9.チェビシェフ多項式(２)

次の問題を考えましょう．

問題
区間〔-1，1〕において，3次式
f(x)=x3+ax2+bx+c
のうち，|ｆ（ｘ）|の最大値を最小にする（ｘ）を求めよ．


この問題を順序立てで考えましょう．
３次関数は変曲点に関して対称で，グラフの形より，変曲点が原点すなわち
y=x3+ax
の場合を考えればよい．
右図は，a=1,0,-1の場合です．
図から考えて，a<0の場合を調べればよい．
すなわち，y=x3-ax (a>0)
の場合を考えればよい．

さらに，a=1/2，3/4，1の場合を図示すると右図のようになります．
右図を検討することにより，極大値とf(1)が一致する場合が求めるものだと 予想できます.当然，対象性より，このときf(-1)と極小値も一致します．
それを求めると
f(-√（a/3))=f(1)
よりa=3/4となります．したがって，求める関数は
f(x)=x3-3x/4
となりそうです．

これは数学の解答ではありません．解答を作るための方針です．これらの一つ一つをきちんと証明することが必要です． これらの一つ一つは解説できちんと述べてあります．興味あったら参考にしてください．
さて，これらの話題を背景とした問題が次です．

問題
３次関数
ｈ（ｘ）＝ｐｘ３＋ｑｘ２＋ｒｘ＋ｓ
は次の条件（@），（A）を満たすものとする．
（@）ｈ（１）＝１，ｈ（−１）＝−１
（A）区間−１＜ｘ＜１で極大値１，極小値−１をとる．
このとき
（１）ｈ（ｘ）をもとめよ．
（２）３次関数
ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ
が区間ー１＜ｘ＜１で−１＜ｆ（ｘ）＜１を満たすとき，
｜ｘ｜＞１なる任意のｘに対して不等式
｜ｆ（ｘ）｜＜｜ｈ（ｘ）｜
が成り立つことを証明せよ．
（１９９０年東京大）

＜解答＞
(1)
h(x)が極大値，極小値をとるｘの値をそれぞれα，βとすると， ｈ（ｘ）−１＝０の解はα（重解），１，
ｈ（ｘ）＋１＝０の解はβ（重解），−１，
である．したがって， ｈ（ｘ）＝ｐ（ｘ−α）2(ｘ−１)＋１
＝ｐ（ｘ−β）2(ｘ＋１)ー１
∴　ｐｘ３−ｐ（２α＋１）ｘ２＋ｐ（α２＋２α）ｘ−ｐα２＋１
＝ｐｘ３−ｐ（２β−１）ｘ２＋ｐ（β２−２β）ｘ＋ｐβ２−１
係数を比較し
α＝−１／２，β＝１／２，ｐ＝４
∴ｈ（ｘ）＝４（ｘ＋１／２）２(ｘ−１)＋１＝４ｘ３−３ｘ

(2)
ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ
が区間−１＜ｘ＜１で−１＜ｆ（ｘ）＜１を満たし，さらに
ｈ（−１／２）＝ｈ（１）＝１，ｈ（−１）＝ｈ（１／２）＝１
より
Ｆ（ｘ）＝ｈ（ｘ）−ｆ（ｘ）＝０，
Ｇ（ｘ）＝ｈ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝０
のすべての解はー１≦ｘ≦１の範囲にある．
したがって，１＜ｘ，ｘ＜−１においてＦ（ｘ），Ｇ（ｘ）の符号は一定である．
ｈ（１）＝１，ｈ（−１）＝−１より，
１＜ｘのときＦ（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）＞０
したがって，
ｈ（ｘ）＞ｆ（ｘ），ｈ（ｘ）＞−ｆ（ｘ）
∴｜ｆ（ｘ）｜＜ｈ（ｘ）＝｜ｈ（ｘ）｜　（１＜ｘ）
ｘ＜１のときＦ（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）＜０
したがって，
ｈ（ｘ）＜ｆ（ｘ），ｈ（ｘ）＜−ｆ（ｘ）
∴ーｆ（ｘ）＜−ｈ（ｘ），ｆ（ｘ）＜−ｈ（ｘ）
ここで，ｘ＜−１のときｈ（ｘ）＜０であるから│ｈ（ｘ）│＝−ｈ（ｘ）
∴│ｆ（ｘ）│＜│ｈ（ｘ）｜


＜解説＞
解説は次のファイル（ＰＤＦファイル）をご覧ください(一部訂正しました.2015年12月)．
チェビシェフ多項式



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