5.関数$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$について(続き)

(次の問題は平成26年12月に追加しました)．
例題6
$p,q$は実数の定数で，$0$<$p$<$1,0$<$q$を満たすとする．関数
$f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})$
を考える．
(1) $0$<$x$<$1$のとき$0$<$f(x)$<$1$であることを示せ．
(2) $x_0$は$0$<$x_0$<$1$を満たす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n \ (n=1,2,3,\dots)$を
$x_n=f(x_{n-1})$
によって順次定める．
$p>q$である時
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=0$
となることを示せ．
(3) $p$<$q$であるとき，$c=f(c), \ 0$<$c$<$1$を満たす実数$c$が存在することを示せ．
（平成26年東京大）

解答
$f'(x)=-p+e^{-qx}(1+q-qx)$
$f"(x)=-qe^{-qx}(2+q-qx)$<$0 \ \ (\because 0$<$x$<$1)$
$f'(0)=-p+1+q$>$0$より，$f(x)$は$0$<$x$<$1$で単調増加か極大値を持つ．
一方
$f(0)=0,0$<$f(1)=1-p$<$1$
より単調増加なら$0$<$f(x)$<$1-p$<$1$
極大値を持つとき，関数$f(x)$に注目すれば
$f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})=1-px-(1-x)e^{-qx}<1 \ (\because 0$<$x$<$1)$
したがって極大値は計算する必要もなく１より小さい．
したがって，いずれの場合も$0$<$f(x)$<$1$成り立つ．
(2) $F(x)=x-f(x)$とおく．
$F(0)=0,F'(0)=1-f'(0)=p-q$>$0$
さらに$0$<$x$<$1$で$F"(x)=-f"(x)$>$0$
したがって$F(x)$は単調増加より$0$<$x$<$1$の範囲で$F(x)=0$の解は存在しない．
後は通常の変形を行えばよい.平均値の定理より
$x_{n+1}-0=f(x_n)-f(0)=f'(c)(x_n-0) \ \ (0$<$c$<$x_n)$・・・@
$f'(x)$は$0$<$x$<$1$で単調減少であるから
$|f'(c)|\leqq \max \{f'(0),|f'(1)|\}=\max\{-p+1+q,|-p+e^{-q}|\}$
ここで $-p<-p+e^{-q}<1-p$
であるから
$0$<$\max\{-p+1+q,p\}$<$1$
$A=\max\{-p+1+q,p\}$とおくと
$|f'(c)|\leqq A$
@の絶対値をとり
$|x_{n+1}-0|=|f(x_n)-f(0)|=|f'(c)(x_n-0)|\leqq A|x_n-0|$
$\therefore 0\leqq |x_n-0|\leqq A^n|x_0-0|$
挟みうちの原理より
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=0$
(3)　$G(x)=f(x)-x$
の増減表を書くとわかりやすい．
$G(0)=0,G(1)$<$0$,
さらに$G'(0)=q-p$>$0,G'(1)=-p+e^{-q}-1$<$0,G"(x)$<$0$より
$G'(d)=0 \ \ (0$<$d$<$1)$
を満たす$d$存在し$G(x)$の増減表は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x &0 & \cdots &d & \cdots & 1 \\ \hline G'(x) & + & + & 0 & - &- \\ \hline G"(x) & - & - &- & - & - \\ \hline G(x) & 0 & \nearrow & + & \searrow & - \\ \hline \end{array}$

したがって，条件を満たす$c \ (d$<$c$<$1)$がただ一つ存在する．


解説
$\bullet$(1)は解答の中でも一部用いましたが
$f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})=1-px-(1-x)e^{-qx}$
と変形すれば，真ん中の式より$f(x)$＞$0$がわかり右辺より$f(x)$＜$1$がわかります．
しかし問題全体を考えた場合は面倒でもここで 述べた解答の方がよいと思う（$f"(x)$＜$0$がポイント）．

$\bullet \ \ y=f(x),y=x$を描くと下の図になります．
(スライダーをドラッグすると曲面が変わり，スライダーの右の+をクリックすると小さな コントロールパネルが開き，連続的に変化させることができます． デフォルト値（初期値）は$p=0.5,q=1$
もし，画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら，画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください．
ブラウザによって差があるので，うまくいかないときはほかのブラウザをお試しください. ブラウザの差が実感できると思います）

問題は(3)の場合に$\{x_n\}$は収束して $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=c$
が成り立つかです．
これも成り立ちます．それは同じ議論をすることになるのですが，
$|x_{n+1}-c|=|f(x_n)-f(c)|=|f'(\alpha)||x_n-c| $
ここで， $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f'(x)=-p$および$f'(x)$は単調減少に注意する．
$x=f(x)$の$0$でない解$c$が$f(x)$が単調増加の区間にあれば$\{x_n\}$は単調増加列であるから収束する．
$c$が$f(x)$の単調減少の区間にあるときであるがその時は$-p$＜$f'(x)$＜$0$であるから
$|f'(x)|$＜$p$＜１．
したがって，振動しながら$c$に近づく.


上の図は前の図に$y=f'(x)$を加えたものです（減少関数）を付け加えたものです．
現在$p=0.5,q=1$になっています．この図より$f(x)$の極値をとる$x$の値はだいたい$0.85$ であることがわかります．
このときは$a_0$をどこにとっても$c$に収束します． 気になるのは$x$＜$0.2$の時$f'(x)$が１より大きくなることですが，これは収束には関係しません．
次に$p$はそのままで$q$を$4$にしてくださいドラッグすると変わります．なお
$0\leqq p\leqq 1,0\leqq q \leqq 5$
の範囲で動きます．
この時は，$c$が$f(x)$の減少区間にあります． しかし$-p$＜$f'(x)$より振動しながら$c$に収束します．


続く



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