9.有名な確率分布(1)
A:先生こんにちは．
$\S 1 \ $ポアソン分布
当たりを引く確率が$\frac{1}{100}$のくじを$100$本引いたとき，当たりをちょうど1本引く確率を求めよ．
A:先生，くじは元に戻すんですか．それとも戻さないで続けて引くんですか． T:鋭い指摘だね．ここでは毎回戻しながら続けて引く場合を考える(復元抽出)．いわゆる二項分布だ．なお， 毎回戻さないで，続けてひく(非復元抽出)場合は，超幾何分布といい次に学ぶよ． A:それなら簡単です．二項分布$B(100,\frac{1}{100})$に従うから $P(X=1)={}_{100}C_1\frac{1}{100}\cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{99}=\left(\frac{99}{100}\right)^{99}$ こんなの計算できないでしょう． T:計算はとても大変だね．ただ近似値は分かるんじゃないかな． 少し変形し $\left(\frac{99}{100}\right)^{99}=\dfrac{1}{(\frac{100}{99})^{99}}=\dfrac{1}{(1+\frac{1}{99})^{99}}$ とすると見えてくるだろう．． A:全然見えてこないんですけど．あそうか．対数計算するんですか． T:対数計算は想定していないけど．常用対数表を用意しよう． $(1+\frac{1}{99})^{99}$のかわりに$(1+\frac{1}{100})^{100}$を求めてごらん． A:$\log_{10}1.01=0.0043$より$100\log_{10}1.01=0.43$ したがって常用対数表より $(\frac{101}{100})^{100}\fallingdotseq 2.7$ となりました． T:これで分かっただろう．$2.7$は何の近似値だい． A:全然わかってないんですけど． T:そうか，この辺から説明しよう．知識があるないは大きな問題ではない．心配する必要はないよ． 自然対数の底である$e$は覚えているかい．この$e$は無理数で $e=2.718\cdots$ この$e$はどのような数か説明しよう． 
自然対数$y=\log _{e}x=\log x$を微分するとどうなる． A:それは楽勝です． $y'=\dfrac{1}{x}$ T:それでは$y=\log x$の$x=1$における微分係数は幾つだい． A:先生僕を馬鹿にしていませんか．そんなの$1$に決まっているでしょう． T:ごめんごめん．馬鹿にしていないよ．私より優秀だなと思ってみているよ．私の君の年齢の時は学ぶときに君ほど前向きでなかった． それでは，定義に従って，$y=\log x$の$x=1$における微分係数を求めてごらん． A:定義に従ってか．久しくやったことないから出来るかな． $\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\log (1+h)-\log 1}{h}=\lim_{h\to 0}\log (1+h)^{\frac{1}{h}}$ これを求めるんですね． T:そうだね．この極限値が$1$だからどうなる． A:$\log$の底が$e$だから $(1+h)^{\frac{1}{h}} \to e \ \ (h\to 0)$ になります． なるほど，これが自然対数の底$e$の定義ですね．この説明あまり見かけないですね． T:授業ではよく用いられているだろうけど，この説明には欠陥がある．循環論法になっているんだ． よく見てごらん．$\log x$の微分を計算するとき，どうしても $\displaystyle \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdots (\sharp)$ が収束することを用いるのに，$(\sharp)$を求めるために$y=\log x$の微分を 用いているだろう．これは数学ではやっていけないんだ．ただ教育では，論理的なことも重要だが， 生徒がどのようにすれば納得できるかを考えるので，授業ではしばしば用いられているんじゃないかな． 
ちなみに$y=(1+\dfrac{1}{x})^x$ のグラフは右図のようになる．
話を進めよう．
ポアソン分布 確率変数$X_n$が$n$が十分大きい，かつ平均が一定値$\lambda$の二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$に従うとき， $P(X_n=k)$の$n\to \infty$のときの極限値による近似は確率変数$X_n$の近似を与える．この近似をポアソン近似という． ポアソン近似により得られる新しい確率変数$Y$すなわち $P(Y=k)=\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(X_n=k) \ \ (k=0,1,2,\cdots)$ で得られる$Y$は確率変数で，$Y$の従う確率分布を平均$\lambda$のポアソン分布と呼ぶ． ポアソン分布を求めよう．すなわち，確率変数$X_n$が二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$に従うときの $\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(X_n=k)$ である． 単純な極限の計算問題だけど，まず$k=3$の場合の $\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(X_n=3)$ の場合を計算すると，見通しが良くなるから計算してごらん． A:$X_n$が二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$に従うときの $P(X_n=3)={}_nC_3(\frac{\lambda}{n})^3(1-\frac{\lambda}{n})^{n-3}$ $=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot \dfrac{\lambda ^3}{n^3}\cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-3}$ となります． $(1-\frac{\lambda}{n})^{n-3}$はどうするのかな． T:これは大学入試で経験しているんじゃないかい． $(1-\dfrac{\lambda}{n})^{n-3}=\dfrac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^3}\to \dfrac{1}{e^{-\lambda}} \ \ (n\to \infty)$ とすればよい． A:$\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(X_n=3)=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{3!}\cdot \dfrac{n(n-1)(n-2)}{n^3}\lambda ^3\cdot (1-\dfrac{\lambda}{n})^{n-3}=\dfrac{\lambda ^3}{3! e^{\lambda}}$ となりました． T:よくできました．それでは $\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(X_n=k)$ を計算してごらん．$k$は有限で，$n$は無限大であることを考慮すれば同じ計算であることが分かるよ． A:やってみます． $P(X_n=k)={}_nC_k(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$ $=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \dfrac{\lambda ^k}{n^k}\cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$ $(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}\to \frac{1}{e^{\lambda}} \ (n\to \infty)$は上で計算してあるから $\to \dfrac{\lambda ^k}{k!e^{\lambda}} \ \ (n\to \infty)$ となります． すなわち，確率変数$Y$が平均$\lambda$のポアソン分布に従うとき， $P(Y=k)=\dfrac{\lambda ^k}{k!e^{\lambda}} \ \ (k=0,1,2,3,\dots)$ が成り立つ． ここでは，平均$\lambda$のポアソン分布を$P(\lambda)$と表すことにする． ポアソン分布$P(\lambda)$に従う確率変数$X$の確率分布は次のようになる． $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & \cdots & n &\cdots \\ \hline P & \frac{1}{e^{\lambda}} & \frac{\lambda}{e^{\lambda}} & \frac{\lambda ^2}{2! e^{\lambda}} & \cdots & \frac{\lambda^n}{n!e^{\lambda}}& \dots \\ \hline \end{array}$ A:ポアソン分布の平均や分散はどうなるんですか． T:ポアソン分布で平均や標準偏差が必要になることはないと思うが一応確認しておこう． まず，確率分布における確率の和から見てみよう． $e^x$を多項式で表したらどうなる． A:まえに先生話しましたね． $(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!})'=\frac{x^n}{n!}$ だから$e^x$$を(e^x)'=e^x$を満たす関数と考えて $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots$ ですね． T:その通り，それを踏まえて，上の確率分布の確率の和はどうなる． A:$\frac{1}{e^{\lambda}} + \frac{\lambda}{e^{\lambda}} + \frac{\lambda ^2}{2! e^{\lambda}} + \cdots + \frac{\lambda^n}{n!e^{\lambda}}+\cdots$ $=\dfrac{1}{e^{\lambda}}(1+\lambda +\dfrac{\lambda ^2}{2!}+\cdots +\dfrac{\lambda ^n}{n!}+\cdots )$ $=\dfrac{e^{\lambda}}{e^{\lambda}}=1$ となります． T:その通り．だからポアソン分布は確率分布と言えるわけだね． 平均や分散は直接計算してもいいんだけど，平均$\lambda$のポアソン分布は二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$の$n\to \infty$ としたものだ．二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$に従う確率変数の平均と分散は幾つになる． A:二項分布の分散忘れました． T:忘れていいんだよ．調べればいいんだから．ちなみに，二項分布$B(n,p)$の平均，分散はそれぞれ $np,np(1-p)$ だ． A:二項分布$B(n,\frac{\lambda}{n})$に従う確率変数の平均は$\lambda$で分散は$\lambda (1-\frac{\lambda}{n})$です． T:だから，$n\to \infty$として，平均$\lambda$のポアソン分布に従う確率変数の平均，分散は共に$\lambda$になる．
平均$\lambda$のポアソン分布に従う確率変数の平均，分散は共に$\lambda$である．
T:ポアソン分布がどんな確率分布であるかわかったかな． A:$n$が十分大きい時の二項分布ですね． T:そうです．二項分布$B(n,p)$に従う確率変数$X$は$P(X=k)$を$n,p,k$で表したけど，$B(n,p)$で$np=\lambda$のとき， すなわち二項分布の平均が一定値$\lambda$のとき，$n$が十分大きい時$P(X=k)$は$\lambda ,k$で表せるということだ． A:かえって混乱しそうだけどまあいいか． T:教える側は，うまくまとめたつもりなのに，逆効果なことってあるんだろうな．これは私の限界だ． さて，ポアソン分布を学んでも，それが使えなければしょうがないね．ポアソン分布の例を挙げよう． 次の問題を考えてごらん．
ある病院で，時間外の緊急患者数を1年間記録したところ，１日平均$5$人であった．この病院で，一日の緊急患者が$10$人になる確率を求めよ
A:どっから手を付けるか想像もつきません． T:それはそうだろう．もちろん，時間外のどの時間帯も緊急患者の来方は変わらないとするよ． 時間外の時間を午後5時から翌日8時までとして考える．その時間を1単位時間とする． 
1単位時間を$n$等分する．緊急患者は$n$個の小区間のいずれかに入る．場合によっては一つの小区間に2人以上の緊急患者が入ることも考えれれるが，$n$
を十分大きくすれば，一つの小区間に2人以上の緊急患者は入らないとしてよい．$n$が十分大きい時，小区間に訪れる緊急患者数は$\frac{5}{n}$である. $1$単位時間には小区間が$n$個続くわけであるから，緊急患者数は二項分布$B(n,\frac{5}{n})$に従う．$n$ が十分大であるから，平均$5$のポアソン分布に従う． 
計算してみよう．$\dfrac{\lambda ^{10}}{10!e^{\lambda}}$ に$\lambda =5$を代入すればよい．右図が結果で$0.018$だ．要するに$10$人来ることは殆どないわけだね． 
ついでに$P(X=k)$の $0\leqq k\leqq 10$ を右に示しました． ここで考えたように，一定の時間内にまれに起こる現象の分布として，ポアソン分布が利用される．
超幾何分布 当たりが$n$個，外れが$N-n$個入っている袋の中から$r$個を取り出すとき，その中に含まれる当たりの個数を$X$ とすると$X$は確率変数でその確率分布を超幾何分布という． $P(X=k)$を求めてごらん． A:これは楽勝です． $P(X=k)=\dfrac{{}_nC_k\cdot {}_{N-n}C_{r-k}}{{}_NC_r}\cdots (\sharp)$ です． T:よくできました．なかなか優秀だね． もう一つの確率分布を考えよう．
当たりが$n$個，外れが$N-n$個入っている袋の中から一個ずつ元に戻さないで$r$個を選ぶ．その中に含まれる当たりの個数を$Y$
とすると$Y$は確率変数である．その確率分布を調べよう．．
このように元に戻さないで選ぶことを非復元抽出というよ．$P(Y=k)$を求めてごらん． A:これは難しいそうですね． T:これまでも話してきたけど，非復元抽出の時，選んだのを一列に並べていくと考えやすいよ． A:そういえばやりましたね．実をいうとあんまりわからなかったんですよね． T:そうだろう．少し詰め込みすぎだなと感じていたんだ．もう一度ゆっくり考えていこう． A:当たりも外れもすべて区別して考え，一列に並べるんだから，分母は ${}_NP_r$ ですね． T:分子はどうなる． A:当たりの場所を定め，その後順列を考えればいい．だから分子は ${}_rC_k\cdot {}_nP_k\cdot {}_{N-n}P_{r-k}$ しががって， $P(Y=k)=\dfrac{{}_rC_k\cdot {}_nP_k\cdot {}_{N-n}P_{r-k}}{{}_NP_r}\cdots (\flat)$ T:それでいい．ここで，$P(X=k)=P(Y=k)$が成り立つんだがそれを調べよう．やってごらん． A:形が．大分違うけどこれ一致するんですか． T:一致するよ．計算で確認しよう．階乗は素数みたいな性質があるから，全部階乗で表してごらん． A:${}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!},{}_nC_r=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$ を使うんですね． $P(X=k)=\dfrac{{}_nC_k\cdot {}_{N-n}C_{r-k}}{{}_NC_r}$ $=\dfrac{n!(N-n)!(N-r)!r!}{(n-k)!k!(N-n-r+k)!(r-k)!N!}$ $P(Y=k)=\dfrac{{}_rC_k\cdot {}_nP_k\cdot {}_{N-n}P_{r-k}}{{}_NP_r}$ $=\dfrac{r!n!(N-n)!(N-r)!}{(r-k)!k!(n-k)!(N-n-r+k)!N!}$ 本当だ．一致しました．難しくないですね． T:よくできました．ちなみに 当たりが$n$個，外れが$N-n$個入っている袋の中から一個ずつ毎回元に戻しながら$r$個を選ぶ． その中に含まれる当たりの個数を$Z$とすると$Z$は確率変数だね．$Z$の確率分布はどうなる． A:それは簡単です．二項分布$B(r,\frac{n}{N})$です． T:その通り．だから二項分布と超幾何分布の違いは，復元抽出か非復元抽出かの違いなんだね． 超幾何分布の平均，分散はすでにもっと難しい形で説明してあるんだけど大丈夫かな．必要なら後でやるとして，まず，$N$が大きいとき，超幾何分布は二項分布で近似されることを示そう． サンプルを選ぶとき通常は非復元抽出で行う．本来は超幾何分布であるが二項分布で構わないという根拠になっているんだよ． それでは，超幾何分布は二項分布で近似されることを示そう． $Y$を超幾何分布，$Z$をそれに対応する二項分布とするよ． $P(Y=k)=\dfrac{{}_rC_k\cdot {}_nP_k\cdot {}_{N-n}P_{r-k}}{{}_NP_r}$ $P(Z=k)={}_rC_k(\dfrac{n}{N})^k(\dfrac{N-n}{N})^{r-k}$ において$N$が十分大のとき $P(Y=k)\fallingdotseq P(Z=k)$ を示す． $P(Y=k)=\dfrac{{}_rC_k\cdot {}_nP_k\cdot {}_{N-n}P_{r-k}}{{}_NP_r}$ $={}_rC_k\dfrac{\{n(n-1)\cdots (n-k+1)\}\cdot \{(N-n)(N-n-1)\cdots (N-n-r+k+1)\}}{N(N-1)\cdots (N-r+1)}$ 分子，分母を$N^r$で割る $={}_rC_k\dfrac{\{\frac{n}{N}(\frac{n}{N}-\frac{1}{n})\cdots (\frac{n}{N}-\frac{k-1}{N})\}\cdot \{\frac{N-n}{N}(\frac{N-n}{N}-\frac{1}{N})\cdots (\frac{N-n}{N}-\frac{r-k-1}{N})\}} {1\cdot(1-\frac{1}{N})\cdots (1-\frac{r-1}{N})}$ $r,k$に比べ$N$が十分大のとき $\fallingdotseq{}_rC_k\left(\dfrac{n}{N}\right)^k\left(\dfrac{N-n}{N}\right)^{r-k}$ したがって，$N$が十分大きい時，超幾何分布は二項分布で近似されることが分かった． これで，超幾何分布についての説明は終わりなんだけど，平均と分散は自分で計算できるかな． A:出来ない出来ない．先生やってください． T:同時分布は確率分布のうちの面倒なところだ．何度か読めば分かるけど，一緒に求めてみよう． まず問題の内容をはっきりしよう．
超幾何分布の平均と分散
$i$回目の試行で,当たりを引けば$1$,外れをひけば$0$を取る確率変数を$Y_i$とする．このとき当たりが$n$個，外れが$N-n$個入っている袋の中から一個ずつ元に戻さないで$r$個を選ぶ．その中に含まれる当たりの個数を$Y$ とすると$Y$は確率変数である．平均$E(Y)$,分散$V(Y)$を求める． $Y=Y_1+Y_2+\cdots +Y_r$ と表せる． A:これは，二項分布の分散を求めたときと同じ考えですね． T:その通りです． $Y_i$の確率分布を求め平均を求めてごらん． A:何回目に引いても当たりを引く確率は$\frac{n}{N}$であるから $P(Y_i=1)=\frac{n}{N}$したがって $E(Y_i)=1\times \dfrac{n}{N}+0\times \dfrac{N-n}{N}=\dfrac{n}{N}$ となります． T:よくできた．ついでに確率変数$Y_i^2$の平均も求めてごらん． A:$Y_i^2$の取る値は$0$か$1$で $P(Y_i^2=1)=\frac{n}{N}$だから $E(Y_i^2)=1\times \dfrac{n}{N}+0\times \dfrac{N-n}{N}=\dfrac{n}{N}$ です． $Y_i$の取る値が$0,1$の時は必ず$E(Y_i)=E(Y_i^2)$になりますね． T:その通り． $i,j$が異なるとき，確率変数$Y_iY_j$の平均を求めてごらん．これができればあとは単純な計算だ． A:どうやるんだったかな．選んだものを一列に並べるんですよね． T:それが分かりやすい． $P(Y_iY_y=1)=P(Y_i=1\text{かつ}Y_j=1)$ だから$i$番目と$j$番目が当たりである確率だ． A:分母は$N!$で分子は，$i$番目と$j$番目にあたりを置いてあとは自由に置くから $P(Y_iY_y=1)=\dfrac{n(n-1)(N-2)!}{N!}=\dfrac{n(n-1)}{N(N-1)}$ となります． だから $E(Y_iY_j)=1\times \dfrac{n(n-1)}{N(N-1)}+0\times (1-\dfrac{n(n-1)}{N(N-1)})=\dfrac{n(n-1)}{N(N-1)}$ です． T:あとは $E(Y)=E(Y_1+\cdots +Y_r)=E(Y_1)+\cdots +E(Y_r)$ $V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2$ より計算してごらん．こんなのは先生のやっているのを見ただけじゃ不十分で，自分で計算するのが一番だ． A:やってみます． $E(Y)=E(Y_1+\cdots +Y_r)=E(Y_1)+\cdots +E(Y_r)=r\times E(Y_i)=\dfrac{rn}{N}$ $V(Y)=E((Y_1+\cdots Y_r)^2)-E(Y)^2$ 任意の$i$で$E(Y_i^2)=\frac{n}{N}$,任意の異なる$i,j$で$E(Y_iY_j)=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}$だから $=rE(Y_i^2)+r(r-1)E(Y_iY_j)-E(Y)^2$ $=r\dfrac{n}{N}+r(r-1)\dfrac{n(n-1)}{N(N-1)}-\left(\dfrac{rn}{N}\right)^2$ これでいいですか． T:ここまではいいから，あとはきちんと整理しなきゃ． 共通因数で括ってごらん． A-$=\dfrac{rn}{N^2(N-1)}\{N(N-1)+N(r-1)(n-1)-rn(N-1)\}$ 展開して整理すると $=\dfrac{rn}{N^2(N-1)}(N^2-Nr-Nn+rn)$ $=\dfrac{rn(N-n)(N-r)}{N^2(N-1)}$ T:これが超幾何分布の平均と分散だ．まとめると次のようになる．
超幾何分布の平均と分散
ここで，二項分布$B(r,\frac{n}{N})$の平均，分散と比べてみよう．当たりが$n$個，外れが$N-n$個入っている袋の中から一個ずつ元に戻さないで$r$個を選ぶ．その中に含まれる当たりの個数を$Y$ とすると$Y$は確率変数である．このとき，平均$E(Y)$,分散$V(Y)$は $E(Y)=\dfrac{rn}{N},V(Y)=\dfrac{rn(N-n)(N-r)}{N^2(N-1)}$ である． 二項分布の平均は$r\cdot \frac{n}{N}$,分散は$r\cdot \frac{n}{N}\cdot \frac{N-n}{N}$だから, 平均は同じで，分散は超幾何分布の分散を $r\cdot \dfrac{n}{N}\cdot \dfrac{N-r}{N-1}\cdot \dfrac{N-n}{N}$ とみると少し見やすいかもしれないね.要するに $\dfrac{N-r}{N-1}\fallingdotseq 1$ としたものだ． 今日はこれで終わりにしよう．時間があったら今まで学んだことを繰り返し読み直してごらん．毎回新しい発見があるもんだ． 次回も確率分布の復習をしよう． |