反転とその応用

3.反転とその性質(その3)


これからよく使う性質をまとめておきます.


性質1
2円C,Cが点Oで内接または外接するとき, 円Oを反転円とする反転変換I(O)によるC,Cの反形はともに,C,Cの共通接線と平行な直線である.


証明
円Cの直径OP,円Cの直径OQであるように点P,Qをとる. 円Oが反転円である反転変換による,点P,Qの逆点をそれぞれP’,Q’とすれば, 円Cの反形はP’を通りOP’に垂直な直線であり,円Cの反形は Q’を通りOQ’に垂直な直線である. 2円C,Cの共通接線はOを通りOPに垂直な直線であるから性質1が成り立つ.


性質2
 円Oの半径をrとする. 点A,Bの反転変換I(O,r2)による逆点をそれぞれA’,B’とすると
$A'B'=\frac{r^2\cdot AB}{OA \cdot OB}$
である.

証明
図で△OAB∽△OB’A’です.
相似比は$\frac{OB'}{OA}$
一方,
OB・OB’=r
より
$OB'=\frac{r^2}{OB}$
  $\therefore \frac{OB'}{OA}=\frac{r^2}{OA \cdot OB}$ ・・・@
相似比が@であるから性質2が成り立ちます.




性質3 反転は円に関しての対称移動と考えられる.
すなわち,反転は直線に関しての対象移動と深い関係があります.
実際,半径Rの円が反転円である反転変換の点Pの逆転をP’とし,線分PP’と円との交点 をAとします.
このとき,
OP・OP’=R
ですから
(R−AP)(R+AP’)=R
したがって,
$AP'=\frac{R \cdot AP}{R-AP}=\frac{AP}{1-\frac{AP}{R}}$
よりR→∞のときAP’→APとなります.すなわち半径が∞の円すなわち直線に関する反転は直線に関する対称移動です.


もう一つは,反転は角を保つ変換だということです.2曲線が交わるとき,その2直線のなす角は その点における接線のなす角です.角を保つ変換であることをきちんと書くと次のようになります.

性質4 反転変換で,曲線C,Dがそれぞれ曲線C’,D’にうつるとする.
C,Dは点Pで交わり,Pの逆点をSとする.
このとき,点Pにおける2曲線C,Dのなす角と,点Sにおける2曲線C’,D’のなす角は等しい.

証明
反転円Oの反転変換I(O)で考えます.
上の図で,曲線C,Dの像がC’,D’になっています.Oを通る直線(Q,R,U,T の載っている直線)をOの周りに回転して直線OPSに近づけたとき∠QPR,∠TSUはそれぞれ, 2直線のなす角に近づく.
一方△OPR∽△OUS,△OPQ∽△OTSより
∠OPR=∠OUS,∠OPQ=∠OTS
∴∠QPR=∠OPR−∠OPQ=∠OUS−∠OTS=∠TSU
このように,つねに∠QPR=∠TSUが成り立つのでC,Dのなす角とC’,D’のなす角は一致します.

性質4より,反転変換では角が保たれることが分かりました.
他の保たれる性質を見つけましょう.変換で保たれる性質が何かに注目することは, クラインが提唱した重要な幾何学の研究態度です.


結論からいうと複比も保たれます.
複比の説明をします.
直線AB上に点Pがあるとき
AP:PB
が定義できます.AP:PBはAP÷PBすなわち$\frac{AP}{PB}$と同じことです.$\frac{AP}{PB}$を名前を変えて比の値といったりしま うがまったく同じことです.
複比とは比の比のことです.
すなわち,直線AB上に2点C,Dがあるとき
$(AC:CB):(AD:DB)=(\frac{AC}{CB}) \div (\frac{AD}{DB})=\frac{AC \cdot DB}{CB \cdot AD}$
を複比といい通常〔A,B;C,D〕と表す.
数直線上の4点では,有向線分ととして符号まで考えます.
複比は直線上の4点だけでなく,平面上の4点A,B,C,Dでも
〔A,B;C,D〕=$\frac{AC \cdot DB}{CB \cdot AD}$
によって定義します.ただし,ここでは線分の符号は考えません.
反転で複比が保たれることを証明します.


性質5
反転で複比が保たれる.

<証明>
反転変換$I(O,r^2)$によるA,B,C,Dのは逆点をそれぞれA’,B’,C’,D’ とすると,
$A'C'=\frac{r^2 \cdot AC}{OA \cdot OC}$, $C'B'=\frac{r^2 \cdot CB}{OC \cdot OB}$,
$A'D'=\frac{r^2 \cdot AD}{OA \cdot OD}$, $D'B'=\frac{r^2 \cdot DB}{OD \cdot OB}$,
より,複比が保たれることが分かる.

注意
複比で線分で向きを考えるなら,複素平面で考える必要がある.
$A(z_1),B(z_2),C(z_3),D(z_4)$と複素数をおき,
$[A,B;C,D]=\frac{(z_3-z_1)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}$

で定義する.
複素平面の知識を用いれば,原点を中心とする半径1の円を反転円とする反転変換fは
$z=r(r\cos \theta + i \sin \theta)$とおくと
$z \mapsto \frac{1}{r} \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$
一方
$\frac{1}{z}=\frac{1}{r} \cdot (\cos \theta - i \sin \theta)$
であるから
$f(z)=\frac{1}{\overline{z}}$
したがって,反転変換$f$は$g(z)=\frac{1}{z}$と実軸に関する対称変換との合成である.実軸に関する対称変換は 角や複比を保つことは明らかです.$g$が角を保つことは複素数の意味で微分可のであることより成り立ち, 複比を保つことは1次分数変換$w=\frac{az+b}{cz+d}$の成り立つ重要性質の1つです.
$g$が円を円にうつすことは, $|z-a|=k$に$z=\frac{1}{w}$を代入すると
$|a||w-\frac{1}{a}|=k|w|$
より,アポロニウスの定理より円になります.
また,中心が同じである反転円の反転変換の合成が相似変換になることは,
$f(z)=\frac{r^2}{\overline{z}}$,$g(z)=\frac{R^2}{\overline{z}}$のとき
$g \circ f(z)=\frac{R^2}{\overline{(\frac{r^2}{\overline{z}})}}=\frac{R^2z}{r^2}$
と単純な計算で示せます.
このように,反転変換の性質は複素関数を学べば定義そのものや簡単に導き出すことができるものが多いのです. ですから,反転の性質は認めてしまって,それを使って図形的性質を調べることも学び方の1つです.


4. 反転の例 

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