次に，楕円平面の2点間の距離を変えない変換を考えよう．距離を変えない変換を等長変換と呼ぶ．
まず球面上で考える．
2点の像が定まれば，その等長変換は2種類定まり，片方は正の向きの等長変換で もう一方は負の向きの等長変換である．
実際，球面上に2点$A,B$および$P,Q$が$AB=PQ$のとき
球面上の任意の点$C$に対して
$P$を中心とする半径$AC$の円と$Q$を中心とする半径$BC$の円を描き 交点を$R,R'$とする. もし，点$C$が大円弧$AB$上にあれば点$R$を
$AC:CB=PR:RQ$
に内分，外分する点と定める．この時はただ一つに定まる．
この時,等長変換は
$P\mapsto R$または$P\mapsto R'$
で定まる変換である．
前者は頂点の回る向き$ABCA$と$PQRP$が同じ向きで，この変換を正の向きの等長変換といい，もう一方は頂点の 回る向き$ABCA$と$PQRP$が反対の向きで，この変換を負の等長変換という．
まとめると次のようになる．
命題1
球面の等長変換は，2点の像を定めればただ2つ決まり，片方は正の等長変換， もう一方は負の等長変換である．

ここで，上の球面$\triangle PQR,$球面$\triangle PQR'$を見てみよう．2つの三角形は大円弧$PQ$に関して対称である．さらに
$PQ=PQ,PR=PR',QR=QR'$
である．「2つの図形を重ね合わせることができる」が合同の意味であるので， この2つの三角形を合同というわけにはいかない． 球面幾何では通常この場合を対称と呼び，合同と区別するのであるが， ここでは，対称も合同の一部として扱う．

大円弧に関する対称変換はすでに述べたが，球面上の等長変換は大円弧の対称変換の 合成で表せることを示そう．
合同変換は正の合同変換と負の合同変換に分かれる．
まず，正の合同変換を考える．
点$A,B$および$P,Q$が$AB=PQ$を満たすとき
$A\mapsto P$かつ$B\mapsto Q$
を満たす正の等長変換はただ一つ存在することが命題1よりわかる．
一方，$AP$の中点を通り$AP$に垂直な大円に関する対称変換で
$A\mapsto P,B\mapsto B'$
とすれば，$B'Q$の中点を通り$B'Q$に垂直な大円に関する対称変換で，
$P\mapsto P,B'\mapsto Q \ \ (\because B'P=QP)$
であるから，この2つの対称変換の合成が
$A\mapsto P,B\mapsto Q$
を満たす．すなわち，球面上の正の合同変換は，大円に関する対称変換の合成で表せることが分かった．
負の等長変換は，$A,B$を一度大円に関する対称変換でうつし，その像をそれぞれ$A',B'$とし，その後対称変換の合成で
$A'\mapsto P,B'\mapsto Q$
とすることができるから，3つの大円に関する対称変換の合成で表すことができる．
まとめると次のようになる．
命題2
　球面上の等長変換は，3つ以下の大円に関する対称変換の合成で表すことができる．

ここで，正の等長変換を見直そう．
2つの大円$C_1,C_2$に関する対称変換をぞれぞれ$f,g$とする．
大円$C_1,C_2$は必ず交わり，交点の片方を$O$とする．$C_1,C_2$のなす角を$\theta$とすると，
$g\circ f$は$O$の周りの回転角$2\theta$の回転変換である．
これはユークリッド平面と異なる点である．すなわちユークリッド平面では，2直線の関係は
交わるおよび平行 の2種類あるから，回転変換と平行変換の2種類存在する．
なお，双曲幾何は，
交わる，平行，および超平行
の3種類あるから，正の合同変換も3種類ある．

以後，球面の等長変換を球面の運動と呼び，運動全体よりなる群$\Omega$を球面の合同変換群または運動群と呼ぶ．
球面を$S^2$とすると球面の運動は次の様に表すことができる
$\Omega \times S^2 \to S^2;(f,P)\mapsto f(P)$
球面幾何をクライン流に説明すると次のようになる．
$A,B$を球面$S^2$上の図形とする．
$A,B$に対して
$f:A\to B$
となる$f\in \Omega$が存在するとき，$A,B$は合同であるといい
$A\equiv B$
と表す．
すなわち，$A$と$B$は同じと考えるわけです．
このとき，$A$が持っている$f$で保たれる性質は$B$も持っている．
これをクラインは，幾何学とは
変換群$\Omega $に属する変換で保たれる性質を調べること
と定めました．
曲面$M$に作用している変換群が$\Omega$のとき，この幾何学を$(M,\Omega)$と表しました．
今考えている，球面の合同変換群により保たれる性質を調べましょう．
2点間の距離，2直線間のなす角，図形の面積，線分の比，・・・
幾何学$(S^2,\Omega)$はこれらの性質を調べることです．
球面幾何のさらなる内容を見てみよう．
ここでは，幾何学大辞典よりいくつか紹介します．
ユークリッドの平面幾何は三角形の合同が基礎になっている．球面幾何でもそれを利用する．
球面上の3点$A,B,C$とそれらの2点を結ぶ大円弧よりなる球面三角形を球面三角形$ABC$と呼び球面$\triangle ABC$と表す．
球面$\triangle ABC$の大円弧(長くない方を考える)を辺といい$BC=a,CA=b,AB=c$とおく． 辺$AB,AC$のなす角($A$における接線のなす角)を $\angle A$または$A$で表す．

命題3
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が同じ向き($ABCA$と$A'B'C'A'$が同じ向き)で
$AB=A'B',AC=A'C',\angle A=\angle A'$
のとき，合同変換で$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は重ね合わせることができる．
証明
$AB=A'B'$であるから正の合同変換で$AB$と$A'B'$を重ね合わせることができる．
$A$を通り$AB$と$\angle A$をなす直線はただ一つ存在するから大円弧$AC$と大円弧$A'C'$は重なる．
さらに，$A'C'=AC$であるから$C,C'$は重なる．
2点を通る大円弧はただ一つであるから，$A'C'$と$AC$は重なる．
したがって，$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は重ね合わせることができる．

もし，$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が反対向きの時(対称)，$\triangle A'B'C'$を対称変換でうつした図形を$\triangle A''B''C''$ とすると$\triangle ABC$と$\triangle A''B''C''$が重ね合わせることができる．

ここで述べたのは，球面上で成り立つ性質であるが，これらの性質は楕円幾何すなわち楕円平面
$E=\left\{(u,v)\in \mathbb{R}^2|I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+u^2+v^2)^2}\right\}$
でもそのまま成り立つ．．
実際命題3について述べると次のようになる．
南極$S$を除く球面$T$から$\mathbb{R}^2$への極射影
$I(S):T\setminus \{S\} \longrightarrow E(=\mathbb{R}^2)$
で$E$上の楕円三角形の原像は球面$T$上で球面三角形で，角や辺の大きさ保たれる．さらに球面上で大円に関する対称移動は，楕円平面での 対応する楕円直線に関する反転変換であり，いくつかの球面上の大円に関するの対称移動の合成に対応する 楕円平面における楕円直線に関する反転変換の合成を考えることにより2つの図形を 重ね合わせることができる．

§1.4 楕円幾何における初等的方法

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