$\S4.2$ 多重線形写像
話を進める前に，$V$の双対空間$V^*$を考えましたが，$V^*$の双対空間$(V^*)^*$を考えます．
以後$(V^*)^*$を$V^{**}$と表す．
命題
$V$と$V^{**}$は同型である．
証明
$\boldsymbol{v}\in V$に対して
$\phi (\boldsymbol{v}):V^*\to \mathbb{R}$
を
$\phi (\boldsymbol{v})(\boldsymbol{\alpha} )=\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})$
によって定義する．
このとき
$\boldsymbol{v} \mapsto \phi (\boldsymbol{v})$
は線形写像である．
$(\because \text{任意の}\alpha \in \boldsymbol{v}^*\text{で}$
$\phi (\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)(\alpha )=\alpha (\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)=\alpha (\boldsymbol{v}_1)+\alpha (\boldsymbol{v}_2)=(\phi (\boldsymbol{v}_1)+\phi (\boldsymbol{v}_2))(\alpha)
$
$\phi (k\boldsymbol{v})(\alpha )=\alpha (k\boldsymbol{v})=k\alpha (\boldsymbol{v})=k\phi (\boldsymbol{v})(\alpha ))$
$V$の基底を$\{\boldsymbol{e}_i\}$，その双対基底を$\{\boldsymbol{e}^i\}$とすると
$\phi (\boldsymbol{e}_i)(\boldsymbol{e}^j)=\boldsymbol{e}^j(\boldsymbol{e}_i)=\delta _i^j$
したがって，$\{\phi (\boldsymbol{e}_i)\}$は$\{\boldsymbol{e}^i\}$の双対基底．
$\phi$により$V$の基底の像は$V^{**}$の基底になる．したがって$\phi$は$V^{**}$の上への線形写像である．
$V,V^{**}$の次元は等しいから$\phi$は同型写像である．
同型写像
$\phi :V\to V^{**}$
は基底を用いていない．$V$と$V^{**}$の同型を自然な同型とか内在的な同型という．
これは基底を用いない同型対応が存在すると読み取ればよい．この対応によって$V$の元と
$V^{**}$の元の同一視が行われる．
だから，同一視ができる同型対応とみてもよい．
$V$と$V^*$を見てみよう．次元が等しいので，同型写像はいくらでも存在する．例えば
基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$とその双対基底$\{\boldsymbol{e}^i\}$を用いて
$\boldsymbol{e}_i\mapsto \boldsymbol{e}^i$
を線形拡張することにより同型写像ができる．
しかし．基底を変えたときの変換式が$\boldsymbol{e}_i$と$\boldsymbol{e}^j$では異なるので$\boldsymbol{e}_i$と$\boldsymbol{e}^i$を同一視することはできない．
後で述べるが，$V$に内積を与えれば$V,V^*$に内在的な同型写像が存在し，
$V$の元と$V^*$の元の同一視が行われる．
定義
$V_1,\dots,V_n$をベクトル空間とする．
$n$元の関数
$T:V_1\times \dots V_n\to \mathbb{R}$
が各変数$i$で線形写像すなわち
$X_i,Y_i\in V_i,k,l\in \mathbb{R}$
$T(\cdots ,kX_i+lY_i,\cdots )=Tf(\cdots ,X_i,\cdots )+lT(\cdots ,Y_i,\cdots )$
を満たすとき，$T$を$n$重線形写像という．
$V$を3次元ベクトル空間，$\{\boldsymbol{e}_i\}$を基底，$\{\boldsymbol{e}^i\}$をその双対基底とする．
3重線形写像
$T:V^*\times V\times V\to \mathbb{R}$
を考える．
$T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{e}_k)=T^i_{jk}$
とおく．
$\{\boldsymbol{f}_i\}$を$V$の別の基底，$\{\boldsymbol{f}^i\}$をその双対基底
基底変換の関係式が
$\boldsymbol{f}_i=a_i^j\boldsymbol{e}_j$
のとき，双対基底間の関係式は
$\boldsymbol{f}^i=b_j^i\boldsymbol{e}^j$
ただし$(b_i^j)$は$(a_i^j)$の逆行列．
これは自明ではない．次のように示せばよい．
$(\boldsymbol{f}_1 \ \boldsymbol{f}_2 \ \boldsymbol{f}_3)=(\boldsymbol{e}_1 \ \boldsymbol{e}_2 \ \boldsymbol{e}_3)A$
より
$E=\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}^1\\\boldsymbol{f}^2\\\boldsymbol{f}^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}_1&\boldsymbol{f}_2&\boldsymbol{f}_3\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}^1\\\boldsymbol{f}^2\\\boldsymbol{f}^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}A$
$B$を$A$の逆行列とすると
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}^1\\\boldsymbol{f}^2\\\boldsymbol{f}^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}$
$=B$
$=B\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}^1\\\boldsymbol{e}^2\\\boldsymbol{e}^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}$
$\therefore B\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}^1\\\boldsymbol{e}^2\\\boldsymbol{e}^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{f}^1\\\boldsymbol{f}^2\\\boldsymbol{f}^3\end{pmatrix}$
さて，
$\bar{T}^s_{tu}=T(\boldsymbol{f}^s,\boldsymbol{f}_t,\boldsymbol{f}_u)$
と置けば
$\bar{T}^s_{tu}=T(a^s_i\boldsymbol{e}^i,b_t^j\boldsymbol{e}_j,b_u^k\boldsymbol{e}_k)$
$=a^s_ib^j_tb^k_uT^i_{jk}\cdots (*)$
${T^i_{jk}}$は基底変換によるテンソルの変換式をみたしている．
したがって，$V$上の3重線形写像$T$は$V$の基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$を定めたときの成分を
$T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{e}_k)=T^i_{jk}$
で定めれば，$T$はテンソルである．
逆に，$(*)$を満たすテンソル$\{T^i_{jk}\}$が与えれれれば，
$\boldsymbol{\alpha} =\alpha _i\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{v}=v^j\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{w}=w^k\boldsymbol{e}_k$に対して
$T(\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=\alpha _iv^jw^kT~i_{jk}$
で定めれば，$T$は3重線形写像
$T:V^*\times V\times V\to \mathbb{R}$
を定める．
$V$上の1階反変2階共変のテンソルである．
したがって，ベクトル空間$V$上のテンソルとは$V$上の多重線形写像であることが分かる．
$V$をベクトル空間，$V^*$をその双対ベクトル空間，$p,q$を$0$以上の整数とする．
$V$上の$(p+q)$重線形写像
$T:\overbrace{V^*\times \cdot \times V^*}^p\times \overbrace{V\times \cdot \times V}^q\to \mathbb{R}$
を$ｐ$階反転，$q$階共変テンソルまたは$(p,q)$型テンソルと呼ぶ．
このように，テンソルとはベクトル空間上の多重線形写像(2つの場合は双線形写像という)のことです．
それなら，最初からこの定義でいいだろうと思うかもしれません．その通りで，多重線形変換で定義している書を少なくありません．
いずれにしても，テンソルを実際に使うときは基底を考える必要があるので大差ありません．
以下，$(1,2)$型のテンソルを扱います．
$(1,2)$型のテンソル全体すなわち3重線形写像
$V^*\times V\times V\to \mathbb{R}$
全体を$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$と表す．
$T,T_1,T_2\in \mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R}),\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in V,\boldsymbol{\alpha} \in V^*,k\in \mathbb{R}$のとき
$(T^1+T^2)(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=T^1(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})+T^2(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$
$(kT)(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=k(T(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}))$
により，$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$はベクトル空間である．
次に，ベクトル空間$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$の次元を調べよう．
ベクトル空間$V^*$の元$\boldsymbol{\alpha}$は線形変換
$\boldsymbol{\alpha} :V\to \mathbb{R}$
は定義であるが，$V$の元$\boldsymbol{v}$は
$\boldsymbol{v}:V^*\to \mathbb{R};\boldsymbol{\alpha} \mapsto \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})$
より$\boldsymbol{v}\in \mathcal{L}(V;\mathbb{R})$とみる．
さらに，
$\boldsymbol{v}_1,\dots ,\boldsymbol{v}_p\in V,\boldsymbol{\alpha} ^1,\dots ,\boldsymbol{\alpha} ^q\in V^*$の時
$\boldsymbol{v}_1\otimes \cdots \boldsymbol{v}_p\otimes \boldsymbol{\alpha} ^1\otimes \dots \otimes
\boldsymbol{\alpha} ^q \in \mathcal{L}(\overbrace{V^*,\dots ,V^*}^p,\overbrace{V,\dots ,V}^q;\mathbb{R})$
を
$\boldsymbol{v}_1\otimes \cdots \boldsymbol{v}_p\otimes \boldsymbol{\alpha} ^1\otimes \dots \otimes
\boldsymbol{\alpha} ^q (\boldsymbol{\beta} ^1,\dots ,\boldsymbol{\beta} ^p,\boldsymbol{w}_1,\dots ,\boldsymbol{w}_q)$
$=\boldsymbol{\beta} ^1(\boldsymbol{v}_1)\cdots \boldsymbol{\beta} ^p(\boldsymbol{v}_p)\boldsymbol{\alpha} ^1 (\boldsymbol{w}_1)\cdots \boldsymbol{\alpha} ^q(\boldsymbol{w}_q)$
ただし，$\boldsymbol{w}_i\in V(1\leqq i\leqq p),\boldsymbol{\beta} ^j\in V^* (1\leqq j\leqq q)$
によって定義する．
$(1,2)$型のテンソル全体すなわち$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$の次元と基底を求めよう．
$T\in \mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$，$V$の基底を$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$その双対基底を$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$
とする.
$T$の基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$における成分を$T^i_{jk}$すなわち
$T^i_{jk}=T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{e}_k)$
とおく．
任意の$\boldsymbol{\alpha} =\alpha _i\boldsymbol{e}^i\in V^*,\boldsymbol{v}=v^j\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{w}=w^k\boldsymbol{e}_k\in V$に対して
$T(\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=T(\alpha _i\boldsymbol{e}^i,v^j\boldsymbol{e}_j,w^k\boldsymbol{e}_k)$
$=\alpha _iv^jw^kT^i_{jk}$
一方
$\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k(\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=\alpha _iv^jv^k$であるから
$=T^i_{jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k(\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$
これが任意の$\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$で成り立つから
$T=T^i_{jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k$
さらに，$T=T^i_{jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k=0$のとき
$0=T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{e}_k)=T^i_{jk}$
したがって$\{\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k\}$は1次独立．
これで$\{\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k,(1\leqq i,j,k\leqq 3)\}$が$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$の基底であ
ることが示された．
$\boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{\alpha} \otimes \beta (\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{\alpha} ,\beta \in V^*)$全体の張るベクトル空間を
$V\otimes V^*\otimes V^*$と表す．
$V\otimes V^*\otimes V^*$をベクトル空間$V,V^*,V^*$のテンソル積という．
ここで，$\{\boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{\alpha} \otimes \beta |\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{\alpha} ,\beta \in V^* \}$だけではベクトル空間にならないことに注意．
$\mathcal{L}(V^*,V,V;\mathbb{R})$と$V\otimes V^*\otimes V^*$は同一のベクトル空間である．
以上の内容は，$(p,q)$型テンソル空間でも成り立つのでまとめると次のようになる．
$V$をｎ次元ベクトル空間，$\{\boldsymbol{e}_i\}$を$V$の基底，$\{\boldsymbol{e}^i\}$をその双対基底とする．
$\{\boldsymbol{e}_{i_1}\otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_p}\otimes \boldsymbol{e}^{j_1}\otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}^{j_q}(1\leqq i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots j_q\leqq n)\}$
は$(p,q)$型テンソル空間$\mathcal{L}(V^*,\dots ,V^*,V,\dots ,V;\mathbb{R})$の基底である．したがって
$\dim \mathcal{L}(V^*,\dots ,V^*,V,\dots ,V;\mathbb{R})=n^{p+q}$
さらに，
$\overbrace{V\otimes \cdots \otimes V}^{p}\otimes \overbrace{V^*\otimes \cdots \otimes V^*}^{q}$
を
$\boldsymbol{v}_{i_1}\otimes \cdots \otimes \boldsymbol{v}_{i_p}\otimes \boldsymbol{\alpha} _{j_1}\otimes \cdots \otimes \boldsymbol{\alpha} _{j_q}(\boldsymbol{v}_{i_k}\in V,\boldsymbol{\alpha} _{j_l}\in V^*)$
の生成するベクトル空間で定義すれば
$\mathcal{L}(\overbrace{V^*,\dots ,V^*}^{p},\overbrace{V,\dots ,V}^{q};\mathbb{R})
\cong \overbrace{V\otimes \cdots \otimes V}^{p}\otimes \overbrace{V^*\otimes \cdots \otimes V^*}^{q}$
である．
§4.3 縮約とユークリッドベクトル空間
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