A:先生こんにちは．
T:相変わらず元気だね．
A:体調はいいですよ．頭はいまいちだけど．
T:私は年のせいか，朝早く目が覚めて，それから眠れないから困るんだ．今も眠いよ． 君が来なければごろごろしているところだ．年を取るとよく眠れることは幸せの半分をつかんだようなものなんだよ．
それでは始めよう．
前回は${}_nC_r$を二項係数として扱ったね．今日は組み合わせの個数として扱うよ．
組み合わせによる${}_nC_r$の定義は何だい．
A:$n$個から$r$個を取る場合の総数です．
T:そうだね．正確に言うと，
n個の異なるものがあるとき，選ぶ順番は問題にしないでｒ個を取り出したものをｎ個からｒ個を取り出す組み合わせと いい，その組み合わせの総数を${}_nC_r$で表す．
となる．それでは，${}_nC_r$は幾つだ．
A:そんなの簡単です．
${}_nC_r=\dfrac{{}_nP_r}{r!}=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}$
です．
T:そうだね．すべて階乗で表すとどうなる．
A:やったことあるんだけど，どうやるんだっけ・・・．
T:具体的に考えたら．たとえば
$10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7$
を階乗だけで表すのはどうする．
A:そうか$10!$にするのだから
$\dfrac{10\cdot 9\cdot \cdot 8 \cdot 7}{1}=\dfrac{10!}{6!}$
です．
T:それでは${}_nC_r$はどうなる．
A:ちょっと待ってください．$n-r+1$から$1$を引くと$n-r$だから，分子，分母に$(n-r)!$をかけてると
${}_nC_r=\dfrac{{}_nPr}{r!}=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
です．
T:よくできました．ここでやったように，できないとき簡単な例で考えたりすると解決することがよくあるよ．
少し，階乗の計算練習をしよう．
$\dfrac{6!+7!}{5!+6!}$
を計算してごらん．
A:小学生みたいだな．これ計算するのですか．
T:問題を変えよう．
$\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}$
計算してごらん．通分するんだ．
A:どうするのかな．あそうか．分母を$6!$にするんだ．だから，
$\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}=\dfrac{6}{6!}+\dfrac{1}{6!}=\dfrac{7}{6!}$
です．
T:そうだね．それでは上の問題を解いてごらん．分子，分母を共通項で括るんだ．
A:問題の意味わかってきました．分子，分母を計算して割るんじゃないんだ．
$6!+7!=6!+7\times 6!=8\times 6!$
同じようにして
$5!+6!=5!+6\times 5!=7\times 5!$
だから
$\dfrac{6!+7!}{5!+6!}=\dfrac{8\times 6!}{7\times 5!}$
これは$5!$で約分できるから
$\frac{48}{7}$です．
T:そうだね．これぐらいでいいだろう．
それでは今まで求めた組み合わせのいろいろな性質を見ていこう．
$\bullet {}_nC_r={}_nC_{n-r}$
この性質は
${}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
より導き出すのはどうすればよいかな．
A:${}_nC_{n-r}$は$r$を$n-r$に替えればいいから，えーと
$n-(n-r)=r$ だからまたく同じ式になります．
T:そうだね．
${}_nC_{n-r}=\dfrac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}}=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$
となるね．
それでは，この式を組み合わせの意味より考えるとどうなる．
A:まってました．それ僕知っているんです．$r$個を選ぶことは残りである$n-r$個を選ぶことだからです．
T:そうだね．具体的に言うと例えば$\{a,b,c,d,e\}$から２個を選ぶということは，同時に選べない方に注目をすれば ３個を選ぶこと，すなわち
$A:\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{b,c\},\{b,d\},\{b,e\},\{c,d\},\{c,e\},\{d,e\}$
および
$B:\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b,e\},\{a,c,d\},\{a,c,e\},\{a,d,e\},\{b,c,d\},\{b,c,e\},\{b,d,e\},\{c,d,e\}$
とすれば，
$\{a,b\}\mapsto \{c,d,e\},\{a,c\}\mapsto \{b,d,e\},\cdots $
のように$A$と$B$が１対１に対応しているということです．これはなかなか高級なことだよ．
$A$と$B$が１対１に対応するとは
$A$の要素に対して，ただ一つの$B$の要素が決まり，逆に$B$の要素に対してただ一つの$A$ の要素が決まるということです．
A:先生大丈夫ですか．そんな当たり前のこと言って．心配だな．
T:ごめん，ごめん．これ重要で．２つの集合$A,B$が１対１に対応するならば$A,B$の要素の個数は同じだよね．
A:だから先生，当たり前でしょ．
T:それでは，自然数全体と偶数全体を見てみよう．
$\{1,2,3,4,5,\cdots \}$と$\{2,4,6,8,\cdots \}$です．
A:２倍するという対応で１対１に対応ついていますね．
T:そう$n\mapsto 2n$という対応で自然数と偶数は1対1に対応している． だから，自然数の個数と偶数の個数は等しいんだ．通常無限個の個数は濃度を使います．
A:偶数は自然数の部分集合でしょ．なんか奇妙ですね．
T:その通り，奇妙なことだけど，理論的には正しいだろ．次に正の有理数全体を考えよう．
有理数を，分母，分子加えた数が$2,3,4,\dots $となる数を次のように順に並べるよ．
$\dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{1},\left(\dfrac{2}{2}\right),\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{1}, \dfrac{3}{2},\dots $
$\frac{2}{2}$のように約分できるものは省略すれば，重複なく自然数と１対１に対応つくだろう．
A:なるほど．有理数全体も自然数と同じ個数（同じ濃度）なんですね．無限個の個数というのは不思議な世界ですね．
T:自然数と１対１に対応つく集合を数えることができるという意味で可算集合といいます．
A:無限個の集合はすべて可算集合なんですか．
T:実数は可算集合より濃度が大きいんだ．例えば$0\leqq x\leqq 1$は自然数より多いんだ．
A:小さい順に並べたらどうですか．
T:できそうだけど，並べるられたとすると矛盾する，これを対角線論法という方法で証明するんだけど ，興味があったら調べてごらん．
A:興味ありません．

話を戻そう．次は
$\bullet {}_nC_r={}_{n-1}C_r+{}_{n-1}C_{r-1}$
だ．これを，計算で示してごらん．よい計算練習だ．
A:できるかな．やってみます．
${}_{n-1}C_r+{}_{n-1}C_{r-1}=\dfrac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}+\dfrac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}$
$=\dfrac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}+\dfrac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$
このあと見通しが立ちません．
T:そうだな．答えを言うのは簡単だけど，
${}_8C_2+{}_8C_3$
を計算してごらん．
A:${}_8C_2+{}_8C_3=\dfrac{8!}{2!\cdot 6!}+\dfrac{8!}{3!\cdot 5!}$
ちょっと待ってください．分母を$3!\cdot 6!$にすればいいんだ．
$=\dfrac{3\cdot 8!}{3!\cdot6!}+\dfrac{6\cdot8!}{3!\cdot 6!}$
$=\dfrac{9\cdot 8!}{3!\cdot 6!}$
$=\dfrac{9!}{3!\cdot 6!}={}_9C_3$
できました．
T:よくできました.それでは上の計算やってごらん．
A:できそうです．
$\dfrac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}+\dfrac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$
$=\dfrac{(n-r)\cdot (n-1)!}{r!(n-r)!}+\dfrac{r\cdot (n-1)!}{r!(n-r)!}$
$=\dfrac{\{(n-r)+r\}\cdot (n-1)!}{r!(n-r)!}$
$=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
$={}_nC_r$
できました．この変形充実感があります．
T:よくできた．数学ってこのように学べばいいんだよ．例えば，君と同じ人がもう一人いて，片方は君で， 要するにつまずいたらすぐ答えを見る人で，もう一方はつまずいたとき，簡単な場合を調べたり，前を読み直したりして 何とか解決する人だ．長い間では相当の差がつくんじゃないかな．
A:先生何気なく厳しいことをいいますね．
T:何かのヒントになればと思って言ったんだけどね．たまにはでいいからやってごらん．でも， 君の人生だから，自分で考えて進むのが一番だ．
${}_nC_r={}_{n-1}C_r+{}_{n-1}C_{r-1}$
を組み合わせの方法で解決しよう．
A:先生，それ知っています．あるものを含む含まないでやるんでしょう．
T:その通りです．
例えば，$\{a,b,c,d,e,f\}$から$3$個を選ぶ場合の総数は
選ぶ場合を$a$を含む，含まないで分けて数える．
$a$を含む場合は,残り$5$個から$2$個を選ぶ場合で${}_5C_2$個，
$a$を含まない場合は,残り$5$個から$3$個を選ぶ場合で${}_5C_3$個，
したがって
${}_6C_3={}_5C_3+{}_5C_2$
が成り立つ．
それでは，${}_nC_r$を${}_{n-2}C_r$で表してごらん．
A:2つを含むかどうかを考えるんですね．
$a,b$を定め，
$a,b$を含むとき${}_{n-2}C_{r-2}$
$a$を含み$b$を含まないとき${}_{n-2}C_{r-1}$
$b$を含み$a$を含まないとき${}_{n-2}C_{r-1}$
$a,b$ともに含まないとき${}_{n-2}C_{r}$
だから
${}_nC_r={}_{n-2}C_{r-2}+2{}_{n-2}C_{n-1}+{}_{n-2}C_n$
となります．
T:よくできました．
次に
${}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_{n-1}+{}_nC_n=2^n\cdots (*)$
を考えよう．
$5$個の要素からなる集合$\{a,b,c,d,e\}$の部分集合の個数を考えよう．
例えば，2個の要素からなる部分集合は何個ある．
A:これは組み合わせの基本です．当然${}_5C_2$です．
T:それでは，上の$(*)$の左辺はどうなる．
A:${}_nC_0$はどう考えるのかな．
T:空集合に対応すると考えてごらん．
A:分かりました．集合$\{a,b,c,d,e\}$のすべての部分集合の個数です．
T:その通りだ．次に，集合$\{a,b,c,d,e\}$の部分集合を別の見方をしよう．
例えば，集合$\{b,d\}$は$b,d$を含み，$a,c,e$を含まないから,
$a \ \ \ b \ \ \ c \ \ d \ \ \ e$
$\times \bigcirc \times \bigcirc \times$
のように，文字の下に含めば$\bigcirc$含まなければ$\times$を書いてみよう．
そうすると，$\{a,b,c,d,e\}$の部分集合と，$\bigcirc ,\times$のいずれかを選んで5個を１列に並べたものが対応するのが分かるんじゃないかな．
A:先生，さっき言った，１対１に対応する集合の個数は等しいですね．
T:以前説明した恒等式と似ているだろう．見かけは異なるが全く同じもの．同じ個数を異なる表現をしている とでもいうかな．数学ってこの辺に注目するといいんじゃないかな．
ところで$\bigcirc ,\times$のいずれかを選んで5個を１列に並べた場合の総数はどうなる．
A:それは，全部２通りだから$2^5$通りです．
T:だから
${}_5C_0+{}_5C_1+{}_5C_2+{}_5C_3+{}_5C_4 +{}_5C_5=2^5$
が成り立つんだ．
A:なんか腑に落ちるという感じはしないな．
T:ちょっと難しいかな．寝てるときにあっそうなのかとわかるときが来るかもしれない．
例えば，５個の要素の集合から２個の要素の集合への写像の総数としても用いられる．すなわち
$f:\{a,b,c,d,e\}\to \{\bigcirc ,\times\}$
の写像の総数とも一致しているよ．
だから，集合$A=\{a,b,c,d,e\}$の部分集合全体を$A$のべき集合と呼び$2^A$と表すこともあるんだ．
今日はこの辺で終わりにするけど，最後が分かってないみたいだな．私も疲れて説明が雑になったようだ． 内容を簡単に書いてやるからゆっくり考えてごらん．
A:分かりました．ところで，先生，この前学んだ２項定理の問題，高校時代使ったチャート式の問題解いてみたんですけど，スイスイ解けてびっくりしました．先生の教え方がよかったみたいです．
T:それは勘違いだな．学ぶとき，学ぼうとする君の気持こそが大事なので，どんな説明をしたとしても，教員の力など 小さなものだ．でも正しい道を進んでいるようでうれしいよ．
A:その中で，
$(x^2+3x-2)^4$を展開したときの$x^5$の係数を求めよ．
が分からなかったんですけど．
T:これか．なかなか難しいよ．一緒に考えよう．まず
$(a+b+c)^n$を展開したらどうなる．
A:任せてください．
$\{(a+b)+c\}^n$
$=(a+b)^n+{}_nC_1(a+b)^{n-1}c+\cdots $
$+{}_nC_k(a+b)^{n-k}c^k+\cdots +{}_nC_nc^n \ \cdots (**)$
あれ，この後どう書くのかな．
T:ごめんごめん．私の言い方がまずかった．書きようがないね．展開したとき出てくる項は$a^pb^qc^r$の形であることは 分かるかい．
A:それは，
$(a+b+c)^n=(a+b+c)(a+b+c)\cdots (a+b+c)$
より，$a,b,c$のいずれかを取ってそれらを掛け合わせたものだから
$a^pb^qc^r \ \ (p+q+r=n)$
T:なかなかいいね．それなら，二項定理の問題全部解けたというのがうなずけるよ．
それでは展開したときの$a^pb^qc^r$の係数を求めてごらん．もちろん$p+q+r=n$だよ．
A:$c$の$r$乗だから$(**)$の
${}_nC_r(a+b)^{n-r}c^r$
だけを考えればよいから，これからどうするのかな．
T:なかなか難しいね．$p+q+r=n$だから$n-r=p+q$とみてごらん
A:あ，そうか．
${}_nC_r(a+b)^{n-r}c^r$で$(a+b)^{n-r}$の展開を考えればよいから$a^pb^qc^r$の係数は
${}_nC_r{}_{n-r}C_q$
となります．
T:まとめるのは後でやるとして，さっき君が言った
$(a+b+c)^n$
$=(a+b+c)(a+b+c)\cdots (a+b+c)$
すなわち
$ \{a,b,c\}, \{a,b,c\}, \cdots ,\{a,b,c\}$
のそれぞれから1つの文字を選び掛け合わせ加えたものと考えたね．
この考えだと$a^pb^qc^r$の係数はどうなる．
A:$a$を$p$個，$b$を$q$個，$c$を１列に並べた場合の数です．
T:選んだものを１列に並べていくわけだね．何通りになるんだ．
A:$a$を$p$個全部異なる，すなわち$a_1,a_2,\dots ,a_p$，同様に$b,c$もそれぞれ$b_1,\dots , b_q;c_1 \dots ,c_r$ とし，１列に並べ，１通りが$p!q!r!$通りに対応しているから
$\dfrac{n!}{p!q!r!}$
です．
T:素晴らしいね，１列に並べるのを，最初$c$の場所を定め，その各々の場合に対して残りの場所から$b$の場所を定めると， 自動的に$a$ の場所が決まるから
$\dfrac{n!}{p!q!r!}={}_nC_r\cdot {}_{n-r}C_q\cdots (\sharp)$
が成り立つんだね．
T:$(\sharp)$を計算で証明してごらん．
A:できるかな，ちょっと心配だな．えーと
${}_nC_r\cdot {}_{n-r}C_q$ $=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\cdot \dfrac{(n-r)!}{q!(n-r-q)!}$
ここで$n-r-q=p$だから$(n-r)!$を約分して
$=\dfrac{n!}{p!q!r!}$
となります．なんだ簡単だ．
T:まとめると
$(a+b+c)^n$
を展開したとき$a^pb^qc^r \ (p+q+r=n)$の係数は
$\dfrac{n!}{p!q!r!}$
としてもよいし
${}_nC_r\cdot {}_{n-r}C_q$
としてもよい．
ちなみに君はどちらを選ぶ．
A：どっちでも大丈夫．あえて言えば階乗の方かな．
T:それでは君のといた問題をもう一度みてみよう．
$(x^2+3x-2)^4$を展開したときの$x^5$の係数を求めよ．
これを展開したとき出てくる項は
A:$\dfrac{4!}{p!q!r!}(x^2)^p(3x)^q(-2)^r$です．
T:これを整理しよう．
A:$\dfrac{4!3^q(-2)^r}{p!q!r!}x^{2p+q}$
です．これで，$2p+q=5$を満たす$p,q$を求めるんですよね．
こういうのが僕は苦手なんです．
A:$2p+q=5$ともう一つ条件があるんじゃないかな．
A:あそうか．$p+q+r=4$ですね．だから
$\begin{cases} 2p+q=5\\p+q+r=4\end{cases}$
を解くんですね．
ダメなんですよね．こういうの．
T:以前私が言っただろう．数学は知識で解くんじゃなく，考えて解く，そのトレーニングの場なんだよ． ゆっくり考えてごらん．$p,q,r$は$4$以下だから一つの文字を決めたらどうなる．
A:先生分かりました．$p=0$のとき$q=5$となり，第２式より条件を満たさない．
$p=1$のとき$q=3$さらに$r=0$
$p=2$のとき$q=1$さらに$r=1$
$p\geqq 3$のとき第１式より条件を満たすことはない．
できました．
T:ここまでいいね．まだ終わっていないよ．最後までやってごらん．
A:あそうか．係数に注目して
$\dfrac{4!\cdot 3^3\cdot (-2)^0}{1!\cdot 3! \cdot 0!}+\dfrac{4!\cdot 3^1\cdot (-2)^1}{2!\cdot 1!\cdot 1!}$
先生$0!$はどうするんですか．
T:後で言うけど$0!=1$で計算してごらん．
A:$108-72=36$になりました．
T:解答私も知らないので，計算してみるね．正しいみたいだよ．
$0!$は${}_nC_n$を階乗で表してごらん．
A:${}_nC_n=\dfrac{n!}{n!0!}$
あそうか．この値が$1$だから$0!=1$なんだ．
T:そうだね．$0!=1$と定義するのが回りの関係式と整合性があるという意味なんだね．
いやー今日は長かったね．
A:そんなことはない，楽しかったですよ．
T:次回はもう少しコンディションを整えるよ．これで準備は終わった．これからが本題だよ． 次は確率分布を扱う予定だ．
A:せんせい何回ぐらいを予定しているんですか．
T:長いと君も飽きるので，１０回から多くとも１２回では終わると思うよ．
今日はこれで終わりにしよう．
A:どうもありがとうございました．

4.確率分布

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