命題(余弦定理)
$\begin{cases} \cos a=\cos b\cos c +\sin b\sin c \cos A\\ \cos b=\cos c\cos a +\sin c\sin a \cos B\\ \cos c=\cos a\cos b +\sin a\sin b \cos C\end{cases} $

さらに，$\triangle ABC$の極三角形を用いる．$\triangle ABC$の極三角形とは，
大円弧$BC$の極のうち，$A$と同じ側にある極を$A^*$, 同様に大円弧$CA,AB$についてもそれぞれ極$B^*,C^*$をさだめ，3点$A^*,B^*,C^*$を頂点とする 球面三角形$\triangle A^*B^*C^*$のことである．
$\triangle A^*B^*C^*$が$\triangle ABC$の極三角形のとき，$\triangle ABC$は$\triangle A^*B^*C^*$の極である．
実際，$A^*$が$BC$の極より$A^*B=\frac{\pi}{2}$,$C^*$が$AB$の極より$BC^*=\frac{\pi}{2}$
したがって，$B$は$C^*A^*$の極である．
$\triangle ABC$とその極三角形の辺と角の関係を求めよう．
$AB,AC$の延長と$B^*C^*$との交点をそれぞれ$D,E$とする．
$\angle A=DE$で，
$B^*E=\dfrac{\pi}{2},C^*D=\dfrac{\pi}{2}$
かつ
$B^*E+C^*D=B^*C^*+DE$
より
$B^*C^*+A=\pi$
すなわち$A^*B^*=c^*,B^*C^*=a^*,C^*A^*=b^*$とおくと
$a^*+A=\pi$
したがって，
$A+a^*=B+b^*=C+c^*=\pi$
同様に
$A^*+a=B^*+b=C^*+c=\pi$
この関係式を余弦定理に代入し
$\cos (\pi -A^*)=\cos (\pi -B^*)\cos (\pi -C^*) +\sin (\pi -B^*)\sin (\pi -C^*) \cos (\pi -a^*)$ $-\cos A^*=\cos B^*\cos C^* -\sin B^*\sin C^* \cos a^*$
$\cos a^*$について解き$^*$をとると
$\cos a=\dfrac{\cos B\cos C+\cos A}{\sin B\sin C}$
したがって次の命題を得る．
命題(第2余弦定理)
$\begin{cases} \cos a=\dfrac{\cos B\cos C+\cos A}{\sin B\sin C}\\ \cos b=\dfrac{\cos C\cos A+\cos B}{\sin C\sin A}\\ \cos c=\dfrac{\cos A\cos B+\cos C}{\sin A\sin B}\end{cases}$

2辺夾角の合同条件と正弦定理，余弦定理より
次の合同条件を得る．
命題4
球面$\triangle ABC$と球面$\triangle A'B'C'$が次の条件を満たすとき合同である(重ね合わせることができる または対称図形が重ね合わせることができる)．
(1) 3辺が等しい．
(2)２角夾辺が等しい．
(3)３角が等しい．

さて，ここで球面幾何（双曲幾何でもいえることだが）では相似の概念がないことに気が付く．というより， 相似は平行線の公理より導き出される，ユークリッド平面固有の性質である．
例えば，ユークリッド幾何で図形を扱うとき，長さと角の大きさが問題になるが， この2つには大きな違いがある．
例えば$30^{\circ}$の角は誰が書いても同じであるが，長さ$3$の線分は，各自自分で単位の長さを定め書くことになる．すなわちユークリッド平面には 固有の単位の長さは無いわけである．
球面幾何ではそうではない．半径$1$の球面なら，単位の長さは長さ$1$の大円弧である． 例えば，正三角形といっても図形は定まらず， 内角や1辺の長さによって形が異なる．
内角が$\frac{\pi}{2}$の正三角形は，第２余弦定理より
$\cos a=0, \ \ \ \therefore a=\frac{\pi}{2}$
したがって，1辺の長さは$\frac{\pi}{2}$
である．

次に三角形の面積を調べよう．
球面上で，2つの大円で囲まれた図形を月形という．大円のなす角を$\theta$とすると，この月形の面積は
$4\pi \times \dfrac{\theta}{2\pi}=2\theta$
である．
球面三角形の面積は通常は球面上で行うが，ここでは楕円平面で考える．
一つの楕円直線を赤道上に置く(基礎円$\Sigma$)．
球面三角形$ABC$を考える．
$A,B,C$の対蹠点をそれぞれ$A',B',C'$とする．
まず，
$AA'=BB'(=\pi)$
より
$AB'=A'B$
同様に
$AC'=A'C$
さらに
$\angle A=\angle A'$より
$\triangle AB'C'\equiv \triangle A'BC$
$\triangle ABC=S_1,\triangle ACB'=S_2,\triangle BAC'=S_3,\triangle AB'C'=S_4$
とおくと
$S_1+S_4=2A$
$S_1+S_2=2B$
$S_1+S_3=2C$
辺々加えると
$3S_1+S_2+S_3+S_4=2(A+B+C)$
一方
$S_1+S_2+S_3+S_4=2\pi$
より
$2S_1=2(A+B+C-\pi)$
$\therefore \triangle ABC(=S_1)=A+B+C-\pi$
もし球面の半径が$r$なら
$\triangle ABC=(A+B+C-\pi)r^2$
である．
球面三角形$ABC$の内角の和$A+B+C$は
$\pi < A+B+C < 3\pi$
を満たす．左側の不等号は面積の式よりも分かるが， ユークリッド幾何では三角形の内角の和が$\pi$ であり，$B$を$A$に近づければ，直線$AB$は$A,B$の接線に近づくので成り立つ．($A\to 0,B,C\to \frac{\pi}{2}$)
右の不等号は，球面三角形の内角は$\pi$より小さく，もし3頂点が一つの大円上にあれば，各内角は$\pi$であるが，大円の内部の点で大円上の頂点に近づけていけば内角 の和は$3\pi$に近づく．

さて，球面上でも三角形の合同条件があるので，ユークリッド平面と 同じようにいろいろな図形的性質が導き出される．具体的内容は
岩田至康　　　幾何学大辞典　　槙書店
を見てもらうとして，ここでは，平面では成り立つが球面では成り立たない，したがって楕円平面でも成り立たない性質について， 証明のどこに問題があるかを調べよう．
命題
$\triangle ABC$で頂点$C$の外角は$\angle A$より大きい．
この命題はユークリッド幾何では成り立つ．ちなみに，この命題はユークリッド原論の命題16である．
ユークリッド原論の証明を現代的に書き直すと次のようになる．
証明
$AC$の中点を$D$,$BD$の延長上に点$E$を
$DE=BD$
を満たすようにとる．
このとき
$\triangle DAB\equiv \triangle DCE$
$\angle A=\angle DCE$
したがって
$\angle A < \angle ACF$

球面上では，三角形の内角の和が$\pi$より大きいので，球面上ではこの命題が成り立たないことがわかる．
例えば内角が$\frac{\pi}{2}$の正三角形を 考えればよい．
証明のどこに問題があるのかを調べよう．
2点$D,E$が平面上では直線$BC$に関して必ず同じ側にあるが， 球面上ではそれが保証されないということです．
平面上で2点$D,E$が直線$BC$に関して同じ側にある根拠は
ユークリッド原論公理１
任意の点から任意の点へただ一つの直線を引くことができる
にあります．
実際,$BD,BC$は$B$以外で交わらないので，$BD$の延長上の点$E$と点$A$は$BC$に関して同じ側にあります． (交わったら，2点を通る2本の直線が存在することになる)
したがって，$CE$が$\angle ACF$に含まれるので命題が成り立ちます．
球面上ではユークリッド原論公理1が成り立ちません．
すなわち，$E$が直線$BC$に関して$A$と反対側の場合があるからです．
球面上で成り立つ命題にするなら次のようになります.
命題
$\triangle ABC$で$AC$の中点を$D$とする．$BD < \frac{\pi}{2}$のとき頂点$C$の外角 は$\angle A$より大きい．
(∵　$BC$と$BD$の$B$以外の交点$B'$は$B$の対蹠点．$BB'=\pi$)

命題を証明して理論を作るとき，もしAを証明するときに，Bを用いるなら，まずBを証明する必要がある．さらに Bを証明するのにCを用いるなら，その前にCを証明する必要がある． このようなことをどこまでもさかのぼることはできないので，演繹法による研究には， 証明なしで認める性質がある．これを公理という．
ユークリッド幾何学には5つの公理があり，それは
1.2点を与えればその2点を通る直線がただ一つ存在する．
2.与えられた線分はどちら側にも限りなく伸ばすことができる．
3.円の中心と半径で円を描くことができる．
4.すべての直角は互いに等しい．
5.2直線と交わる1直線が同じ側で2直角より小さい内角の和を作るならこれらの2直線を限りなく延長させると それらは2直線より小さい角の側で交わる．
である．一読すればわかるように１から４と５ではだいぶ異なる．１から４は単純で， 土台としては妥当な内容で，互いに独立であるが， ５は少なくとも実験で確かめることはできず，１から４と比べると複雑で本当に必要なのか， すなわち１から4より証明できるのではないかと考えることは自然なことである．
果たして５が１から4より証明できるのか否か，これが古来有名な「第5公理問題」である．
1から４および５の否定を仮定し矛盾を導き出せば解決するが，５を否定しても，矛盾がない一つの幾何学ができることが，ガウス，ボリアイ，ロバチェフスキーによって示され，その内容は難解であったが， クラインやポアンカレによるモデルにより，多くの数学者が納得できるようになった．これにより ユークリッド幾何には第五公理が必要であることが広く知られるようになった．
ユークリッド本人も第五公理は不満であったのであろう．できるだけ第五公理を用いないで議論を進めている （そのため，三角形の内角の和が$\pi$を用いることができないので，原論の証明は煩雑な証明と感ずることが少なくないが，これは甚だしい認識不足なのである）． 実際命題29で初めて第五公理を用いている．
すなわち，命題１から命題28までは公理１から公理４より導き出される命題であるので
双曲幾何， これは公理1から公理４および公理５の否定を仮定した幾何学，でも成り立つ．
一方，球面幾何学はだいぶ様子が異なる．すなわち，球面幾何はユークリッド原論公理
!. 任意の点から任意の点へ直線をただ一つ引くことができる
2. 有限直線をどちら側にも限りなく延長することができる
3. 任意の点と距離(半径)とをもって円を描くことができる．
を満たさないので，注意深く議論を進める必要がある．

まえがき

さて，第1章で述べた内容を見直そう．
球面$T$($S$は$T$の南極)の極射影
$I(S):T\setminus \{S\} \longrightarrow \mathbb{R}^2$
より
$E=\left \{(u,v)\in \mathbb{R}^2|I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+u^2+v^2)^2}\right \}$
を定め，球面上の幾何学を$E$上ので行うというのがリーマンが主張した曲面の研究方法で，これは 球面を外から見て調べるのではなく，球面上で生活しているの立場に立った研究方法である． その研究方法の道筋を示したのが，リーマンが大学教師就任に際して行った試験講義「幾何学の基礎をなす仮説について」 である．
ここで述べた第1章は，反転変換の一つの応用例として書いていたのであるが，書きながら，そうだこれを題材にリーマンの試験講義の 解説を書いたら面白いと思い書いてみました．リーマンの試験講義は難解です．H.ワイルによる解説書がありますが， これも難解です．超一流の数学者と一般人では解説の必要な場所や内容がだいぶ異なることが分かります． リーマンの講演の解説はH.ワイルのように世紀を代表する突き抜けた人には自由に書けるでしょうが ，責任のある方にとってはなかなかできるものではありません．私がリーマンの試験講義の解説をするなどおこが ましいことで，不適切なのは承知していますが，背負うものが何もないアマチュアの数学愛好 家だからできることであり，以前からやってみたいと思っていました．
リーマンの就職講演の解説には，微分幾何やリーマン幾何の知識が必要です． その解説の中にリーマンの思想を組み込みました．
微分幾何は
曲面の第1基本形式，第2基本形式
曲面のガウス曲率
曲面上の曲線の測地曲率
ガウス・ボンネの定理
の順番で学ぶのが定番ですが，曲面の基本定理すなわち
$\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}$
$\boldsymbol{n}_i=-b_{ij}g^{jk}\boldsymbol{f}_k$
を最初に学びガウス曲率，測地曲率を同時に学んだ方が勉強しやすいとおもいそのように書いてみました．
リーマン幾何では微分(共変微分)の順番を変えたときの差を求めるためにテンソル場の知識が必要なのですが， テンソル，テンソル場の導入はできるだけ後回しにし，さらになぜテンソルの概念が必要なのかが 分かるように配慮しました．
全体を通して，なぜこのように考えるのかが分かるように書いているので，微分幾何， リーマン幾何の習得に苦労している方にとっては役に立つのではないかと期待しています．
私はアマチュアの数学者とすでに述べたが，周りに議論をする相手がいないことが残念なことで寄せられる意見こそが 勉強材料です．自分では気が付かない不適切な内容が少なくないと思います．ご教示いただければ幸いです．