10.有名な確率分布(2)
$\S3 \ $幾何分布とパスカル分布
幾何分布
A:数列$\{p(1-p)^k\}$は初項$p$公比$1-p$の等比数列ですね．ある試行で事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何度も繰り返した時，はじめて$E$が起こるまでに， $E$が起こらなかった回数を表す確率変数を$X$と置くと $P(X=k)=(1-p)^kp \ \ (k=0,1,2,\dots)$ である．確率変数$X$が従うこの確率分布を確率$p$の幾何分布といい$G(p)$で表す． T:そうだね．だから等比分布と言ってもいいんだろうが，習慣に従って幾何分布というんだ．ちなみに，幾何数列は等比数列のことで，幾何平均とは相乗平均のことだ． 今でも，3個以上の相乗平均$\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$のことを$a_1,a_2, \dots a_n$の幾何平均ということが多い．ちなみに$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$は$a_1,a_2,\dots ,a_n$の算術平均と呼ぶ． 確率変数$X$の取る確率の和 $P(X=0)+P(X=1)+\cdots +P(X=n)+\cdots $ は幾つになる． A:$p+p(1-p)+p(1-p)^2+\cdots =\dfrac{p}{1-(1-p)}=1$ です． T:これは，いつかは事象$E$が起こるから，当たり前の事実と言えるね． 次に，確率$p$の幾何分布$G(p)$の平均と分散を求めよう． 平均$E(X)$を求めてごらん． A:平均の定義は $\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}kP(X=k)$ だから $\displaystyle =\sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^kp$ これは，等差数列と等比数列の積よりなる数列の和で，結構面倒ですね． T:公比をかけて引いて計算するんだね．その方法であとで解いてごらん．ただ極限なら簡単に求まるのでそれを 説明しよう． $1+x+x^2+\cdots +x^n=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\cdots (1)$ この等式はいいね． A:等比数列の和ですね． T:辺々微分してみよう． $1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{(n+1)x^n(1-x)+x^{n+1}}{(1-x)^2}\cdots (2)$ $-1 < x < 1$ならば，$n\to \infty$のとき$(1)$の右辺の第2項が$\to 0$だから $-1 < x < 1$のとき $1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}+\cdots =\dfrac{1}{(1-x)^2}$ が成り立つね． A:先生，その説明センスないですよ． $1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\dfrac{1}{1-x}$ の両辺を微分したらいいじゃないですか． T:それでいいんだけど，級数は注意深く扱ってほしいんだ． 級数は項別に微分しても構わないということを認めれば,君の方法で問題ないんだが， それを避けるためにこうしたんだ． 良い機会だから，少し級数の話をしよう．級数は和ではないんだ． A:変なこと言いますね．級数は和ではないとはどういうことですか． T:和の持つ性質を持たないので和ということはできないといった方がいいかな． 高校の数学Vの教科書見てみようか．級数の定義どうなっている．教科書のここを見てごらん． A:無限数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots $ の各項を順に$+$で結んだ式 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+\cdots \ \ \ (\sharp)$ を無限級数(または級数)という．(数研出版 数学V) となっています．だから無限個の和を無限級数というんじゃないですか． T:よく見てごらん．$+$で結んだ式とは書いてあるが和とは書いていないだろう． A:なるほど．和とは書いていないですね． T:そのあとを読んでごらん． A:無限数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．すなわち $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ この$S_n$を無限級数$(\sharp)$の第$n$項までの部分和という． 部分和$S_n$を第$n$項として新たに次の無限数列$\{S_n\}$を作る． $S_1,S_2,S_3,\cdots ,S_n,\cdots $ 無限数列$\{S_n\}$が収束してその極限値が$S$のとき,無限級数$(\sharp)$は$S$ に収束する，または無限級数$(\sharp)$の和は$S$であるという． とありますが，何が言いたいのかわかりません． T:要するに$(\sharp)$は単なる記号であって，部分和が収束するとき初めて意味を持ちその値を和という． ちなみに 私も学生時代授業でこの説明を聞いて何もわからなかった，先生は強調していたことだけ覚えているよ． 和は交換法則が成り立つ，すなわち加える順番を変えても和は変わらないよね. A:そうれはそうですね．順番で和が変わったら問題だ． T:級数 $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}+\cdots $ を考えるよ．この級数は収束し，和は$\log 2$となる．理由はどの数学Vの教科書にもあるから見てごらん． この級数の順番を変えると極限値をどんな値にもすることができるんだ． それを説明しよう．正の項，負の項はそれぞれ $1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}+\cdots \to \infty \ \ (n\to \infty)$ $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{2n}+\cdots \to \infty \ \ (n\to \infty)$ となるね． A:ぴんと来ないな． T:$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}+\cdots \to \infty \ \ (n\to \infty)$ は問題ないね． $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\cdots +\dfrac{1}{2n}$ $=\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n}) \to \infty \ \ (n\to \infty)$ $1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}$ $> \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\cdots +\dfrac{1}{2n} \to \infty \ \ (n \to \infty)$ となる．無限大に発散する級数は，途中から加えても無限大に発散する．言い方を変えれば，加えるといつかは一定の数より大きくなる． だから，任意の値$A$に対して，加える順番を変えて $1+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{2n_1-1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n_1+1}+\cdots +\dfrac{1}{2n_2-1}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2n_2+1}+\cdots$ とすれば極限値が$A$になるだろう． A:なるほど．$A$を超えるまで正の数を加え，つぎに$A$より小さい値にし，さらに$A$を超えるまで正の数を加える, それを続けるわけですね．そうか，加える順番を変えると結果が変わることがあるから 級数は和といえないわけだ． T:その通りです．もう少し付け加えるなら，加える順番を変えれば別の級数と考えるわけだ． 級数とは難しく，例えばアーベルは 「発散級数なるものは悪魔が発明したものだ．そのようなものを少しでも証明に用いるのは恥辱である・・・」 と言っている．例えば,級数の $1+x+x^2+\cdots =\dfrac{1}{1-x}$ で$x=2$を代入してごらん． A:$1+2+2^2+2^3+\cdots =-1$ とんでもない等式になりました． T:要するに級数は収束して初めて意味を持つんだ．だから，項別微分することに慎重になるのが分かるだろう． しかし， 実際成り立つことだから，君がやったことで問題は起こらないよ(ここで扱ったような各項が正で収束する級数は問題が起こらない)．ただ収束する$x$の範囲は忘れてはいけないよ． さて，すでに求めた式 $1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{(n+1)x^n(1-x)+x^{n+1}}{(1-x)^2}\cdots (2)$ をもう一回微分しよう． $1\cdot 2+2\cdot 3x+\cdots +(n-1)nx^{n-2}=\dfrac{2}{(1-x)^3}+(*)$ となる．ただし，$(*)$は$(2)$の右辺の第２項を微分したもので，$n\to \infty$のとき$\to 0$ となるので計算結果は省略した． $-1 < x < 1$のとき，$n\to \infty$のとき $1\cdot 2+2\cdot 3x+\cdots +(n-1)nx^{n-2}+\cdots =\dfrac{2}{(1-x)^3}$ が成り立つことが分かった．まとめると次のようになるね．
$-1 < x < 1$のとき次の式が成り立つ．
$(*1)$はよく知られた級数の和であるから，君の言ったように$(*1)$を微分して$(*2)$,さらに微分して$(*3)$とすれば分かりやすいかもしれないね．$1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\dfrac{1}{1-x}\cdots (*1)$ $1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}+\cdots =\dfrac{1}{(1-x)^2}\cdots (*2)$ $1\cdot 2+2\cdot 3x+\cdots +(n-1)nx^{n-2}+\cdots =\dfrac{2}{(1-x)^3}\cdots (*3)$ これで，幾何分布の平均，分散が簡単に計算できるのだが，もう少し説明を加える． 例えば$(*2)$の両辺に$x^2$をかけると $1x^2+2x^3+3x^4+\cdots +nx^{n+1}+\cdots =\dfrac{x^2}{(1-x)^2}$ になるし，等差数列と等比数列の積である数列$\{(an+b)r^n\}$の無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (an+b)r^n \ \ (-1 < r < 1)$ は $(an+b)r^n=anr^n+br^n$ として，第1項は$(*2)$,第2項は等比級数より比較的簡単に答えを求めることができる． また，$(*3)$をシグマで書くと $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$ より$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1}$が計算できる．同様に$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)x^{n-1}$を 求めることにより$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^3x^{n-1}$が求められる. A:ほーなるほど．等差数列と等比数列の積による数列の和はあれ結構面倒なんですよね．それが簡単に求められるというわけですね． T:級数の和は求まるが，第$n$項までの和はよく知る方法以外にうまい方法はないんじゃないかな． 実際は，第$n$項までの和を求め$n\to \infty$の時の極限を求めればいいんだ．$nr^n \to 0 (n\to \infty )$に注目し,そこを無視し計算すれば そんなに計算が面倒ではない． 級数に対する理解が不十分なのに，項別に微分するなんていう変形はあんまりしないほうがいいんだよ． さて，これで，幾何分布の平均，分散が求まるから，まず平均を求めてごらん． $E(X)=1\cdot (1-p)p+2(1-p)^2p+\cdots +n(1-p)^np+\cdots $ $=(1\cdot (1-p)+2(1-p)^2+\cdots +n(1-p)^n+\cdots)p$ $(*2)$に$x$をかけた式より $=\dfrac{(1-p)p}{\{1-(1-p)\}^2}=\dfrac{1-p}{p}$ T:その通りです．$V(X)$は私がやろう．典型的な方法なんだけど，知らないとできないんだ． $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ はいいかな． A:ちょっと待ってください．それは分散の定義式ですね． T:そう，定儀式と考えてよい．定義式より導き出され $E(X)=m$とおくと $V(X)=E((X-m)^2)=E(X^2)-2mE(X)+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2$ となる．ここで $E(X^2)=E(X(X-1)+X)=E(X(X-1))+E(X)$ であるから$E(X(X-1))$を計算すればよいね． $E(X(X-1))=1\cdot 0P(X=1)+2\cdot 1P(X=2)+\cdots +n(n-1)P(X=n)+\cdots $ $=1\cdot 2(1-p)^2p+2\cdot 3(1-p)^3p+\cdots +(n-1)nP(1-p)^np+\cdots $ 上の$(*3)$に$x^2$をかけた式より $=\dfrac{2(1-p)^2p}{\{1-(1-p)\}^3}$ $=\dfrac{2(1-p)^2}{p^2}$ したがって $V(X)=E(X(X-1))+E(X)-E(X)^2$ $=\dfrac{2(1-p)^2}{p^2}+\dfrac{1-p}{p}-\dfrac{(1-p)^2}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}$ まとめると次のようになる．
幾何分布の平均と分散 確率$p$の幾何分布$G(p)$の平均は$\frac{1-p}{p}$，分散は$\frac{1-p}{p^2}$である． 話しを進めよう．幾何分布を少し複雑にした次の問題を考えてごらん．
問題
A:これは解いたことがあります．$r$回$E$が起こる直前までに$k$回$E$が起こらないから,すなわち$E$が$r-1$回$\bar{E}$が$k$回起こるから事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何回か繰り返し，事象$E$が$r$回起こるまでに，事象$E$が起こらなかった回数を表す確率変数を $X$とする．このとき，確率$P(X=k)$を求めよ． $P(X=k)={}_{r-1+k}C_kp^{r-1}(1-p)^k\cdot p={}_{r-1+k}C_kp^r(1-p)^k$ T:この試行を何回か続ければ必ず事象$E$が$r$回起こるから $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+\cdots +P(X=n)+\cdots =1$ が成り立つことが分かるね． だから，任意の正の数$r$に対して $P(X=k)={}_{r-1+k}C_kp^r(1-p)^k, (k=0,1,2,\dots )$ は一つの確率分布を与える．この確率分布をパスカル分布または負の二項分布と呼ぶ．なお，$r=1$のパスカル分布がすでに述べた幾何分布だね． A:そうなっていますね． T:まとめると次のようになる．
パスカル分布
T:パスカル分布の平均，分散は後で述べるとして，なぜパスカル分布を負の二項分布と呼ぶかについて説明しよう．ある試行で事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何度も繰り返した時，事象$E$が$r$回起こるまでに$E$ が起こらなかった回数を表す確率変数を$X$と置くと $P(X=k)=(1-p)^kp \ \ (k=0,1,2,\dots)$ は確率分布である．確率変数$X$が従うこの確率分布をパスカル分布という． 二項係数${}_nC_r$の書き方を変えてみる． 例えば${}_7C_3$で説明する． ${}_7C_3=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3!}$ $=(-1)^3\dfrac{(-7)\cdot (-6)\cdot (-5)}{3!}$ $=(-1)^3\dfrac{(-5)\cdot (-5-1)\cdot (-5-2)}{3!}$ 形式的に表せば $=(-1)^3{}_{-5}C_3$ となるね． 同じことを，パスカル分布の$P(X=k)={}_{r-1+k}C_kp^r(1-p)^k$の${}_{r-1+k}C_k$でやってごらん． A:出来るかな． ${}_{r-1+k}C_k$ $=\dfrac{(r+k-1)(r+k-2)\cdots (r+k-1-(k-1))}{k!}$ $=\dfrac{(r+k-1)(r+k-2)\cdots r}{k!}$ $=(-1)^k\dfrac{-r(-r-1)\cdots (-r-(k-1)}{k!}$ 形式的に書けば $=(-1)^k{}_{-r}C_k$ となりました． T:それでいいよ． 今までは，二項係数${}_nC_r$は,$n$は正の整数，$r$は$0\leqq r \leqq n$を満たす整数の場合に考えたが， $n$は$0$または負の整数，$r$は$0$または正の整数のときにも定義する． すなわち，$n < 0$のとき，$n=-n'$とおき， ${}_nC_r={}_{-n'}C_r$ $=\dfrac{-n'(-n'-1)\cdots (-n'-r+1)}{r!}$ ${}_nC_0={}_{-n'}C_0=1$ と定義する． このように定義すると ${}_{r+k-1}C_k=(-1)^{k}{}_{-r}C_k$ となるね． そうすると,すでに考えた 事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何回か繰り返し，事象$E$が$r$回起こるまでに，事象$E$が起こらなかった回数が$k$回の確率は $(-1)^k{}_{-r}C_kp^r(1-p)^k={}_{-r}C_kp^r(p-1)^k \ (k=0,1,2,\cdots ) \cdots (\sharp)$ となる． パスカル分布は，$(\sharp)$で決まる分布であるから，この確率分布を負の二項分布ともいう． A:負の二項係数を用いると結果がきれいになりますね． T:結果がきれいになってもそれが使えなければあまり意味が無い．私はわからないのでこれ以上話ができないが， ここで述べた，超幾何分布とか，パスカル分布は複素関数論と深いつながりがりがありそうだ．言い方を変えれば，複素関数論の知識があれば パスカル分布や超幾何分布は別の見方ができるんじゃないかな． そうはいっても，せっかく勉強したんだから，パスカル分布の平均と分散を求めて終わりにしよう． 二項分布の平均と分散の計算方法覚えているかい． A:先生，全然覚えてないです． T:それが普通だよ．何度も学ぶうちに自然に身につくんだ． 二項分布の平均や分散を二通りで計算した．一つはシグマの計算で，もう一つは，$k$回目の試行で，事象が起これば$1$起こらなければ$0$とする確率変数を $X_k$とし，二項分布を $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$ として計算した．同時分布の終わりの方にあるので，読み返してごらん． パスカル分布の平均，分散の計算でも2通りの方法でできるが，計算が簡単な2番目の方法を用いよう．
ある試行において，事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何回か繰り返した時，事象$E$が$r$回起こるまでに$E$が起こらなかった回数を表す
確率変数を$X$とする．このとき$X$の平均$E(X)$,分散$V(X)$をもとめよう．
それでは計算しよう．この試行を繰り返し，初めて事象$E$が起こるまでに$E$が起こらかかった回数を表す確率変数を$X_1$とする．要するに，$X_1$は確率$p$の幾何分布に従う 確率変数だ． つぎに，第1回目に$E$が起こってから，第2回目に$E$が起こるまで$E$が起こらななかった回数を表す確率変数を$X_2$,以下同様に，$X_3,X_4,\dots$を定める． このとき，$X_1,X_2,\dots ,X_r$の従う確率分布はみな同一の確率分布である． すなわち $E(X_1)=E(X_2)=\cdots =E(X_r)=\dfrac{1-p}{p}$ $V(X_1)=V(X_2)=\cdots =V(X_r)=\dfrac{1-p}{p^2}$ が成り立つ． 事象$E$が$r$回起こるまでに$E$ が起こらなかった回数を表す確率変数$X$は $X=X_1+X_2+\cdots +X_r$ である,さらに$X_1,X_2,\dots ,X_r$ は独立であるから $E(X)=E(X_1)+\cdots +E(X_r)=rE(X_1)=\dfrac{r(1-p)}{p}$ $V(X)=V(X_1)+\cdots +V(X_r)=rV(X_1)=\dfrac{r(1-p)}{p^2}$ まとめると次のようになる．
パスカル分布の平均と分散
今日の予定した内容はこれで終わりだ．ある試行で事象$E$が起こる確率を$p$とする．この試行を何度も繰り返した時，事象$E$が$r$回起こるまでに$E$ が起こらなかった回数を表す確率変数を$X$と置く． このとき，$X$の平均$E(X)$,分散$V(X)$は $E(X)=\dfrac{r(1-p)}{p},V(X)=\dfrac{r(1-p)}{p^2}$ である． 次回からいよいよ統計に入る．これからは難しいところはないので，気楽に構えたらいいんじゃないかな． A:そうですか．先生は難しくないといっても，学ぶほうは大変なんですけど． T:その通りだ．考えが慣れるまで時間がかかるよね．教える側はそれを忘れるんだ．もう少しだから頑張って入れ． A:分かりました．ありがとうございます． 11.推定 目次 全体の目次 |