$\S4.1$ ベクトルとテンソル
テンソルとテンソル場を扱います．これが最後の話題です．
和についてはアインシュタイン規約に従います．アインシュタイン規約とは，
１つの項(単項式)の中に，上下に同じ添字が
あるとき，その添字の動く範囲全体についての和を取る
という約束です．
例えば,３次元で考えれば
$a_i^{jk}b_j=a_i^{1k}b_1+a_i^{2k}b_2+a_i^{3k}b_3$
となる．なお本稿全体この規約に従っています．
ベクトルは通常，向きと大きさで決まる量と学びますが，ここでは基底
$\{\boldsymbol{e}_1,\cdots ,\boldsymbol{e}_n\}$
を定めたとき
$\boldsymbol{a}=a^1\boldsymbol{e}_1+\cdots +a^n\boldsymbol{e}_n=a^i\boldsymbol{e}_i$
と表せる$\boldsymbol{a}$.これを成分表示すると
$\boldsymbol{a}=(a_1,\dots ,a_n)$
となる．これを次のように表現する．
$n$次元のベクトルとは，基底を定めたとき決まる$n$個の
数$(a_1,\dots ,a_n)=(a_i)$でかつ基底変換によってある一定の規則を満たすもの
ここで述べた一定の規則は後で説明しますが，このように見るならば，ベクトルは添え字が1個ですが，添え字が2個以上でも同様に定義できます．
添え字が2個以上で，基底変換によりある一定の規則を見たすものがテンソルです．
ベクトルやテンソルを扱うとき，微分幾何ではできるだけ基底は用いない方がよい．
それは，基底を
用いるると，基底はいろんな取り方があり，他の基底で成り立つことを調べる必要があり煩雑になるからです．基底を用いない方法を
内在的(intrinsic)という．
これからベクトルを定義し，さらにベクトル空間の多重線形写像がテンソルの条件を満たすことを確認し，
その後テンソルは多重線形写像として扱うと話が進んでいきます．
まず，ベクトルから始めます．
$V$は3次元のベクトル空間とする．特別の場合がない限り$V$は以後ずっと3次ベクトル空間とする．
基底$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}(=\{\boldsymbol{e}_i\})$をとる．ここで，$V$のベクトルは列ベクトルとする．
任意の$\boldsymbol{v}\in V$は
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i=\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}\cdots (1)$
ここで，
$\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}$
と表す(成分表示) ．
別の基底$\{\boldsymbol{f}_i\}$で
$\boldsymbol{v}=w^i\boldsymbol{f}_i=\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w^1\\w^2\\w^3\end{pmatrix}\cdots (2)$
ここで,基底$\{\boldsymbol{e}_i\},\{\boldsymbol{f}_i\}$間の関係式が
$\boldsymbol{f}_i=a_i^j\boldsymbol{e}_j$
すなわち
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}\cdots (3)$
のとき，$(1),(2),(3)$より
$\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}w^1\\w^2\\w^3\end{pmatrix}
$
が成り立つ．この関係式を
$v^i=a^i_jw^j$
と表す．
この内容をまとめると次のようになる．
3次元ベクトル空間$V$のベクトル$\boldsymbol{v}$とは,
基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$を定めると3数$(v^1,v^2,v^3)$（これを$(v^i)$と表す）
がきまり，別の基底$\{\boldsymbol{f}_i\}$を定めたとき決まる3数を$(w^i)$とすれば,基底間の関係が
$\boldsymbol{f}_i=a_i^j\boldsymbol{e}_j$
のとき，$(v^i),(w^i)$が
$v^i=a^i_jw^j$
を満たすものである．
これで，添え字が2つ以上のものをテンソルと言うんだなと思うかもしれないがそれほど単純ではない．
ベクトル空間$V$に付随するベクトルで基底を変換したとき異なる変換をするものがある．それは$V$から実数$\mathbb{R}$
への線形変換です．
$V$を3次元ベクトル空間とする．
$V$から$\mathbb{R}$への線形変換全体の集合を$V^*$と表す．
$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V,r\in \mathbb{R},\boldsymbol{v}\in V$のとき
$(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{v})+\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{v})$
$(r\boldsymbol{\alpha})(\boldsymbol{v})=r\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{v})$
で定義する．このとき$V^*$はベクトル空間になる．ベクトル空間$V^*$を$V$の双対(そうつい)ベクトル空間と呼ぶ．
次に，$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$を$V$の基底とする．なお，以後$V$のベクトルは添え字を下付き，成分は上付き，
$V^*$のベクトルは添え字を上付き成分を下付きにする．
線形変換
$\boldsymbol{e}^i:V\to \mathbb{R}$
を
$\boldsymbol{e}^i(\boldsymbol{e}_j)=\delta _j^i$
定義する．
このとき任意の$\boldsymbol{\alpha}\in V^*,\boldsymbol{v}\in V$に対して
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i$のとき
$\boldsymbol{e}^i(\boldsymbol{v})=v^i$
であるから
$\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{e}_i)=\alpha_i$
とおけば
$\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{\alpha}(v^i\boldsymbol{e}_i)=v^i\alpha_i=(\alpha_i\boldsymbol{e}^i)(\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}^i)(\boldsymbol{v})$
$\boldsymbol{v}$は任意であるから
$\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}^i$
と$\boldsymbol{e}^i$の1次結合で表せる．
さらに
$b_i\boldsymbol{e}^i=0$のとき
$b_i=b_j\boldsymbol{e}^j(\boldsymbol{e}_i)=0$
より$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$は一時独立．したがって，$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$が$V^*$の基底になり，
$\dim V^*=\dim V=3$
が分かる．$V^*$の基底$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$を$V$の基底$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$の双対基底と呼ぶ．
以後，$V^*$の元は行ベクトルで表し，$\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{\alpha} \in V^*$のとき$\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{v}$は行列の積である．
$V$の基底を変換したとき，$V^*$の元の成分がどのように変換するかを調べよう．
$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\},\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}$をそれぞれ$V$の基底とし
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}\cdots (1)$
以後
$A=\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}$
とおく．
$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\},\{\boldsymbol{f}^1,\boldsymbol{f}^2,\boldsymbol{f}^3\}$をそれぞれ$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\},\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}$の双対基底とし
$\alpha _i\boldsymbol{e}^i=\beta _i\boldsymbol{f}^i$
のとき，$\alpha _i,\beta _i$の関係式を$A$の成分で表す.
$\begin{pmatrix}\alpha _1&\alpha _2&\alpha _3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}^1\\\boldsymbol{e}^2\\\boldsymbol{e}^3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\beta _1&\beta _2&\beta _3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}^1\\\boldsymbol{f}^2\\\boldsymbol{f}^3\end{pmatrix}
$
両辺の右側に$(\begin{smallmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{smallmatrix})$をかけると
$\begin{pmatrix}\alpha _1&\alpha _2&\alpha _3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}^1\\\boldsymbol{e}^2\\\boldsymbol{e}^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\beta _1&\beta _2&\beta _3\end{pmatrix}
$
$(1)$より
$\begin{pmatrix}\alpha _1&\alpha _2&\alpha _3\end{pmatrix}A
=\begin{pmatrix}\beta _1&\beta _2&\beta _3\end{pmatrix}$
を得る．
$V,V^*$の元の基底変換による変換式を並べて書くと
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}$
のとき
$v^1\boldsymbol{e}_1+v^2\boldsymbol{e}_2+v^3\boldsymbol{e}_3=w^1\boldsymbol{f}_1+w^2\boldsymbol{f}_2+w^3\boldsymbol{f}_3$
$\alpha _1\boldsymbol{e}^1+\alpha _2\boldsymbol{e}^2+\alpha _3\boldsymbol{e}^3=\beta _1\boldsymbol{f}^1+\beta _2\boldsymbol{f}^2+\beta _3\boldsymbol{f}^3$
ならば
$\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}w^1\\w^2\\w^3\end{pmatrix}\cdots (\sharp)
$
$\begin{pmatrix}\beta _1&\beta _2&\beta _3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\alpha _1&\alpha _2&\alpha _3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1^1&a_2^1&a_3^1\\a_1^2&a_2^2&a_3^2\\a_1^3&a_2^3&a_3^3\end{pmatrix}
\cdots (\flat)$
$(\sharp)$の左側から$A$の逆行列$B=(b^i_j)$をかけて
$\begin{pmatrix}w^1\\w^2\\w^3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}b_1^1&b_2^1&b_3^1\\b_1^2&b_2^2&b_3^2\\b_1^3&b_2^3&b_3^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}
\cdots (\sharp ')$
アインシュタイン表記をすると
$\boldsymbol{f}_i=\boldsymbol{e}_ja^j_i$
のとき
$V$の元は$w^i=b^i_jv^j$または$v^i=a^i_jw^j$
$V^*$の元は$\beta _i=\alpha _ja^j_i$
となる．このように，$V^*$の元は基底変換と同じ行列を用いるが$V$は逆行列を用いる．
$V$を反変ベクトル,成分を反変成分，$V^*$を共変ベクトル，成分を共変成分というが，これが名前の由来である.
これでテンソルの定義のための準備が整ったが，その前にベクトル空間の線形変換を調べよう．
ちなみにこれはテンソルの一つ，すなわち添字が2つで規則を満たす例である．
$g:V\to V$
を線形変換とし，$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\},\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}$を$V$の基底とする
$g(\boldsymbol{e}_i)=g_i^j\boldsymbol{e}_j$
で$g_i^j$を定め$\{\boldsymbol{f}_i\}$と基底を変換したときの変換式を求める．
$\boldsymbol{f}_i=\boldsymbol{e}_ja^j_i$とする．
$g(\boldsymbol{f}_i)=\bar{g}_i^j\boldsymbol{f}_j$のとき
$g(a_i^j\boldsymbol{e}_j)=\bar{g}_i^j\boldsymbol{e}_ka^k_j$
$a_i^jg_j^k\boldsymbol{e}_k=\bar{g}_i^ja_j^k\boldsymbol{e}_k$
したがって
$\bar{g}_i^ja_j^k=a_i^jg_j^k\cdots (*)$
これでもよいが，両辺に$A$の逆行列$B$をかけると
$a_i^jg_J^kb_k^l=\bar{g}_i^ja_j^kb_k^l=\bar{g}_i^l\cdots (**)$
これは$g_i^j,\bar{g}_i^j$について，
$(**)$は$g_i^j \to \bar{g}_k^l$の変換は
下付きの添え字は$a_k^i$をかければ$i\to k$
上付きの添え字は$b_j^l$をかければ$j\to l$
となることを示している．
なお，$(*)$を用いることも多い．
$V$を3次元ベクトル空間とする．$V$上の$p$階反変$q$階共変(または$(p,q)$型)テンソル$T$とは，$V$の基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$を定めると$T$の成分である
$3^{p+q}$個の数字
$T^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q} \ (1\leqq i_1,\dots ,i_p,j_1\dots ,j_q\leqq 3)$
すなわち，上付きの添え字が$p$個，下付きの添え字が$q$個を定めるもので，
さらに，$V$の別の基底$\{\boldsymbol{f}_i\}$のとき，基底間の関係式が
$\boldsymbol{f}_i=a_i^j\boldsymbol{e}_j$
とすると，基底$\{\boldsymbol{f}_i\}$における$T$の成分
$\bar{T}^{k_1\cdots k_p}_{l_1\cdots l_q} $
と基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$における$T$の成分
$T^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}$
の間には
$\bar{T}^{k_1\cdots k_p}_{l_1\cdots l_q}
=b_{i_1}^{k_1}\cdots b_{i_p}^{k_p}a_{l_1}^{j_1}\cdots a_{l_q}^{j_q}T^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q} $
の関係式があるものである．
テンソルの添え字は上げ下げが行われるので，上に添え字があればその下は空け，
下に添え字がある場合も同様で
$T^{i_1\cdots i_p}_{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1\cdots j_q}$
と書くべきであるがこれは後で説明する．
テンソルの定義を見るとこりゃ大変と思うかもしれませんが，心配ご無用，
基底を用いす，比較的簡単に扱えます．すでに述べたが，ベクトルは基底変換で一定の変換公式に従うものと考えるなら，添え字が複数になったものがテンソルで，
概念はとても自然なことに注意しましょう．
§4.2 多重線形写像
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