A:先生こんにちは．
T:よく来たな．
A:体調はいかがですか．
T:今日は問題ないよ．前回のべき集合の話わかったかい
A:あれ楽勝でした．
T:そうかい．それはよかった．
それでは始めようか．今日は確率分布だ．
ところで，数学�Tで学んだ資料の整理の平均，分散，標準偏差は大丈夫かい．
A:あれはセンター演習で大分解かされたから基本的なところは問題ないでしょう．
T:とりあえず次の問題を解いてごらん．

下の表は，$100$人の生徒の体重のデータである．
平均値，分散を求めよ．
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{階級} & \text{階級値} & \text{度数} &\text{相対度数} \\ \hline 50\sim 60 & 55 &30 & \frac{3}{10} \\ \hline 60\sim 70 & 65 &50 & \frac{5}{10} \\ \hline 70\sim 80 & 75 &20 & \frac{2}{10} \\ \hline \end{array}$
A:こんなの楽勝ですよ．時間の無駄だけどまあいいか．解けというなら解きましょう．
平均は
$\dfrac{55\times 30+65\times 50+75\times 20}{100} \ \ \cdots (*)$
$=64$
分散は
$\dfrac{(55-64)^2\times 30+(65-64)^2\times 50 +(75-64)^2\times 20}{100} \ \ \cdots (**)$
別の公式の方がよかったかな．変わんないな．ちょっと面倒だけど
$=5.4$
できました．
T:ちょっと待って，私も計算するから．合っているね．
君の計算を見直そう．
平均の$(*)$は
$55\times \dfrac{3}{10}+65\times \dfrac{5}{10}+75\times \dfrac{2}{10}$
と書いてもいいし，分散の計算式$(**)$
$(55-64)^2\times \dfrac{3}{10}+(65-64)^2\times \dfrac{5}{10}+(75-64)^2\times \dfrac{2}{10}$
と書けるね．
A:そんなの小学生でも知っています．
T:ということは，この与えらえた資料は，平均値，分散を求めるなら， 階級値$55,65,75$とその時の相対度数 $\frac{3}{10},\frac{5}{10},\frac{2}{10}$だけで決まるね．
A:それは楽勝です．
T:ここでは，相対度数と書いたけど，相対度数は確率のことだろう．すなわち$100$人から1人を選んだ時，その生徒が $50\mathrm{kg}$以上$60\mathrm{kg}$未満の確率が$\frac{3}{10}$と考えるわけだ．
そうすると，この資料は，
体重を$X$とおき，$X$は$55,65,75$の3つの値を取り，その 値の時の対応する確率がそれぞれ$\frac{3}{10}, \frac{5}{10},\frac{2}{10}$である．
となるね．
上の資料のヒストグラムを書くと右の図のようになる．相対度数が面積にとなる 長方形を書くんだ．特に，長方形の縦座標に注意が必要だね（横座標の幅が10だから$\frac{1}{10}$倍になる）．
確率が面積だから，平均を求めるのは
(階級値)×(長方形の面積)の和
となるんだよ．これは後できちんと学ぶことだけど．
ここまでは大丈夫かい．
A:楽勝楽勝．
T:さてこれからの議論の土台となる，確率変数の定義をするよ．ところで， 変数とは，いろいろな値を取る文字のことだよね．上の例でいうならば， $X$は$55,65,75$の値を取る変数とみるよ．
そこで次の定義になります．
生徒を選べば(試行により)階級値が決まり(その値が定まり)，各階級値（各値）に対応して 確率が決まる変数を確率変数という．
教科書風に書くと次のようになる．

確率変数は通常$X,Y,Z$等の大文字を用い，確率変数$X$の取る値は$x_k$のように小文字を用いる．
確率変数$X$が1つの値$x_k$をとる事象の起こる確率を$P(X=x_k)$と表す．
確率変数$X$の取る値が$x_1,x_2,\dots ,x_n$で$P(X=x_k)=p_k (1\leqq k\leqq n)$とすれば$p_i$は次が成り立つ．
$(1) \ p_k\geqq 0 (1\leqq k \leqq n)$
$(2) \ p_1+p_2+\cdots +p_n=1$
また．確率変数の取る値とその値をとる確率との対応を表したものを確率分布という．通常確率分布は 次の表で示される．このとき，確率変数$X$はこの分布に従うという．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
これで一通り定義は終わりだ．あとで変数変換が出てくるけど．
A:要するに，確率変数はいろいろな値を取り，その値ごとに確率が決まっているということですね．
T:そう，$X$の値と確率の対応が確率分布だよ．確率分布は通常表で表すんだ．

それでは，確率変数$X$の確率分布が
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
で与えられているとき$X$の平均(mean)と分散(variance)の定義をしよう．
先ず平均だ．これは期待値(expectation)ということある．確率変数$X$の平均は$E(X)$と表すことにする．
君の知識で，$E(X)$の定義を書いてごらん．
A:そんなのできませんよ．
T:やる前から負けると思ったら絶対勝てないと同じだよ．さっきの体重の平均と同じだよ．
A:ちょっと待ってください．できるかな．（階級値）×（確率）の和だから
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots +x_np_n$
なんだ当たり前ですね．
T:そうだろう．覚えることと当たり前と思えるのは大分違うよ．次に分散を定義しよう．確率変数$X$ の分散(variance)を$V(X)$と表す．
同じように，平均値を$m$として確率変数$X$ の分散を定義してごらん．
A:体重の分散の定義と同じですね，
T:同じだよ．
A:簡単だ．
$V(X)=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots +(x_n-m)^2p_n　 \ \ \cdots (\sharp)$
です．なんだ数学�Tの資料の整理と変わらないんだ．
T:そうです．ところで，君は和を表すシグマ知っているかい．
A:まいったな先生．僕理系ですよ．任せてください．
T:それでは上の分散を表す式をシグマでを用いて表してごらん．
A:ちょっと待ってください．一般項を$k$と置いて
$\displaystyle V(X)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
となります．
T:それでは，シグマの中を展開して計算すると少し簡単になるんだけどできるかな．
A:$\displaystyle V(X)=\sum_{k=1}^n(x_k^2p_k-2x_kp_km+m^2p_k)$
この後が分かんないですね．
T:よく見てごらん．$E(X)=m$の定義と$p_k$の性質
$\displaystyle m=\sum_{k=1}^nx_ip_i,\sum_{k=1}^mp_k=1$
をみてもう一度見直してごらん．
A:あ分かりました．
$\displaystyle \sum_{k=1}^nx_k^2p_k-2m^2+m^2= \sum_{k=1}^nx_k^2p_k-m^2$
です．
T:似たような式，数学�Tでも学んだろ．だから
$\displaystyle V(X)=\sum_{k=1}^nx_k^2p_k-E(X)^2$
A:学びました．学びました．平均値が面倒なとき使う式ですね．
T:確率変数$X^2$を
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X^2 & x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
で定めれば
$E(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\cdots +x_n^2p_n$
だから分散$V(X)$は
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
となるね．
A:大分すっきりしましたね．
T:確率変数$X$の分散の正の平方根$\sqrt{V(X)}$を$X$の標準偏差(standard deviation)とい$\sigma (X)$で表す($\sigma$はアルファベットの ｓに対応するギリシャ文字でシグマと呼ぶ)．
まとめると次のようになるよ．
確率変数$X$の確率分布が
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
で与えられたとき，平均$E(X)$，分散$V(X)$,標準偏差$\sigma (X)$は次の通り．
$\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots +x_np_n=\sum_{k=1}^nx_kp_k$
$E(X)=m$と置くと
$\displaystyle V(X)=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots +(x_n-m)^2p_n$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^nx_k^2p_k -m^2$
$=E(X^2)-E(X)^2$
$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$
A:ここまでは問題ありません．
T:ここで少し休憩しよう．お茶でも飲みながらゆっくりしよう．
A:先生，僕に合わせてゆっくり進んでくれているからかもしれないけど今のところ順調です．
T:そうかいそれはよかった．ゆっくり進んでいるつもりはないけど，何かを学ぶとき， ゆっくり進むということが大事なことだよ． 正確に言うと休まずゆっくり進むかな．次々と新しいことを学ぶのではなく，ある程度時間をおいてゆっくり 考えるということも必要なんだよ． 例えば，小説を読むのも似たところあるんじゃないかなと最近思っているんだ．
A:先生それは違うでしょ．小説ゆっくり読むなんて聞いたことない．
T:君は新聞小説読むかい．
A:読まないですね．新聞は読むのはスポーツ面だけです．
T:若いからそうだろうな．一度読んでごらん．5分ぐらいで読めるし，毎日挿絵があって， まあこれが新聞小説の魅力の一つなんだろうが，気に入った小説に 出会えたら毎朝起きるのが楽しくなるよ．時間があるから，何度か読み返したり， 一気に読むとは違った味わいがあると思うんだが．
A:そういうもんですかね．
T:人によるんだろうけど．
A:面白いのは何ですか．
T:そうだな．日経新聞で連載された伊集院静の題名は覚えてないけど漱石と子規の話がよかったな． 面白いところだったのに途中で終わっちゃってね． 「明暗」みたいになるんじゃないかと心配していたんだ．先日， 退院してリハビリ頑張っているというニュースを読んで 安心したんだけどそこでこのコロナだろ．リハビリや病気治療で話題にならないけど苦労している人がたくさんいる ことを思うと心が痛くなるよ． ほんとうにコロナは困ったものだ．何とか打ち勝たないとね．

さあそれではまた始めよう．
一つ例題を解こう．
例題
袋の中に$7$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている．この袋の中から同時に2個の玉を取り出すとき，その２個の中の赤玉の 個数を$X$とする．確率変数$X$の平均，分散，標準偏差を求めよ．

知識を咀嚼するために問題を解くんだからね，急ぐ必要はない．ゆっくりと解くんだよ．
A:なんか解けそうです．
$X=0,1,2$の時の確率を求めますね．
確率だから，白玉，赤玉をそれぞれ区別して考えるんだすよね．
T:そうそう，同様に確からしいことを考えてね．あとは自分で考えて．
A:$X=0$のとき，
$\dfrac{{}_7C_2\cdot {}_3C_0}{{}_{10}C_2}=\dfrac{7}{15}$
$X=1$のとき，
$\dfrac{{}_7C_1\cdot {}_3C_1}{{}_{10}C_2}=\dfrac{7}{15}$
$X=2$のとき，
$\dfrac{{}_7C_0\cdot {}_3C_2}{{}_{10}C_2}=\dfrac{1}{15}$
あれー．この後どうすんだっけ．
T:解答に自分のスタイルがあるといいんだけど．確率分布の表を作ってから解くというスタイルもいいかもしれない．
A:あ，そうか．
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & \frac{7}{15} & \frac{7}{15} & \frac{1}{15} \\ \hline \end{array}$
できそうです．
$E(X)=0\cdot \dfrac{7}{15}+1\cdot \dfrac{7}{15}+2\cdot \dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{5}$
つぎ，分散は
$V(X)=(0-\dfrac{3}{5})^2\cdot \dfrac{7}{15}+(1-\dfrac{3}{5})^2\cdot \dfrac{7}{15} +(2-\dfrac{3}{5})^2\cdot \dfrac{1}{15}=\dfrac{28}{75}$
標準偏差は
$\sigma (X)=\sqrt{\dfrac{28}{75}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{15}$
となりました．

T:よくできた．分散を求めるとき，$E(X^2)$を用いる方法があるだろう．それで解いてみたら．
A:解けたからいいんじゃないですか．
T:問題を解くことは内容を定着させるためのものなんだから，解けて終わりじゃもったいないよ．
A:じゃ，やってみます．
$E(X^2)=0^2\cdot \dfrac{7}{15}+1^2\cdot \dfrac{7}{15}+2^2\cdot \dfrac{1}{15}=\dfrac{11}{15}$
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\dfrac{11}{15}-(\dfrac{3}{5})^2=\dfrac{28}{75}$
こちらのほうが簡単でした．

よくできました．つぎの話題にいこう．
確率変数の変換を考えるよ．
変数の変換と言っても，確率変数$X$に対して新しい確率変数$aX+b$を考えるだけだ．なお，ここで$a,b$は定数です． この変換は後で，確率変数の標準化をするときに重要な役割を演じるよ．
確率変数$X$の分布が
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
で与えられているとき$aX+b$は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & ax_1+b & ax_2+b & \cdots & ax_n+b \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
で与えらえる確率変数です．
$E(aX+b),V(aX+b)$を求めよう．
一気に示すこともできるんだけど，$X+b$と$aX$に分けて考えます．
まず，確率変数$X+b$について考えよう．
例えば，あるテストで採点ミスがあったので全員に点数を$10$点追加するとなったら平均点はどうなる．
A:それは$10$点上がるに決まっているじゃないですか．
T:分散はどうなるかな．
A:平均との差だから変わらないんじゃないですか．
T:その感覚は大事だよ．それでは確認してみよう．確率分布を書いて求めてごらん．
A:ちょっと待ってください．まず確率変数$X+b$の確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & x_1+b & x_2+b & \cdots & x_n+b \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
だから
$E(X+b)=(x_1+b)p_1+(x_2+b)p_2+\cdots +(x_n+b)p_n$
$=(x_1p_1+x_2p_2+\cdots +x_np_n)+b(p_1+p_2+\cdots +p_n)$
$=E(X)+b$
できました．
T:そうだね．予想通りだね．次に分散はどうかな，$E(X)$のままでもいいんだけど， $E(X)=m$と置いて計算してごらん．
A:やってみます．なんか，こんな計算していると慣れてきますね．
T:そうだろう．見るだけじゃなく，実際に自分でやるといいんだよね．
A:平均が$m+b$であるから
$V(X+b)=\{(x_1+b)-(m+b)\}^2p_1+\{(x_2+b)-(m+b)\}^2p_2$
$+\cdots +\{(x_n+b)-(m+b)\}^2p_n$
$=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots +(x_n-m)^2p_n$
$=V(X)$
できました．予想通りです．
T:よくできました．まとめて書いておく．
$E(X+b)=E(X)+b,V(X+b)=V(X)$
となるね．
次に確率変数$aX$を考えよう．これはどうなると思う．今度は生徒全員の点数が$a$倍したときだ．
A:合計点が$a$倍になり人数は変わらないから，平均点は$a$倍になります．分散はわかんないな．
T:それでは，平均と分散を計算してみよう．
確率分布をまず書いてから計算してごらん．
A:分かりました．確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & ax_1 & ax_2 & \cdots & ax_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$
だから
$E(aX)=ax_1p_1+ax_2p_2+\cdots +ax_np_n$
$=a(x_1p_1+x_2p_2+\cdots +x_np_n)=aE(X)$
できました．やっぱり予想通りです．
T:つぎは分散だ．$E(X)=m$と置くといいかな．
A:確率変数$aX$の平均が$am$だから
$V(aX)=(ax_1-am)^2p_1+(ax_2-am)^2p_2$
$+\cdots +(ax_n-am)^2p_n$
この後どうするのかな．
T:ここまではOKだ．展開などしないで，式をよく見てごらん．
A:あそうか，$a$で括れるから
$=a^2\{(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots +(x_n-m)^2p_n\}$
$=a^2V(X)$
となるんだ．
T:よくできた．
A:そうか．偏差が$ax_i-am$だからその２乗の和だから$V(X)$の$a^2$倍になるんだね．
T:その通りだよ．やみくもに覚えるのではなく，体にしみこむように身につくといいね．
まとめると，
$E(aX)=aE(X),V(aX)=a^2V(x)$
となります．前に計算した式も書くと
$E(X+b)=E(X)+b,V(X+b)=V(X)$
となる．
これらの式より，$E(aX+b),V(aX+b)$が$E(X),V(X)$で表せるんだけどやってごらん．
A:分かりそうなんだけど，なんか気持ち悪いんですよね．
$E(aX+b)=E(aX)+b$
としていいんですか．
T:この変形気持ち悪いかい．どうしてかな．$aX$は一つの確率変数だよね．だから$aX=Y$と置き換えるといいかな．
A:あそうか．
$E(aX+b)=E(Y+b)=E(Y)+b=E(aX)+b=aE(X)+b \cdots (*)$
となるんですね．
T:そうだよ．もちろん君のでいいんだけど，数学では，当たり前のことをくどくどと書くことはしないんだ． 数学の答案でもそうだよ． やたら詳しく説明を書く生徒がいるけど，いい答案とは言えないな．もちろん， 低学年の生徒にはそんなこと言えないけど．
$V(aX+b)$を置き換えないで計算するとどうなる．
A:$V(aX+b)=V(aX)=a^2V(X)$
なんか，簡単ですね．
T:よくできました．平均の変形でも
$E(aX+b)=E(aX)+b=aE(X)+b$
と書いたほうほうが見やすいんじゃないかな．上の変形$(*)$はノイズが入っている感じがしないかい．
A:ノイズが入っている感じはしませんが，余計な置き換えはしないほうがいいのは分かります．
T:標準偏差は分散の正の平方根で，$a$は負の場合もあるから，まとめると次にようになる．

ここまではいいかい．
A:楽勝，楽勝．
T:それでは１つ例題を解こう．
例題
サイコロを振り，出た目の数だけの100円硬貨と$50$円を加えた額を受け取るゲームをする． １回サイコロを振った時の受け取る金額を$Y$円と した時の$Y$の平均と標準偏差を求めよ．

A:$Y$の確率分布を求めて計算すればいいんじゃないですか．
T:やってごらん．
A:簡単ですよ，こんなの．
えーと確率分布は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y & 150 & 250 & 350 & 450 & 550 &650 \\ \hline P & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} &\frac{1}{6} &\frac{1}{6} \\ \hline \end{array}$
だから
$E(Y)=(150+250+350+450+550+650)\times \dfrac{1}{6}$
これ面倒ですね．あんまりやりたくないな．
T:最後までやらなきゃ．等差数列の性質をでも利用したら．
A:あそうか，最初と最後を加えると
$=\dfrac{800\times 3}{6}=400$
次分散か．分散はもっとやりたくないな．平均が$400$だから
$V(Y)=\dfrac{(-250)^2+(-150)^2+(-50)^2+50^2+150^2+250^2}{6}$
対称だから少し楽になるか．でも多変だな．分子は$50^2$で括ると少し楽になるか
$=\dfrac{50^2\times 35\times 2}{6}$
標準偏差は正の平行根であるから
$\dfrac{50\sqrt{35}}{\sqrt{3}}$
です．
T:なかなかだね．力はついてきたようだね．
A:先生，この計算面倒するぎるんじゃないですか．
T:このぐらいは面倒とは言えないでしょう．
問題を見直そう．もし，サイコロの目が$x$ならいくら受け取るんだい．
A:$x$なら当然受け取る金額は$100x+50$です．
T:何か気が付かないかな．確率変数$Y$を$X$で表して解いてほしかったんだけど．
A:あそうか．$X$をサイコロの目としたとき$Y=100X+50$だから$X$の平均と標準偏差を求めればいいんだ．
じゃやってみます．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6 \\ \hline P & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} &\frac{1}{6} &\frac{1}{6} \\ \hline \end{array}$
これなら楽勝ですね．
$E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{7}{2}$
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$=\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-(\dfrac{7}{2})^2$
面倒ですね．
T:和の公式を用いてごらん．
A:あそうか．
$=\dfrac{\frac{6\times 7\times 13}{6}}{6}-\dfrac{49}{4}$
$=\dfrac{35}{12}$
だから，標準偏差は
$\sigma (X)=\dfrac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}}$
$Y=100X+50$だから
$E(Y)=100E(X)+50=100\times \dfrac{7}{2}+50=400$
$\sigma (Y)=100\sigma (X)=100\times \dfrac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{50 \sqrt{35}}{\sqrt{3}}$
答えが一致しました．
T:よくできました．計算少し面倒だったかもしれないけど，今持っている知識をできるだけ使うといいんだよ． 今の計算で気が付いたかもしれないけど，計算の途中ではあまり有理化はしないほうが楽な場合が多いんだよ． 有理化は約分の逆だから，面倒になることも少なくない．例えば，$\frac{1}{a}$は$\frac{a}{a^2}$ としないように，$\frac{1}{\sqrt{2}}$と$\frac{\sqrt{2}}{2}$では概数を求めるなどの目的があるときはもちろん $\frac{\sqrt{2}}{2}$とするが，一般的には$\frac{1}{\sqrt{2}}$のままでいいよ．
今までの内容をまとめてみよう．
確率変数$X$の平均を$m$，標準偏差を$\sigma $とすると確率変数$aX+b$の平均と標準偏差はいくつになるんだっけ．
A:それは今やったばかりで，
平均は$am+b$,標準偏差は$|a|\sigma $
です．
T:それでは$X-m$の平均と標準偏差は,ここで$m$は$X$の平均だよ．
A:平均は$0$で標準偏差は変わらないから$\sigma$です．
T:それでは$\frac{X-m}{\sigma }$の平均と標準偏差は．
A:$0$は$\sigma$で割っても$0$だから
平均は$0$で標準偏差は$1$です．
T:そうだね．要する，平均$m$,標準偏差$\sigma $の確率変数$X$に対して, 確率変数$\frac{X-m}{\sigma }$は平均は$0$，標準偏差は$1$になるということだね．
A:それはそうでしょう．
T:確率変数$X$に対して，平均$0$，標準偏差$1$の確率変数$\frac{X-m}{\sigma }$を作る ことを$X$を標準化するというんだよ．
A:標準化はどのような時使うんですか．
T:これからたくさん出てくるからここで答える必要はないだろう．それよりも， ２つの資料を比較するときにも使うことに注目しよう．例えば$10$点満点の試験と $1000$点満点の試験そのままでは比べられないだろう．そんな時２つの資料を標準化して比べるんだよ．
A:相関係数もそうですか．
T:全くその通り．例えば資料
$(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots ,(a_n,b_n)$
の相関係数は，それぞれの資料$\{a_1,a_2,\cdots a_n\},\{b_1,b_2,\cdots b_n\}$を標準化したものを
$\{a_1',a_2',\cdots a_n'\},\{b_1',b_2',\cdots b_n'\}$
とすると，相関係数は
$\dfrac{a_1'b_1'+a_2'b_2'+\cdots +a_n'b_n'}{n}$
で定義したものなんだ．
T:君確認してごらん．
A:先生，相関係数の定義覚えていません．
T:私も覚えていないんだけど．どれどれ，教科書持ってくるよ．
A:先生も覚えていないんですか．へー．
T:何言っているんだ．あんなの覚えるわけないだろう．君は勘違いしているな．先生はこんなの百も承知だなんて顔して 教えているけど，白鳥と同じで水面下で苦労しているもんだよ．ちょっと待ってくれ．相関係数の定義をそのまま書くと
資料$\{a_1,a_2,\cdots a_n\}$の平均を$\bar{a}$,資料$\{b_1,b_2,\cdots b_n\}$の平均を$\bar{b}$とすると，$(a_1,b_1),\dots ,(a_n,b_n)$の相関係数の定義は
$\dfrac{(a_1-\bar{a})(b_1-\bar{b})+(a_2-\bar{a})(b_2-\bar{b}) +\cdots (a_n-\bar{a})(b_n-\bar{b})}{\sqrt{(a_1-\bar{a})^2+\cdots +(a_n-\bar{a})^2}\sqrt{(b_1-\bar{b})^2+\cdots +(b_n-\bar{b})^2}}\cdots (\flat)$
これが，すでに説明した，標準化した
$\dfrac{a_1'b_1'+a_2'b_2'+\cdots a_n'b_n'}{n}$
となることを示してごらん．資料$\{a_1,a_2,\cdots a_n\},\{b_1,b_2,\cdots b_n\}$の標準偏差をそれぞれ$\sigma _a,\sigma_b$とすると変形しやすいかな．定義式の$(\flat)$の分子，分母を$n$で割ってごらん．
A:あ，わかりました．$n=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}$だから
$(\flat)=\dfrac{1}{n}(\dfrac{a_1-\bar{a}}{\sigma _a}\dfrac{b_1-\bar{b}}{\sigma _b}+\cdots + \dfrac{a_n-\bar{a}}{\sigma _a}\dfrac{b_n-\bar{b}}{\sigma _b})$
となります．
$a_k,b_k$を標準化するとそれぞれ$\frac{a_k-\bar{a}}{\sigma_a},\frac{b_k-\bar{b}}{\sigma _b}$ だから
$=\dfrac{a_1'b_1'+a_2'b_2'+\cdots a_n'b_n'}{n}$
となります．
A:先生，これだと相関係数もすっきりしますね．どうしてあんな分かりづらい定義にしたんでしょうね． 授業では，資料の標準化を教えて，ここでやった定義で教えたらいいんじゃないですか．
T:それはどうかな．相関係数はセンターテストでしか出題されないだろう． 君も知っている通り，センターテストは解き方が指定されるわけだから， 相関係数を求めればいいというだけではないんだ．内容が分かってもテストができないんじゃ生徒が納得しないだろ．
A:でも，先生，相関係数の求め方を見たってあの定義じゃ意味が分かんないでしょう．よくないですよね． がたがた言わず覚えろっていう感じだ．
T:良くないね．シグマを教えていないのに学ぶのも問題だし．データの整理を数学�Tに入れるのは相当無理があったんじゃないかな．私の想像だけど， 数学とは関係ない大家が無理やり入れたんだと思うよ．箱ひげ図だって私は初めて聞いたし，必要とは思えない． なんていうと，数学のどこが必要なんだなんて返ってきそうだけど．数学と関係ない人の意見も大事だから何とも言えないかな．
さて，今日も沢山学んだね．今日は終わりにしよう．次回は二項分布を扱う予定だ．
A:どうもありがとうございました．

5.二項分布

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