大学入試問題

5.関数$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$について(続き)

もう少し問題を解きましょう(次の3題は平成25年11月に追加しました)．
例題3
$k$を定数とする．方程式
$e^x-x^e=k$
の異なる正の解の個数を求めよ．

（平成25年東京工業大）

解答
$f(x)=e^x-x^e$
とおく．
$f'(x)=e^x-ex^{e-1}=e(e^{x-1}-x^{e-1})$
$y=\log x$は単調増加関数である，$e^{x-1},x^{e-1}$のかわりに$\log e^{x-1},\log x^{e-1}$の大小を調べればよい．
$g(x)=\log e^{x-1}-\log x^{e-1}=(x-1)-(e-1)\log x$
とおく．
$g(x)$は$g(1)=0,g(e)=0$であり，$g"(x)>0$であるから(微分しなくとも$y=-\log x$のグラフより分かる)
$0 < x < 1,e < x $で$g(x) > 0 $
$1 < x < e $で$g(x) < 0$
である．(理由は解説で説明)

したがって，増減表は
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(x) & + & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & e-1 & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}$

となる．$y=f(x)=e^x-x^e$のグラフは右図．
したがって，求める答は
$k<0$のとき解の個数は$0$
$k=0,k>e-1$のとき解の個数は$1$
$0 < k\leqq 1,k=e-1$のとき解の個数は$2$
$1 < k < e-1$のとき解の個数は$3$

解説
$1.$すでに計算したように$x^{\frac{1}{x}}$は$x=e$で最大値をとるので
$x^{\frac{1}{x}}\leqq e^{\frac{1}{e}}$
$\therefore x^e\leqq e^x$
ただし，等号が成り立つのは$x=e$のとき．

$2.$証明の中で用いた
$g(1)=0,g(e)=0$であり，$g"(x) > 0$であるから
$x<1$,$e < x $で$g(x) < 0 $
$1 < x < e $で$g(x)>0$
はグラフの凹凸の重要性質．証明は次のように行う．
$g(1)=0,g(e)=0$より平均値の定理(ロルの定理)より
$g'(c)=0 \ \ (1 < c < e)$
を満たす$c$が存在する．したがって増減表は次の通り．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x &\cdots& 1 & \cdots & c & \cdots & e & \cdots \\ \hline g'(x) & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline g"(x)& +& + & + & + & + & + & + \\ \hline g(x) & \searrow& 0 & \searrow & \text{極小} & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって，
$x<1,e < x $で$g(x) > 0 $
$1 < x < e $で$g(x) < 0$
である．

一般に次の性質が成り立つ．
関数$y=f(x)$の下に凸($f"(x) > 0$)の区間上に２点$A,B$をとる．このとき線分$AB$は両端を除き関数$y=f(x)$のグラフの上にある．
証明
２点$A,B$の$x$座標をそれぞれ$a,b$とし，２点$A,B$を通る直線の方程式を$y=g(x)$とする．
$F(x)=f(x)-g(x)$
とおくと，
$F(a)=0,F(b)=0$
であるから平均値の定理より
$F'(c)=0 \ \ (a < c < b)$
を満たす$c$が存在する．また，$g(x)$は１次式より$F"(x)=f"(x)$.
したがって増減表のつぎのようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & a & \cdots & c & \cdots & b \\ \hline F'(x) & - & - & 0 & + & + \\ \hline F"(x) & + & + & + & + & + \\ \hline F(x) & 0 & \searrow & \text{極小} & \nearrow & 0 \\ \hline \end{array}$
($f"(x)$の符号より$f(x)$の符号がわかる．)

したがって，成り立つ．
上に凸の場合すなわち
関数$y=f(x)$の上に凸($f"(x) < 0$)の区間上に２点$A,B$をとる．このとき線分$AB$は両端を除き関数$y=f(x)$のグラフの下にある．
も当然成り立つ．

もう2題解きましょう．やはり，２次導関数の性質を利用した不等式の証明です．

例題4
(1)実数$x$が$-1 < x < 1,x\neq 0$を満たすとき，次の不等式を示せ．
$(1-x)^{1-\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{x}}$
(2)次の不等式を示せ．
$0.9999^{101} < 0.99 < 0.9999^{100}$

（平成22年東京大）

解答
$(1-x)^{1-\frac{1}{x}},(1+x)^{\frac{1}{x}}$の大小と，両辺を$x$乗した$(1-x)^{x-1},1+x$の大小は $x > 0$のときは同じであるが，$x < 0$のときは反対であるから，両辺の対数をとった関数
$f(x)=\log (1+x)-\log (1-x)^{x-1}$
が$x > 0$で$f(x) > 0$,$x < 0$で$f(x) < 0$を示せばよい．
$f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\log (1-x)-1$
$f"(x)=\dfrac{x(x+3)}{(1+x)^2(1-x)}$
したがって，$f'(0)=0,f"(0)=0,f(0)=0$より$y=f(x)$の増減表は次のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & + & \\ \hline f"(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 0 & \nearrow & \\ \hline \end{array}$
$f"(x)$の符号より$f'(x)$の符号がわかる．

したがって，問題の不等式が証明された．

(2)
不等式
$(1-x)^{1-\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{x}}$
の両辺に$(1-x)^{\frac{1}{x}}$をかければ
$1-x < (1-x^2)^{\frac{1}{x}} \cdots (A)$
$(1+x)^{1-\frac{1}{x}}$をかければ
$(1-x^2)^{1-\frac{1}{x}} < 1+x \cdots (B)$
をえる．$(A),(B)$にそれぞれ$x=\frac{1}{100},x=-\frac{1}{100}$を代入すれば問題の不等式を得る．

解説
$(1+\dfrac{1}{x})^x \to e \ \ (x \to 0) $
および
$(1-\dfrac{1}{x})^x \to \dfrac{1}{e} \ \ (x \to 0) $
の２つの式より得られる
$(1-\dfrac{1}{x^2})^x \to 1 \ \ (x \to 0) $
より考えれられた不等式でしょう．もちろん解答の中の不等式$(A),(B)$が本質で，これは専門家にとってはよく知られた不等式なのかもしれません．

例題4で関数
$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}$
を考えました．$x\to 0$の極限値が$e$です．この関数を調べて，$e$の理解を深めよう．
関数$y=\log x$は単調増加関数あるので，$f(x)$の増加減少は$\log f(x)$と一致する．
したがって，
$g(x)=\log f(x)=\dfrac{\log (1+x)}{x}$
を考えればよい．
$g'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\log (1+x)}{x^2}$
分子を$h(x)$とおき微分すると
$h(x)=\dfrac{x}{1+x}-\log (1+x)$
$h'(x)=-\dfrac{x}{(1+x)^2}$
$h(x)$の増減表は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - \\ \hline g(x) & & \nearrow & 0 & \searrow \\ \hline \end{array}$

より，$h(x)\leqq 0$である．したがって，$g'(x)$は$x\neq 0$のとき負であるから， $g(x)$は$x\neq 0$で単調減少であることがわかる．
これだけで，$\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$が定義できるというのは早計である．右側極限と左側極限が一致するかどうかはわからない．
次に，右側極限と左側極限が存在することを仮定し，一致することを確認しよう．
$(1+x)^{\frac{1}{x}}\to A \ \ (x\to +0)$
のとき，$x\to -0$の場合を調べよう．
$t=-x$とおくと
$(1+x)^{\frac{1}{x}}=(1-t)^{-\frac{1}{t}}=(\dfrac{1}{1-t})^{\frac{1}{t}}$
$=(1+\dfrac{t}{1-t})^{\frac{1}{t}} =\left((1+\dfrac{t}{1-t})^{\frac{1-t}{t}}\right)^{\frac{1}{1-t}}\to A \ \ (t \to +0)$

これで
$\displaystyle \lim_{x\to +0}(1+x)^{\frac{1}{x}} =\displaystyle \lim_{x\to -0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
がわかった．これでいいと思うが，極限の存在が心配なら，左側極限すなわち $x\to -0$のとき$(1+x)^{\frac{1}{x}} > 0$より下に有界であることに注目すればよい．
このように，$e$の説明は関数$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}$を用いても簡単ではありません．ちなみに，パソコンで
$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ \ (-\frac{1}{2} < x < 3)$
を描くと右図になります．

例題5
$-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$における$\cos x +\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$の最大値を求めよ．ただし $\pi > 3.1$および$\sqrt{3} > 1.7$が成り立つことは証明なしで用いてよい．

（平成25年京都大）

解答
$f(x)=\cos x +\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$
とおく．$f(x)$は偶関数より$0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$で考えればよい．
$f'(x)=-\sin x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}x,f"(x)=-\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$f'(x)$の増減表は次のようになる．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f"(x) & - & - & 0 & + & + \\ \hline f'(x) & 0 & \searrow & *1 & \nearrow & *2 \\ \hline \end{array}$

増減表で$*1$は負であることが分かり，$*2$は
$f'(\dfrac{\pi}{2}) > \dfrac{1}{4}\times 1.7 \times 3.1 -1 > 0$
より正である．
$f'(x)$は$\dfrac{\pi}{6}\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$で単調増加で連続より
$f'(\alpha )=0, \ \ \dfrac{\pi}{6}< \alpha < \dfrac{\pi}{2}$
を満たす$\alpha$がただ一つ存在する．この$\alpha$を用いれば$f(x)$の増減表は次のようになる．
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & + \\ \hline f(x) &f(0) & \searrow & f(\alpha) & \nearrow & f(\frac{\pi}{2}) \\ \hline \end{array}$

あと調べることは$f(0),f(\frac{\pi}{2})$の大小であるが，
$f(\dfrac{\pi}{2}) > \dfrac{1}{16}\cdot 1.7 \cdot 3.1^2 > 1=f(0)$
したがって，$x=\pm \dfrac{\pi}{2}$で最大値$\dfrac{\sqrt{3}\pi ^2}{16}$をとる．
解説
この問題を簡単と思うのは早計です．$f(0)$と$f(\frac{\pi}{2})$の大小が問題なのではなく，論理的にきちんと説明することを求めた問題です．京都大だから出題できる問題と考えるべきです．

ここで述べた3題はともに，２次導関数数を用いて不等式を証明する問題です．
もしもう少し解きたいなら，大手出版社の教科書傍用問題集の中から２題紹介します．
一つは数研出版の4step 数学Ⅲの
202番
$0\leqq x\leqq 1$のとき次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$1-x+x^2e^x\leqq e^x \leqq 1+x+\dfrac{x^2e^x}{2}$

もう一つは東京書籍のニュークオリティの
216番
$0\leqq x\leqq 1$のとき次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$x\log x+\log (2-x) > 0$

もし，解答を見たければ数学の研究室に行けばこれらの問題集はあふれているでしょうから自由に持っていっていいぞといわれるでしょう．
２次導関数まで計算して，増減表を書けば解決するので解答は必要ないでしょう．
ところで，せっかくですから，上の東工大，東大の問題と教科書傍用の問題を比べてみましょう，難易度はそんなに変わらないことが分かります．それでは，東大，東工大の問題が他の問題より簡単かというと，巷間いわれているところによれば他の問題より難しい部類の問題だそうです．入試問題はなぜ難しく感じるかというと，それは試験範囲が与えれれていないからなのです．すなわち，入試では問題を読み，自分で解答の方針を立て解かなければならないのです．数学の入試ではその能力をはかるのです．決して数学の知識はかっているいるのではありません．すなわち，問題を読んであまり考えもしないで解答を見てたら大事な考える力が育たないのです．数学を勉強するとき，その辺にも目を向けて欲しいと思っています．

続く

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