大学入試問題

5.関数$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$について(続き)

不等式の証明で生徒が分かりづらいのは，増加,減少の範囲に端点を入れることです．このことを，ここで簡単に説明します．
対象の定理は
定理
$1.$関数$f(x)$が開区間$(a,b)$で$f'(x) > 0$なら
$f(x)$は閉区間$[a,b]$の範囲で増加する．
$2.$関数$f(x)$が開区間$(a,b)$で$f'(x) < 0$なら
$f(x)$は閉区間$[a,b]$の範囲で減少する．

証明が必要ならどの教科書にものっているので自分で確認しましょう．
証明の中でわかるように平均値の定理で
$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
を満たす$c$が$a < c < b $すなわち$c$が$a,b$とは異なることが使われまし，これが平均値の定理の大事なところです．
この定理より，関数$y=x^2$でいえば増加の範囲は$[0,\infty)$で，減少の範囲は$(-\infty ,0]$となり $0$は増加の範囲にも，減少の範囲にも両方に入ります．
なぜかというと，これが正しいからなのですが，こうしないと，増減の理論体系に問題が起こります．
たとえば，関数$y=x^3$を考えましょう．$f'(0)=0$ですが，$f(x)=0$の$x$は$x=0$だけで，$x=0$でも増加しています．
したがって， $y=x^3$は$x$の全範囲で増加していることがわかります.すなわち，$y=x^3$は$x\leqq 0$でも$x\geqq 0$でも単調増加であるから全範囲で単調増加となります．
この例を見れば
関数$f(x)$が開区間$(a,b)$で$f'(x) > 0$なら $f(x)$は閉区間$[a,b]$の範囲で増加する．
で$x=a,b$を増加の範囲に入れることが分かるでしょう．

同じことで，上に凸，下に凸も本来は
$1.$関数$f(x)$が開区間$(a,b)$で$f''(x) > 0$なら
$f(x)$は閉区間$[a,b]$で下に凸である．
$2.$関数$f(x)$が開区間$(a,b)$で$f''(x) < 0$なら
$f(x)$は閉区間$[a,b]$の範囲で上に凸である．
とすべきです．実際にそうしないと，$y=x^4$は$x=0$で下に凸といえなくなります．

教科書は以前は一部の教科書たとえば啓林館はこの定義を採用していましたが，現在は（すべてを調べたわけではないが）啓林館を含めすべての教科書で
関数$f(x)$が第２次導関数を持つとき
$f''(x) > 0$である区間では，曲線$y=f(x)$は下に凸である.
$f''(x) < 0$である区間では，曲線$y=f(x)$は上に凸である．
となっています．
もちろん$f''(x)=0$の点に言及していないので論理的問題はないが気になるところである．
たぶん，生徒の数学に対する成熟度を考慮しての判断とは思うが本当の理由は分からない．

話を戻そう．
不等式の証明で
$a < x$で$f'(x)>0$なら$a\leqq x$で$f(x)$は単調増加
そして$f(a)=0$であるから$x > a$で$f(x) > 0$が成り立つ．$\cdots (1)$
はよく用いられる．
テーラー展開より得られる不等式の場合$(1)$を何度も用いることになり，馬鹿げた答案になってしまう．そのときは増減表を用いるのも手です．たとえば
$0 < x$で
$\sin x < x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}$
が成り立つことを証明をしてみよう．
$f(x)=\sin x -x+\dfrac{x^3}{3!}-\dfrac{x^5}{5!}$
とおく．
$f'(x)=\cos x -1+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}$
$f"(x)=-\sin x +x-\dfrac{x^3}{3!}$
$f^{(3)}(x)=-\cos x +1-\dfrac{x^2}{2!}$
$f^{(4)}(x)=\sin x -x$
より増減表は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots \\ \hline f'(x) & 0 & - \\ \hline f"(x) & 0 & - \\ \hline f^{(3)}(x) & 0 & - \\ \hline f^{(4)}(x) & 0 & - \\ \hline f(x) & 0 & \searrow \\ \hline \end{array}$
符号が$f^{(4)}(x)$から順次低次の導関数と決まっていきます．増減表より，不等式が成り立つことが分かります．

ちなみに，もう一つ不等式を示すことより，すなわち証明を利用すれば$f"(x) < 0$より
$0 < x$で
$x-\dfrac{x^3}{3!} < \sin x < x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}$
が成り立つ．したがって，$0 < x$で
$\therefore -\dfrac{1}{3!} < \dfrac{\sin x -x}{x^3} < \dfrac{1}{3!}+\dfrac{x^2}{5!}$
$\displaystyle \lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x -x}{x^3}=-\dfrac{1}{3!}$
$\frac{\sin x -x}{x^3}$が偶関数より
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x -x}{x^3}=-\dfrac{1}{3!}$
$-1$倍した
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\dfrac{1}{3!}$
の方がよく見かけるかもしれない．

最後に
$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$
のグラフを書くとき$x \to \infty$のときの$f(x)$の極限を求める必要があります．ここで，$e^x,\log x,x^n$の$x\to \infty$のときの極限の関係を調べましょう．これらの内容の土台となる式は次の不等式です．
命題 $x > 0$のとき
$e^x$＞$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$
が成り立つ．
証明
数学的帰納法で証明する．
(Ⅰ)ｎ＝１のときすなわち
$e^x > 1+x $
は簡単に示すことができる．
（Ⅱ）
$f_n(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$
とおく．
ｎ＝ｋのとき成り立つことを仮定する．すなわち
$x > 0 $のとき$e^x > f_k(x)$
が成り立つとき，
$g(x)=e^x-f_{k+1}(x) $
とおく．
$x > 0 $のとき
$g'(x)=e^x-f_k(x) > 0$
より$x \geqq 0$のとき単調増加．
$g(0)=0$
より$0 < x$で$0 < g(x)$
したがって，ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つので命題が証明された．

以下の極限は受験では必須の内容です．
（１） $\dfrac{e^x}{x^n}\to \infty \ \ (x\to \infty)$
証明

（２）ａ＞１のとき
$\dfrac{a^n}{x^n}\to \infty \ \ (x\to \infty)$
証明
$a=e^{\log a}$
より
$\dfrac{a^n}{x^n}=\dfrac{e^{(\log a)n}}{x^n}=\dfrac{(\log a)^n\cdot e^{(\log a)x}}{\{(\log a)x\}}\to \infty \ \ (x\to \infty )$
（３）$\dfrac{\log x}{\sqrt[n]{x}} \to 0 \ \ (x\to \infty )$
証明
$x=e^t$とおくのが一般的．
$x\to \infty \Leftrightarrow t \to \infty$
より
$\dfrac{\log x}{\sqrt[x]{x}}=\dfrac{t}{e^{\frac{t}{n}}}=\dfrac{n\cdot \frac{t}{n}}{e^{\frac{t}{n}}}\to 0 \ \ (t\to \infty)$

$x\to -\infty$は$x=-t$とおくと分かりやすい．
（４）ｘｅ^ｘ→０（ｘ→－∞）
証明
ｘ＝－ｔとおくと
$xe^x=-\dfrac{t}{e^t}\to 0 \ \ (t\to \infty)$

$\log x\to -\infty (x\to +0)$に関する極限は$x=e^{-t}$とおくのが分かりやすい．
（５）$x\log x \to 0 \ \ (x\to +0)$
証明
$x\log x=-\dfrac{t}{e^t}\to 0 \ \ (t\to \infty)$

続く