A:先生こんにちは．
T:よく来たね．
A:先生，おかげで数学少し良くなったみたいです．電話で，今日二項定理をやるって聞いたから少し予習してきました．
T:予習やってもいいけど，あまり必要ないよ．コンディションを整えて，学ぶとき集中すればいいんだよ．余裕があるなら， 前学んだ分野の例題や問題を解いたら．君はいろんな知識があるけで，一つ一つが定着していないようだよ．
それでは始めよう．
今日は君が言った通り二項定理です．二項定理は現在，数学�Uで学ぶんだけど，多くの高校生，この辺から知識があやふやになってくるみたいだ．君はどうかな．
A:どうかな．あんまり自信ないな．
T:二項定理とは
$(a+b)^n$
の展開公式です．
まず展開の意味をきちんと理解しよう．
$(a+b)(c+d+e)$
を展開してごらん．
A:そんなの簡単です．
$(a+b)(c+d+e)=a(c+d+e)+b(c+d+e)$
$=ac+ad+ae+bc+bd+be$
T:問題ないね．ところで展開って何をすることだい．
A:ばらばらにすることですよね．まとめるのが因数分解です．
T:質問が悪かったね．この展開は
$\{a,b\}$から一つ選び，$\{c,d,e\}$から一つ選び積を計算しそれらをすべて加えたもの
ということが分かるかい．
A:ちょっと待ってください．ホウ，そうとも言えますね．$\{a,b\}$から$a$を取った場合が$a(b+c+d)$で$b$をとった場合が$b(c+d+e)$なわけですね． 無意識で計算しているけど，計算し残しがないようにうまくできているんだ．
T:その通りです．それでは$(a+b)^n$を考えよう．これどうなるかわかるかい．
A:昨日教科書みて公式は覚えているけどすぐ忘れるだろうな．
T:今ならわかると思うよ．
$(a+b)^5$の展開で考えよう．
$(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$
の展開だから
$\{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\}$
のそれぞれから$a,b$のいずれかを選びかけ合わせそれらをすべて加えたものだね．
A:ちょっと待ってください．頭の中を整理するから．
T:授業で内容が理解できないのは，内容の難しさより，先生の議論の展開のスピードに追い付かない場合が多いんだ． ゆっくり考えて．
A:展開の定義ですね．当たり前です．
T:展開したとき出てくる項は
$a^{\square}b^{\triangle }$ の形だけだろう．
A:そうりゃー，$a$か$b$を選んでかけ合わせるんだからそうですよ．
T:それでは$a,b$の指数の和である$\square +\triangle$の値はいくつだい．
A:5個だから$\square +\triangle =5$です．
T:じゃ，$(a+b)^5$を展開したとき出てくる項をすべて書いてごらん．
A: $\square +\triangle =5$だから,えーと
$a^5,a^4b,a^3b^2,a^2b^3,ab^4,b^5$
です．
T:そうだね，あとは係数を求めるだけだ．
$a^3b^2$の係数を求めよう．
もう一回定義に戻ろう．
$\{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\}$
そろぞれから1つを取って掛け合わせたのが$a^3b^2$ということはどういうとり方をするんだい
A:$a$を３個，$b$を２個取るんでしょう．
T:何通りあるかな．
A:ここが難しいんでしょ．
T:ここが肝だ．よく見てごらん．$a$か$b$を取るのだから，$a$を取らないということは$b$を取るということだ．
だから，$a$を３個，$b$を２個取るということは$b$に注目するなら，$b$を２個取る場合の数を求めればいいんだ．
具体的にやってみよう．たとえば，
$\{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\} , \{a,b\}$
$\ \ \bigcirc \hspace{8mm} \bigcirc \hspace{9mm} \times \hspace{10mm} \times \hspace{10mm} \times$
は$\bigcirc$で$b$を選び，$\times$は$b$を選ばない，すなわち$a$を選ぶわけだ．
この後全部の場合を求めてごらん．
A:先生，わかりました．やらなくとも大丈夫です．
５個から２個を選ぶ場合の数で$_5C_2=10$です．
$(a+b)^5$の展開分かりました．$b$を選ぶ場合に注目して
$(a+b)^5={}_{5}C_0a^5+{}_5C_1a^4b+{}_5C_2a^3b^2+{}_5C_3a^2b^3+{}_5C_4ab^4+{}_5C_5b^5$
例えば，$b$を選ばないは全部$a$を選ぶということで${}_5C_0=1$の意味がよく分かります．
T:二項定理の理解は大丈夫そうだね．
A:ここまで言われなくとも分かっていたんですけど．
T:ただね，基本事項をきちんと理解することがとても大切なんだ．特に君にはね．例えば参考書など書く時も，ある程度できる人を対象にする 難問の解説はそれ程難しくない．内容の導入部の解説は，循環論法にならない，どのように説明するのが分かりやすいか，どういう順番が理解しやすいかを考えながら書く必要があり 君が思うより難しいんだよ．
まあ，そんなことは君にとってどうでもいいことだけど，二項定理分かったようだね．
それでは,改めて$(a+b)^n$を展開した式を書いてごらん．
A:そんなの楽勝楽勝．$b$の個数に注目するから
$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b^1+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots +{}_nC_na^0b^n$
です．エッヘン．
T:途中$a^{n-k}b^k$の係数を入れて書くのが一般的だから付け加えて．
A:分かりました．
$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b^1+\cdots +{}_nC_ka^{n-k}b^k+\cdots +{}_nC_na^0b^n$
です．
T:よくできました．もちろん，${}_nC_0,a^0,b^0$は$1$だから省略してもいいけどこれでいいでしょう．
まとめると次のようになる．
$(a+b)^n={}_nC_0a^nb^0+{}_nC_1a^{n-1}b^1+\cdots +{}_nC_ka^{n-k}b^k+\cdots +{}_nC_na^0b^n$
となる．この展開式を二項定理という．組み合わせを表す${}_nC_r$は二項定理の展開式の係数であるから ${}_nC_r$を二項係数ともいう．
A:${}_nC_r$を二項係数と言ってもよいということですね．
T:説明が悪かったかな．${}_nC_r$は組み合わせとは別に$(a+b)^n$を展開したときの$a^{n-r}b^r$の係数と 定義された数だという意味です．だから，組み合わせとは関係ありません．
例えば，${}_4C_2$は$(a+b)^4$を展開したときの$a^2b^2$の係数として定義された数だという意味です．
A:ほう．この定義が，組み合わせの順列により求まる定義と繋がるわけですね．
T:まったくその通り．君はいいものを持っている．授業の時も，これからどのように話が展開するのかななどと考えながら聞けたら一流だよ． できる生徒はそうしているんだよ．

さあ，これからが本題だ．
$(a+b)^5=(a+b)(a+b)^4\cdots (\sharp)$
が成り立つね．$(a+b)^5,(a+b)^4$をそれぞれ展開し$(\sharp)$を書き直してごらん．
A:お安い御用です．
${}_5C_0a^5+{}_5C_1a^4b+{}_5C_2a^3b^2+{}_5C_3a^2b^3+{}_5C_4ab^4+{}_5C_5b^5$
$=(a+b)({}_4C_0a^4+{}_4C_1a^3b+{}_4C_2a^2b^2+{}_4C_3a^1b^3+{}_4C_4b^4)$
となりました．
T:この等式から，${}_5C_k$と${}_4C_k$の関係読み取れないかい．
A:どれどれ．右辺を展開したら左辺になるのだから，例えば$a^2b^3$の係数は$ab^3$の係数と$a^2b^2$の 係数の和になる．だから
${}_5C_3={}_4C_3+{}_4C_2$
となります．
T:その通りです．一般の${}_nC_r$と${}_{n-1}C_r$の関係も読み取れるかい．
A:ちょっと待ってください．$a^{\square}b^{\triangle }$の係数はそれぞれ指数を一つずつ引いた $a^{\square -1}b^{\triangle }$および$a^{\square}b^{\triangle -1}$の係数の和だから
${}_nC_r={}_{n-1}C_r+{}_{n-1}C_{r-1}\cdots (\flat)$
がなりたつ．これは組み合わせを学んだ時も出てきたと思うけど覚えているかい．
A:覚えてないです．
T:組み合わせの復習もしたいから，あとで組み合わせの性質を用いて考えよう．今は組み合わせの性質を用いていないよ．
もう一つ，
$(a+b)^n=(b+a)^n$
を利用しよう,右辺を展開してごらん．今度は$a$の個数に注目して，
$(b+a)^n={}_nC_0b^n+{}_nC_1b^{n-1}a^1+\cdots +{}_nC_{n-k}b^ka^{n-k}+\cdots +{}_nC_na^n$
加える順番を逆にし
$={}_nC_na^n+{}_nC_{n-1}a^{n-1}b^1+\cdots +{}_nC_{n-k}a^{n-k}b^k+\cdots +{}_nC_0b^n$
$(a+b)^n$の展開の式と比べ，$a^{n-k}b^k$の係数に注目して
${}_nC_k={}_nC_{n-k}\cdots (\natural)$
が成り立つ．これも，組み合わせではお馴染みの性質だね．
A:何やっているかわかりません．なんでこんな示し方をするんですか．
T:数学ってこんな議論の進め方をするんだ．2項係数は$(a+b)^n$を展開したときの係数として定義したわけです．だから，組み合わせの性質を用いないで 示したかったわけなんだけど．
次に${}_nC_r$の値を求めよう．
A:そんなの知っています．
T:知っているのはわかるけど，２項係数の性質を利用して，すなわち今やった$(\flat)$より求めるんだ．

右図を見たことないかな．
A:あるある．なんとかの三角形ですよね．
T:パスカルの三角形といわれているね．
次の行を求めてごらん．もちろん$(\flat )$を利用するんだけど．
A:そんなの簡単，簡単．えーと
$1+6$をその間に書いて，$6+15$をその間に書けばいいから
$1,7,21,35,35,21,7,1$
です．
T:よくできまました．ちなみに
${}_nC_0={}_{n-1}C_0+{}_{n-1}C_{-1},$
${}_nC_n={}_{n-1}C_{n-1}+{}_{n-1}C_n$
で${}_{n-1}C_{-1}=0,{}_{n-1}C_n=0$とみます．
君の求めた数字は$(a+b)^7$を展開したときの係数を並べてものです．すなわち
${}_7C_0,{}_7C_1,{}_7C_2,{}_7C_3,{}_7C_4,{}_7C_5,{}_7C_6,{}_7C_7$
です．このように${}_nC_r$を求めることができるわけです．
A:${}_nC_r$約分して計算すればいいんですが思ったより面倒だから，これも案外便利かもね．
T:次に，一行全部加えたらどうなる．たとえば，一番下の行
$1,6,15,20,15,6,1$
を全部加えてごらん．
A:$64$です．
T:その上の行は
A:$1+5+10+10+5+1=32$です．
T:なんか気が付かないかい．もう一つその上の行も計算しよう．
A:$1+4+6+4+1=16$，その上が$1+3+3+1=8$分かりました．$2$の累乗になっています．すなわち，第１行から順に
$2^1,2^2,2^3,3^4,2^5,2^6$
となっているます．
T:そうだね．一般に
${}_{n}C_0+{}_{n}C_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_n=2^n$
が成り立ちます．
組み合わせによる説明はあとでやるとして，２項係数の性質より導き出しましょう.
$(a+b)^n$の$a=1,b=x$として展開してごらん．
A:任せてください．
$(1+x)^n={}_nC_01^n+{}_nC_1x+{}_nC_2x^2+\cdots +{}_nC_{n-1}x^{n-1}+{}_nC_nx^n$
です．
T:そうですね．これは恒等式だね．
A:先生ちょっと待ってください．恒等式ってなんでしたっけ．
T:あそうか．ちょっとその復習をしよう．君は言ってくれるからほんとに教えやすい．
恒等式とは，見かけが違うだけで全く同じ式のことだよ．式の変形で得られる式と言ってもいいかな．
例えば，展開や因数分解で得られる，
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$
が恒等式です．恒等式では文字に何を代入しても等号が成り立ちます．
一方，等号で結ばれた式のうち，恒等式でない式を方程式といいます．方程式で等号を満たす文字の値を 方程式の解という．
だから，例えば直線の式を
$y=2x+1$
とするなら，これは恒等式でないから方程式で，直線の方程式といいます． この直線は，座標平面上の点$(x,y)$で$x$座標，$y$座標の関係が$y=2x+1$であるものを すべて集めた図形という意味です．
もうちょっと説明するね．恒等式は文字に何を代入しても等号が成り立つから，例えば
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$のとき$x^3-1$の値を求めよ
という問題のとき君はどうする．
A:僕はまず2乗してからさらに$x$をかけ$x^3$を求め$1$を引くかな．
T:それはそれでいいんだよ．ただ物は使わないと錆びるように，数学も使わないとだんだん使えなくなるんだ．
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$を代入すると$0$になる$x$の2次式，言い方を変えると$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ が解の2次方程式を作ってごらん．
A:$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
2倍して
$2x=1+\sqrt{5}$
$2x-1=\sqrt{5}$
両辺を2乗して
$4x^2-4x-4=0$
より
$x^2-x-1=0$
これでいいですか．
T:そうだね．それでもいいよ．よくやるのは$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$が解の2次方程式だから， 解の公式を考えてごらん．もう一つの解を考えて
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
が解の方程式をつくるとどうなる．解の和と積を計算して求めてごらん．
A:解の和は
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=1$
解の積は
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1-5}{4}=-1$
でこの後どうするんでしたっけ．
T:解と係数の関係の逆だ．数学は逆の定理を使うのが難しいんだよね．
A:あそうか．
$x^2-x-1=0$
で僕がやったのと一致しました．
T:やろうとしていることが伝わっていないな．
$x^3-1$を$x^2-x-1$で割ったらどうなる．
A:商が$x+1$余りが$2x$です．
T:そうだね，ということは
$x^3-1=(x^2-x-1)(x+1)+2x$
となり，これは恒等式だね．実際，右辺を展開して計算すると左辺になるね．仕上げは君がっやてごらん．
A:あそうか．何を代入してもいいから，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$を代入し$x^2-x-1=0$だから
$2\times \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}$
よくわかりました．先生早くいってください．人が悪いんだから．
T:君と話していると若返るよ．分かったみたいだね．代入するとき，代入して$0$になる式を作り，割って余り に代入すればよいということだね．
これはよく使い，例えば関数$f(x)$の極値を求めるととき，導関数$f'(x)=0$の解が無理数になるとき$f(x)$を$f'(x)$ で割った余りに代入して極値を求めることは一度はやっているじゃないかな．
せっかくだから１題解いてみよう．
問題
関数$y=2x^3-3x^2-6x+1$の極値を求めよ．
この問題を解いてごらん．
A:楽勝楽勝．微分して
$y'=6x^2-6x-6$
$y'=0$を解くと
$x^2-x-1=0$
だから，これは因数分解できないので
$x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
あそうか，この値を代入するときに，$x^2-x-1$で割った余りに代入するというわけですね．
分かったからこれでいいでしょう．
T:だめだめ．最後まで緊張感をもって解くように．これは習慣付けなさい．計算ミスをよくする生徒いるけど， 多くは君みたいで途中で分かったからいいとやめてします生徒だ．内容はわかっているから，計算ミスはいいんだなんていう人がいるけど， こういう人は大事なところで計算ミスをするんだよ．ちなみに，大人の私たちは何かを計算するとき，計算ミスがあるとそれ以降の の展開が台無しになることを知っているから，何度も検算したり，パソコンで確認したりして注意深くすすめるもんだよ．

A:分かりました．でもこの計算緊張感をもってやれと言われても無理だけどやってみましょう．
$x^2-x-1=0$
を解くと
$x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
で，$2x^3-3x^2-6x+1$を$x^2-x-1$で割ると商が$2x-1$で余りが$-5x$であるから
$2x^3-3x^2-6x+1=(2x-1)(x^2-x-1)-5x\cdots (*)$
であるから
$x=\frac{1- \sqrt{5}}{2}$のとき極大値$\frac{-5(1- \sqrt{5})}{2}$
$x=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}$のとき極小値$\frac{-5(1+ \sqrt{5})}{2}$
です．
T:よくできました．ところで，右のグラフの直線，すなわち極大値の点と極小値の点を 結ぶ直線の式はわかるかい．
A:点の座標が分かるので，傾きを求めて計算するのですか．複雑であまりやりたくないですね．
T:上の$(*)$を見てごらん．余りである$-5x$に注目し$y=-5x$を考えるんだ．
$f(x)=2x^3-3x^2-6x+1$の$x=\frac{1- \sqrt{5}}{2},x=\frac{1 \sqrt{5}}{2}$の値は， $y=-5x$の値となっているだろう．
だから，$y=-5x$が極値を通る直線なんだ．これは，同じことが4次関数をその導関数で割った余りでも 成り立つので確かめてごらん．
A:いまいち分からないですが，あとでもう一度考えてみます．

話を戻そう．
$(1+x)^n={}_nC_01^n+{}_nC_1x+{}_nC_2x^2+\cdots +{}_nC_{n-1}x^{n-1}+{}_nC_nx^n$
が恒等式なのはいいね．実際左辺を展開したのが右辺だ．だから，$x$に何を代入しても等号が成り立つね．
$x=1$を代入してごらん．
A:$2^n={}_nC_0+{}_nC_1+{}_nC_2+\cdots +{}_nC_{n-1}+{}_nC_n\cdots (*)$
になりました．
T:OK.つぎに$-1$を代入してごらん．
A:$0={}_nC_0+{}_nC_1(-1)^1+{}_nC_2(-1)^2+\cdots +{}_nC_{n-1}(-1)^{n-1}+{}_nC_n(-1)$
T:その通り．マイナスの項を左辺に移項したらどうなる．
A:偶数番目が正で奇数番目が負だから
${}_nC_1+{}_nC_3+{}_nC_5+\cdots ={}_nC_0+{}_nC_2+{}_nC_4+\cdots (**)$
となります．
T:よくできました．
T:少し説明しよう．右図が2項係数のパスカルの三角形だ．
一番下の行が$(a+b)^8$を展開したの時の係数で全部加えると$2^8$, 下から2番目の行は$(a+b)^7$を展開したの時の係数で全部加えると$2^7$となる．これが$(*)$だね．
また，$(a+b)^7$の係数で
$1+7=8,21+35=56$
だから，第７行の数列をすべた加えたものは第8行の偶数項を加えたのに等しくその和は$2^7$で$2^7\times 2=2^8$ だから，$(**)$に少し付け加えて
${}_nC_1+{}_nC_3+{}_nC_5+\cdots ={}_nC_0+{}_nC_2+{}_nC_4+=2^{n-1}$
となります．
A:先生，いろいろ繋がって面白いですね．
T:次は組み合わせの性質を用いてここで得た性質を見直すんだが，今日はここまでにしよう．
A:分かったからいいんじゃないですか．
T:違う違う．前にも言っただろう．数学は知識じゃないんだ．一つの内容をいろいろな方面から見ることにより 理解が深まり，思考力も磨かれるんだ．それに目を向けなくちゃ．

二項係数を学んだので，これから学ぶ統計学の内容を少しだけ説明しよう．
右図を見てごらん．${}_{50}C_k$の$15\leqq k\leqq 35$の範囲の点を打ったものだ（端の方は$0$に近いので無視した）． この図を見てどう思う．
A:先生,どう思うといわれてもね．上に凸，左右対称ぐらいかな．
T:この図は，自然現象に現れる曲線なんだ．ある程度以上の人数，例えば1万人ぐらいがテストをうけたとき，平均点の回りが 一番多く，平均点から離れるとだんだん少なくなり図のような分布なるんじゃないかな．多くの人の身長を 計測してもこんな分布になりそうだろ．統計学は，この分布，これを二項分布という，を土台に議論が進むんだよ．

二項分布は飛び飛びだけど，この点を滑らかに結んだらどうなるか興味あるだろう.何そんなことは興味ない．そんなこと言わず聞いてくれ． この近似曲線が簡単に表せ それが右図です(この曲線を正規分布曲線という)．実際に作ってみました．
２つのグラフを重ねたのが右下図です．私，昨日作ったんだけど，こんなに重なるとは 思わなかった．
A:先生これ初めてなんですか．
T:もちろん初めてだよ．こんなこと，君が統計やりたいといわない限り一生やることはないよ．
ただ，重なるといっても，縦軸のメモリを見てごらん，$10^{14}$だから，1万や２万の違いはグラフ上同じになるんだ． これは後でゆっくり学ぼう．
正規分布曲線のグラフはきちんと計算されていて， このグラフに帰着させ，問題を解決することになります．
これからのとりあえずの目標は
例えば，1000人検査して2％のコロナウイルスの感染者がいたとき， 全体ではどの程度の感染者がいると考えられるか
という問題でこれを通常推定といいます．もう一つ
例えば，政府がコロナウイルスの感染者を2％と発表したとき，実際にサンプルを取り調べ，政府発表が正しいかどうかを判断する．この判断も 100％正しい，正しくないではなく95％正しい，99％正しいという判断の方法を学びます． この95％，99％を危険率とか有意水準といいます．これが検定です．
これから学ぶ内容の頂が少し見えたんじゃないかな．一部面倒なところあるけど，楽しんで学んでいこう．
君数学�Vはどうだい．
A:僕一応理系ですから．数学�Vが一番できたように思います．あれ単純な計算が多いから．
T:それなら十分これからの内容理解できるよ．
数学�Vを使わないでも計算はできそのように配慮するけど，それでは結果を覚えなければならず面白みは伝わらないでしょう． やはりきちんと理解するには 数学�Vの微分，積分が必要です．と言っても関数$f(x)=e^{-x^2}$を変形したものを扱うだけだから身構える必要はない． 必要ならその都度説明するので 数学�Uまでの知識で何とかなります．
今日も沢山学びました．これで終わりにしよう．
A:ありがとうございました．

3.組み合わせ


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