ず，二項定理の復習をしよう．
$(p+q)^n$を展開したらどうなる．
A:先生，やだなー．やったばっかりじゃないですか．えーと
${}_nC_0p^nq^0+{}_nC_1p^{n-1}q+\cdots +{}_nC_rp^{n-q}q^q+\cdots +{}_nC_np^0q^n$
です．
T:ホウ，君自分で思うよりできるようになっているかもしれないね．
A:そうだといいな．
T:それでは，確率で学んだ反復試行の確率は覚えているかい．
A:反復試行ってどういうものでしたっけ．
T:あそうだね．例えば
サイコロを$5$回繰り返し投げる反復試行において$1$の目が２回で出る確率を求めよ．
この問題を解いてごらん．
A:反復試行とは，同じ試行を繰り返した時の確率ですね．
T:そうだよ．
A:それでは解いてみます．サイコロを$5$回投げて$1$の目が２回出ることは，１以外が３回出ることでそれらの確率が
$(\dfrac{1}{6})^2(\dfrac{5}{6})^3$
でそれが${}_5C_2$回だから
${}_5C_2(\dfrac{1}{6})^2(\dfrac{5}{6})^3$
です．これを計算して
$=\dfrac{5\cdot 4}{2!}(\dfrac{1}{6})^2(\dfrac{5}{6})^3=\dfrac{10\cdot 5^3}{6^5}$
これでいいですか．
T:これは小数にするの大変だね．これでいいでしょう．
確率は，この反復試行（独立試行）と前にやった条件付き確率(従属試行)を理解すれば あとは経験を積めばいいよ．
それでは二項分布の定義に入るよ．

それでは始めよう．
$X$が$B(n,p)$に従うとき平均は幾つだと思う．例えば，$B(30,\frac{1}{6})$を考えよう． これは，サイコロを$30$回振った時の $1$の目が出る回数の平均だ．だいたい何回出るかな．
あ，そうだ．その前に，二項分布の意味を正確につかんでいるかな．少し説明すると
1回目サイコロを$30$回振った時$1$の目が$4$回出た
2回目サイコロを$30$回振った時$1$の目が$7$回出た
・・・・・・
これを何度も繰り返した時平均はいくつかという意味だよ．
A:先生，それは$5$回でしょう．
T:そうだね，それが自然だね．それは$30\times \frac{1}{6}$とやっただろう．だから
$E(X)=np$
になりそうだね．
次は分散だけど，これはちょっと予想がつかないけど，どうだい．
A:先生が無理なら私も無理でしょう．
T:$n$が小さい値でやってみよう．$n=3$なら計算は簡単だから$X$が$B(3,p)$に従うときの分散を求めてみよう．
A:やってみます．最近気が付いたんですけど，実際に計算しながら進むと案外頭に 入るんですよね．えーと，分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & q^3 & 3q^2p & 3qp^2 &p^3 \\ \hline \end{array}$
ですね．
T:あそうそう．平均もあわせて計算しよう．
A:お安い御用.
$E(X)=0\cdot q^3+1\cdot 3q^2p+2\cdot 3qp^2+3\cdot p^3$
これは$3p$で括れるから
$=3p(q^2+2qp+p^2)$
$=3p(q+p)^2$
$q+p=1$だから$E(X)=3p$になりました．
T:よくできた．次は分散だ．$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$でやってごらん．
A:分かりました．
$V(X)=0^2\cdot q^3+1^1\cdot 3q^2p+2^2\cdot 3qp^2+3^2\cdot p^3-(3p)^2$
$=3q^2p+12qp^2+9p^3-9p^2$
$3p$で括ると
$=3p(q^2+4qp+3p^2-3p)$
ここで止まっちゃいました．
T:前半の3項因数分解してごらん．
A:あ，できますね．
$=3p\{(q+p)(q+3p)-3p\}$
これで，$q+p=1$だから
$=3p\{(q+3p)-3p\}=3pq$
できました．
$V(X)=3pq$
となりました．
T:よくできました．
君が解いたのは$n=3$だから，二項分布$X=B(n,p)$の平均$E(X)$，分散$V(X)$は
$E(X)=np,V(X)=npq=np(1-p) \ \ \cdots (\sharp)$
となりそうだね．ちょっと無理があるかな．
A:ちょっと無理があるけどいいでしょう．
T:$(\sharp)$を証明するのが今日の目的だ．
まず，$X=B(n,p)$の確率分布を書くと
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & \cdots &k & \cdots & n \\ \hline P & {}_nC_0q^n & {}_nC_1pq^{n-1} & \cdots &{}_nC_kp^kq^{n-k} & \cdots & {}_nC_np^n \\ \hline \end{array}$
となる．これは問題ないね．
まず，平均から求めよう．
$\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^nk{}_nC_kp^kq^{n-k}$
これは定義だね．$k=0$は無視していいから$k=1$から加え${}_nC_k$を階乗で書き直すよ．
$\displaystyle =\sum_{k=1}^nk\dfrac{n!p^kq^{n-k}}{k!(n-k)!}$
$k$で約分し，$np$を外に出すよ．
$\displaystyle =np\sum_{k=1}^n\dfrac{(n-1)!p^{k-1}q^{n-k}}{(k-1)!(n-k)!}$
$n-k=(n-1)-(k-1)$と見，$k-1=l$と置くと
$\displaystyle =np\sum_{l=0}^{n-1}\dfrac{(n-1)!p^lq^{(n-1)-l}}{l!(n-1-l)!}$
$\displaystyle =np\sum_{l=0}^{n-1}{}_{n-1}C_lp^lq^{(n-1)-l}$
$=np(q+p)^{n-1}=np$
より
$E(X)=np$
となるんだ．
文字の置き換えが難しいかもしれない．
A:先生が難しいといった理由がわかりました．
T:証明は変形が追えればいいけどどうだい．
A:なんとか追うことはできるよな気がします．
T:次に分散を計算しよう．これはもう少し難しいかも．
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^nk^2{}_nC_kp^kq^{n-k}-(np)^2$
ここで，$k^2=k(k-1)+k$と変形します．
$\displaystyle =\sum_{k=0}^nk(k-1){}_nC_kp^kq^{n-k}+\sum_{k=0}^nk{}_nC_kp^kq^{n-k}-(np)^2\cdots (*)$
第2項は$E(X)=np$だから，第１項だけに注目し計算する．
$k=0,1$は$0$だから
(第１項)$\displaystyle =\sum_{k=2}^nk(k-1){}_nC_kp^kq^{n-k}$
$\displaystyle =\sum_{k=2}^nk(k-1)\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}$
$k(k-1)$を約分し$n(n-1)p^2$を外に出して
$\displaystyle =n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n\dfrac{(n-2)!p^{k-2}q^{n-k}}{(k-2)!(n-k)!}$
あとは$l=k-2$とおけば$n-k=(n-2)-l$より
$\displaystyle =n(n-1)p^2\sum_{l=0}^{n-2}\dfrac{(n-2)!p^lq^{(n-2)-l}}{l!\{(n-2)-l\}!}$
$\displaystyle =n(n-1)p^2\sum_{l=0}^{n-2}{}_{n-2}C_lp^lq^{(n-2)-l}$
$=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}$
$=n(n-1)p^2$
$(*)$に代入し
$V(X)=n(n-1)p^2+np-(np)^2$
$=np-np^2$
$=np(1-p)=npq$
これで終了した．
まとめると次のようになる．
確率変数$X$が二項分布$B(n,p)$に従うとき
$E(X)=np,V(X)=npq$
である．
A:いやー難しいですね．こんなの高校ではやらないでしょう．
T：どうかな．例えば,二項定理
$(1+x)^n={}_nC_0+{}_nC_1x+\cdots +{}_nC_nx^n$
の両辺を微分するとどうなる．
A:$n(1+x)^{n-1}=1\cdot {}_nC_1x+2\cdot {}_nC_2x+\cdots +n{}_nC_nx^{n-1}$
T:これは恒等式だから$x$に何を代入しても等しいね．$x=1$を代入すると
$n\cdot 2^{n-1}=1\cdot {}_nC_1+2\cdot {}_nC_2+\cdots +n{}_nC_n$
だね．この式は，確率の期待値を求めるときにお世話になることもある式なんだよ．
この等式を証明するのに次のようにやってもいいんだ．
(右辺)$\displaystyle =\sum_{k=1}^nk\cdot {}_nC_k$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^nk\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
$k$で約分し，$n$を外に出すと
$\displaystyle =n\sum_{k=1}^n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$
$n-k=(n-1)-(k-1)$とみ,さらに$l=k-1$とおけば
$=\displaystyle n\sum_{l=0}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{l!(n-1-l)!}$
$=\displaystyle n\sum_{l=0}^{n-1}{}_{n-1}C_l$
$=n\cdot 2^{n-1}$
となる．
A:こんな記憶ないですけど．最後の変形がいまいちかな．
T:なんでも説明すればいいというわけではなく，自分でゆっくり考えることも大切だ．
計算の途中式をきちんと書いてあげるから，ゆっくり考えてごらん．

今日予定した内容はここまでだ．今日の内容をまとめると次のようになる．