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1.条件付き確率

A:先生こんにちは．
T:お，よく来たね．
A:今授業がないからまた来ちゃいました．
T:今日は何か用意しているみたいだから，ひと段落ついたら後で食べよう．
A:なんか申し訳ないな．
T:じゃ始めよう．今日は条件付き確率をやろう．
A:この前僕が苦手だって言ったからですか．
T:関係ない．統計学は確率の土台のもとで出来上がっているから，確率は避けて通れないんだ．確率の基本事項を整理するだけだよ．

確率は何か起こる可能性を調べるためのものだ．割合は，全体を100として考えたとき％で全体を10としたとき割を用いるだろう．
確率は全体を1としたときの割合のことだ．
A:先生そのぐらいは知っています．一応理系出身ですから．割合といえば，僕は食塩水の問題が苦手だったんです．すいません話の腰を折っちゃって．
T:君いいもの持っていると思うんだけど，躓く原因がどっかにあるだよね．急ぐ必要はない．食塩水の問題を考えよう．
例えば，5％の食塩水100ｇと10％の食塩水200ｇを混ぜたら何％になる．
A:僕は食塩水の問題はまず
$\dfrac{\text{塩}}{\text{塩}+\text{水}}\times 100$
とノートの端の方に書いてからやるんです．
T:あまりよくないね．躓きの原因がすこし分かったような気がする．
ちょっと問題を変えて，
男子10人，女子20人いるとき男子の割合はいくつだい．
A:それは簡単です．$\frac{1}{3}$でしょ．
T:男子の割合というのは，全体の中における男子の比率だよね．
A:それは当然です．
T:食塩水も同じです．食塩水の濃度とは全体における塩の割合だよ．食塩水は何と何からできている．
A:塩と水です．あそうか．塩を男，水を女と思えばいいんだ．
T:そうだよ解いてごらん．
A:塩の量は
$\dfrac{\text{塩}}{100}＝0.05$
だから5ｇと
$\dfrac{\text{塩}}{200}＝0.1$
より20ｇだから25ｇで全体が300ｇだから
$\frac{25}{300}$になったけどこれでいいんですか．
T:適当に作ったからこんな値になったけど，十分十分．パーセントで答えるなら100倍すればいいね．
A:食塩水の問題は難しくないですね．
T:きちんと理解すると，覚えることは少なくストレスもあまりないんだよ．
君に食塩水の問題を出して申し訳なかったけど，
数学は多くの内容が自然なんだよ．
そこに目を向けると，学ぶのがだいぶ楽になるんだけど．
A:人によるんじゃないですか．数学のストレスがなくなるようになるとは僕には思えませんけど．

T:話を戻そう．確率を学ぶとき，試行とか事象という言葉が出てくるけど，これは問題を解いてから説明するとして，次の問題を解いてごらん．

問題
10本のくじの中に当たりくじが３本ある．一度引いたくじはもとに戻さない．
(1) はじめPが１本引き，つぎにQが１本引くとき次の確率を求めよ．
(a) PもQも当たる確率
(b) Qが当たる確率
(c) Qが当たった時Pが当たっている確率
(2) P,Q,Rが順に１本ずつ引いたときRが当たる確率

４題用意したけど，この４題ができれば条件付き確率の基本は終了だ．
A:これだけでいいんですか．
T:これだけでいいよ．少しの問題をキチンと理解することが重要だ．特に君はね．
A:どれどれ．
Pが当たる確率は$\frac{3}{10}$で，くじを戻さないから，9本のうち当たりが2本だから Qが当たりを引く確率は$\frac{2}{9}$より
$\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}$
楽勝楽勝．
(b)はどうかな．
先生Pの条件ないけどどういうことですか．
T:Pの条件が書いてないということはPはなんでもかまわない，すなわち当たりでも外れでも構わないということだよ．
例えば，直線の方程式で$y=2$とあったら，$x$はなんでもかまわないといいう意味だろう．なんでもかまわないとき省略するのは数学の習慣です．
A:そうか．Aが当たるときと外れるときそれぞれ求め加えればいいんだ．だから
Pが当たった時は$\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}$
Pが外れたときは$\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}$
だから
$\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}+\dfrac{7}{10}\times \dfrac{3}{9}=\dfrac{3}{10}$
なんか簡単ですね．
次は(c)だ．先生これ問題おかしいんじゃないですか．Qが引いたときにはもうPは引いているので， Qの結果はPに影響を与えないんじゃないですか．
T:問題はおかしくないよ．Qの結果からPの結果を予想しようというんだ．
例えば，10本のくじの中にあたりが1本のとき，私が引いて君が引くとしよう．
君が当たりを引いたら，僕の顔を見てくすくすと笑うんじゃないかな．先生すましてもダメです，私先生の結果知っているんだから．となるだろう．
実際，あと引くQの結果によって先に引くPの結果の感じ方が少し変わるだろう．
Qが外れたときと当たった時を比べると，Qが外れたときの方が当たったときよりPの当たる確率が高い感じがすると思うだろう．その差を計算しようとしてるんだよ．
分かりづらい時は，何回か例えば100回行ったとして，それぞれ何回起こったかを調べると考えやすいことが多いよ．人によるけど．
右のような図を書くんだ． 100回行ったとき，Pが当たるのは30回で，さらにＱが当たるのは$30\times \frac{2}{9}$回という意味です．
分数が出ないようにするには900回にすればいいけど100回でわかるだろう．
Qが当たる場合は， Pが当たりQが当たる場合これは$30\times \frac{2}{9}$回
Pが外れてQが当たる場合これは$70\times \frac{3}{9}$回だね
だね．
$30\times \frac{2}{9}+70\times \frac{3}{9}$が全体で，その中でPが当たるのは$30\times \frac{2}{9}$だから
求める確率は
$\dfrac{30\times \frac{2}{9}}{30\times \frac{2}{9}+70\times \frac{3}{9}}=\dfrac{2}{9}$
T:問題ない．Qが外れたときのPが当たる確率を求めてごらん．
A:もうできます．えーと
全体が$30\times \frac{7}{9}+70\times \frac{6}{9}$のうちＰが当たるのは$30\times \frac{7}{9}$だから
$\dfrac{30\times \frac{7}{9}}{30\times \frac{7}{9}+70\times \frac{6}{9}}=\dfrac{1}{3}$
となります．
T:よくできました．予想通りだろ．Qが外れたときの方がPの当たる確率は高いわけだ．
A:よくわかりました．でも，100回おこなっったとして解いているわけですけどこの解答でいいんですか．
T:先生にもよるけど，多くの先生はきちんと理解しているなとほめてくれるよ．中にはケチをつける先生がいるかもしれない．先生の教育観によるものだから仕方ないね．そういう指導が役に立つときもあるわけで，先生の良い点を吸収しようという立場にたったらどうだい．
標準的な解答は，全体を1として解答を作るだけだよ．ただ，百分率や割を見ればわかるように全体を$1$と置かなければならないという理由はないんだよ．全体を$1$としてやってごらん．
A:30が$\frac{3}{10}$，70が$\frac{7}{10}$にかわるだけだから
$\dfrac{\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}}{\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}+\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}} =\dfrac{2}{9}$
となり答えも一致しました．
T:問題ないね．問題の意味がつかめなかったとき，今回のように１００回ぐらい行って，すべてのそれぞれの場合の数を調べると解決することがよくあるよ．
次の問題解いてごらん．
A:３人目か．P,Qの当たり，はずれがあるから４通りを調べて計算して足せばいいんですね．
$\bigcirc \bigcirc \bigcirc$
$\bigcirc \times \bigcirc$
$\times \bigcirc \bigcirc$
$\times \times \bigcirc$
のそれぞれの確率を求めて
$\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{9}\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{10}\dfrac{7}{9}\dfrac{2}{8} +\dfrac{7}{10}\dfrac{3}{9}\dfrac{2}{8}+\dfrac{7}{10}\dfrac{6}{9}\dfrac{3}{8}$
$=\dfrac{3}{10}$
となりました．
何番目に引いても同じ確率になるということ知っていますが，３人目だからいいけどたとえば連続して10人引いて最後の人の当たる確率をもとめなさいとなったらどうするんですか．
T:なかなかいい質問だ．引いたものを一列に置いていくのが分かりやすいかな．
当たりを3個，外れを7個一列に置いたとき一番最後に当たりが置かれる確率だね．そのように考えて求めてごらん．
A:どこも平等だから$\frac{3}{10}$でいいでしょう．
T:それでもいいけど，例えば$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6,b_7$を一列に並べるとき，$a_1,a_2,a_3$ のいずれかが一番最後に並ぶ確率を求めてごらん．
A:どうやるのかな．指定されるところから並べるんだよね．あそうか．一番最後に$a_1,a_2,a_3$のいずれかを並べあと残りを最初から並べればいいんだ．
だから$3\times 9!$通りだ．
T:分母はどうなる．
A:10個の異なるものだから$10!$.だから，最後に引く人が当たる確率は
$\dfrac{3\times 9!}{10!}$
だ．あとは$9!$が約分できるから$\frac{3}{10}$となります．何番目でも同じですね．だから何番目に引いても同じ $\frac{3}{10}$になるんですね．
T:なかなか見どころありそうだな．疲れてないかい．ちょっと休憩しよう．
A:あれ，もう２時間たっているんだ．数学やってこんなに早く時間が過ぎたの記憶にないな．
T:おーい，いいよ．持ってきて．飲み物何がいい．
A:コーヒーでいいですか．
T:コーヒーは私がいれよう．新茶があるんだけどお茶は飲まないのかい．
A:先生すみませんね．教えてもらって，そしてシュークリームまでもらっちゃって．
T:そんなことない．昨日どう教えようかと考えていたんだけど，女房が言うにはなんか生き生きしてたようだ．若い人と話すのはいいもんだ．こんな機会はなかなかないよ．君も人助けをしているんだ．
A:そうですか．ところで先生．僕数学好きだったんですけど，なんで伸びなかったんでしょうね．勉強はそれなりにしたんですけど．
T:君は何のために数学を勉強していると思う．
A:ストレートな質問ですね．あんまり役に立っているとは思えないし，そこにあるからとしか答えられないな．
T:プラトンは学校アカデミアを作ったとき，幾何学いまの数学だそれを必修科目にしたといわれている．それは，幾何学は,知識や感覚ではなく考えることにより問題を解決する，この訓練のために, 必要不可欠な教科と位置付けたといわれているんだ．この視点が日本の和算，中国の九章算術，インド，アラビアの数学になく，深みが生まれなかったんだと思うよ．
数学を学ぶとき，いろんなことを学ぶけど，学ぶことを通して思考力を身に着けることが大切なんじゃないかな．いろんな解答を覚えても思考力は身につかない．内容を理解をして理論を積み重ねたり，苦労して問題を解いて初めて身につくことなんじゃないかな．
ちょっと深刻になっちゃったね．これからもいろいろ学ぶだろうけど，ゆっくり時間をかけて，わからないとこを復習しながら学んでごらん．道は開けるものだよ．

T:後半はじめよう．この前，教科書の例題にあるといったの覚えているかな．心配になって調べたんだ．やはりあったのでそれを解こう．実際の問題は不良品とその検査だけど実際は同じだ．

問題
癌の検査薬の精度を99％とする．現在実際に検査薬の対象の癌にかかっている人の割合は0.1％とする．このとき，ある人がこの検査薬を使用したとき結果は陽性であった．この人が実際に癌にかかっている確率を求めよ．

前回は癌がコロナで検査薬がPCR検査に変わっただけだ．この問題は有名問題だよ．
A:1000人が検査を受けたとしていいですか．
T:1000人でもいいけど，それだと癌にかかっている人が１人になるから10000人でやったら．
A:右図のようになるから，陽性の数は110でその中で癌の人は10人だから
$\dfrac{10}{100+10}$
すなわち，1割未満だ．
T:完璧だ．いいもの持っているよ．検査薬の精度とか癌にかかっている割合は近似値だから，近似値で計算すればよく，出てくる答えも１割未満．答え方もいい．何も言うことはない．
君も聞いたことあるんじゃないかな，検査薬の精度と判定の精度は異なる．これはなかなか理解しにくいことだけど今ならわかるだろ．
ただ，この問題をよく見ると，あまりよくない．例えば，総理大臣とか陛下とかの特別なひとの検査なら他の人と混ぜたりしないだろうから，精度は99％だね．解答は多数の人が検査したとき，陽性の中で本当の癌は1割以下だという意味です．
先日話したPCR検査も同じで，その場で判定できるようになれば問題起こらないね．なお専門家はそんなの百も承知だよ．
A:面白くなってきました．もう一題やりましょう．
T:用意した問題はこれで終わりなんだけど．ちょっと待って．探してくるよ．
これを解こうか．

問題
5回に１回の割合で帽子を忘れるP君が正月にA,B,C３軒を順に回り家に帰ったとき，帽子を忘れたことに気が付いた．２番目の家Bに忘れた確率を求めよ．

自由に解いてごらん．
A:100回繰り返したとすると，Aに帽子を20回忘れ，Bに16回忘れ，Cに$\frac{64}{5}$回忘れるから， Bにある帽子の割合だから
$\dfrac{16}{20+16+\frac{64}{5}}=\dfrac{20}{61}$
となりました．
T:よくできました．
A:この解答で減点されないですか．
T:減点されないよ．答案というのはどのように解いたかをわかるように書くものだから，図を用いて説明するのは理にかなっているんだ．論理的におかしいのが困るわけで，そうでなければたいてい許されるんだ．例えば，大学入試はぎりぎりのところで解いているわけだから，つまらないことで減点されることはないでしょう．だって，採点者だって受験を経験しいるんだから，受験生の立場に立って採点してくれると思って間違いないよ．そうだな，私が高校で教えているとき，多くの採点をしたとき，腹立たしいのはただ一つ誤魔化す答案かな．入試の採点者はとても優秀で，答案は丁寧に読んでくれているので誤魔化せるわけがありません．
ちなみに，君の答案で100と置いたところ要するに最初の数字を１として解いたのが模範答案だ．それで解いてごらん．
A:そうすると,
Aで忘れるのが$\frac{1}{5}$でBで忘れのが$\frac{4}{5}\times \frac{1}{5}$Cで忘れるのが$\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}$ だから,求める確率は
$\dfrac{\frac{4}{5}\times \frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{5} +\frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}}$
$=\dfrac{20}{61}$
先生答えが一致しました．
T:君は優等生だ．何も言うことはないな．どちらの解答でもいいけど下の解答の時，時々今何をやっているのか分からなくなるときがあるので，その時は何回か同じことを繰り返し情況を調べるといいだろうね
問題はこれで終わりにしよう．確率を学ぶときの用語を説明しよう．
A:用語知らなくとも問題解くのには困らないんじゃないですか．
T:問題解くのにはあまり困らないだろうね．だから覚えられないとしても心配する必要はないんだけど，教えるほうから見ると用語や記号はあった方が教えやすいんだ．
A:しかたないな．付き合ってあげましょう．
T:まず，最初に解いた問題を見てみよう．次の問題です．
問題
10本のくじの中に当たりくじが３本ある．一度引いたくじはもとに戻さない．
(1) はじめPが１本引き，つぎにQが１本引くとき次の確率を求めよ．
(a) PもQも当たる確率
(b) Qが当たる確率

確率は，この問題のように，サイコロを投げたり，くじを引いたり，コインを投げたりしたとき考えます．
このような，実験や観測などを試行といい，試行の結果起こる事柄を事象という．事象を表すのは大文字 A,B,C,P等を用いる．
2つの事象A,Bに対して
事象A,Bがともに起こる事象を$A\cap B$と表し，A,Bの積事象という．
事象AまたはBが起こる事象を$A\cup B$と表し，A,Bの和事象という．
もう一つ，事象Aの起こる確率をPを用いてP(A)と表します．
ここまでは問題ないかな．
A:楽勝楽勝．
T:問題を見てみよう．
AをPが当たるという事象．BをQが当たるという事象とする.
ここで，条件Aのもとで条件Bの起こる確率をAが起こるとしたときのBの条件つき確率といい$P_A(B)$と表す．
この記号を用いると問題(a)は
$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}$
(b)はこれは分からなくていいけど
$B=B\cap (A\cup \bar{A})=(B\cap A)\cup (B\cap \bar{A})$
および$(B\cap A)\cap (B\cap \bar{A})=\phi$より
$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)=P(A)P_A(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$
$=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{9}+\dfrac{7}{10}\dfrac{3}{9}=\dfrac{3}{10}$
となる．
さて，ここで重要な定義があるんだ．
2つの事象A,Bがあり，一方の事象が起こったときと起こらなときで他方の事象の起こる確率が変わらないときすなわち
$P_A(B)=P(B),P_B(A)=P(A)\cdots (\sharp)$
が成り立つとき，２つの事象A,Bは独立であるという．
$A,B$が独立でないときA,Bは従属であるという．
ここで，
$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)$
より$(\sharp)$は２条件書いてあるが，片方が成り立てばもう一方が成り立つので，独立かどうかを調べるのには片方だけを調べればよい．
統計を学ぶ上で，事象が独立かどうかは避けて通れないんだ．実をいうと，この事象の独立の説明をするために条件付き確率を説明したんだ．
A:先生すごい．そこまで考えてくれてるんですか．
T:そんなことはない．一流の人はこんなことは言わないんだよ．自分でよくわかるんだけど，私は修行が足りないんだよ．
A:そうですかね．言ってくれたほうが，僕らの励みになりましすよ．
T:そんなことはどうでもよい．最後に一つだけ付け加えて終わりにしよう．
問題では，くじの中から１個を取り出しているけど，ｎ個選ぶとき，ある集合から一個を取り出してもとに戻しこの操作をｎ回くりかえしてｎ個を選ぶことを 復元抽出という．これに対して，元に戻さないでｎ回続けて選び出しｎ個を選ぶことを非復元抽出という．まあ，これは後でゆっくり話すことになるでしょう．
どうだい，疲れたかい．よく頑張りました．次回はもう少し短くしよう．
A:ありがとうぞございました．また来ます．

2.二項定理

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