リーマン幾何で重要なテンソル場は2つありそれを扱います．
リーマン接続の条件の一つが
$X,Y\in \mathcal{X}(U)$に対して
$D_XY-D_YX-[X,Y]=0\cdots (\sharp)$
を満たすことです．
この式を見ていきます．リーマン接続を考える限り$(\sharp)$が成り立つので($(\sharp)$はリーマン接続の条件の一つ)
$D_XY-D_YX-[X,Y]$
をリーマン接続のもと議論するのは不向きです．
ここではアフィン接続,すなわち接続係数$\Gamma _{ij}^k$には何の制限もないとします．
まず，
$S(X,Y)=D_XY-D_YX$
がテンソル場かどうかを調べましょう．
$h\in C^{\infty}(U)$に対して
$S(hX,Y)=D_{hX}Y-D_Y(hX)$
$=hD_XY-Y(h)X-hD_YX$
$=hS(X,Y)-(Yh)D_YX$
より，$S$はテンソル場ではない．
次に
$T(X,Y)=D_XY-D_YX-[X,Y]$
を考える．
まず，テンソル場であるかどうかを調べる
$h\in C^{\infty}(U)$に対して
$T(hX,Y)=D_{hX}Y-D_Y(hX)-[hX,Y]$
$=hD_XY-Y(h)X-hD_YX-(hXY-Y(h)X-hYX)$
$=hT(X,Y)$
$T(X,hY)$についても同様($-T(X,Y)$を考えればよい)．したがって$T$はテンソル場である．
$T$を接続$D$の捩率テンソル場と呼ぶ．
接ベクトル空間の基底$\partial _{u^i}$およびその双対基底$du^i$による$T$の成分を求める.
$[\partial _{u^i},\partial _{u^j}]=0$
であるから
$T^k_{ \ \ \ ij}=du^k(D_{\partial _{u^i}}\partial _{u^j}-D_{\partial _{u^j}}\partial _{u^i})$
$=du^k(\Gamma _{ji}^l\partial _{u^l}-\Gamma _{ij}^l\partial _{u^l})$
$=\Gamma _{ji}^k-\Gamma _{ij}^k$
したがって
$T\equiv 0\Leftrightarrow \Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k \ \ (\forall i,j,k)$
が成り立つ．
捩率テンソルが$0$テンソル場である接続$D$を対称接続という．リーマン接続は対称接続である．

共変微分は曲面上における解析学の微分に対応するものです．微分と異なり順番を変えたとき結果が異なります．
$X,Y,Z\in \mathcal{X}(U)$のとき
$D_XD_YZ-D_YD_XZ$
が計算できないようでは困ります．この問題を解決します
なお，これは曲面論の
$\boldsymbol{f}_{ijk}-\boldsymbol{f}_{ikj}$（曲面論の基本定理の可積分条件）
の計算に対応します．
以下接続$D$はリーマン接続とします．
すなわち捩率テンソル$T$が$T\equiv 0(\Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k \ \forall i,j,k)$
かつ接続が計量テンソル$(\cdot ,\cdot )$に適合する．すなわち
$X(Y,Z)=(D_XY,Z)+(Y,D_XZ),X,Y,Z\in \mathcal{X}(U)$
を満たす．
まず
$S(X,Y)Z=D_XD_YZ-D_YD_XZ$
とおき，$S$がテンソル場かどうかを調べる．
$f,g\in C^{\infty}(U)$に対して
$D_{fX}D_YZ=fD_XD_YZ$
$D_YD_{fX}Z=D_Y(fD_XZ)=Y(f)D_XZ+fD_YD_XZ$
より
$S(fX,Y)Z=fS(X,Y)Z-Y(f)D_XZ$
より$S$はテンソル場ではない．
次に
$R(X,Y)Z=D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z$
とおき，$R$がテンソル場かどうかを調べる．
まず，$R(fX,Y)Z$を計算する．
$D_{fX}D_YZ=fD_XD_YZ$
$D_YD_{fX}Z=Y(f)D_XZ+fD_YD_XZ$
$D_{[fX,Y]}Z=D_{(f[X,Y]-Y(f)X)}Z=fD_{[X,Y]}Z-Y(f)D_XZ$
したがって
$R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z$
$R(X,fY)Z=fR(X,Y)Z$は同様．$R(X,fY)Z=-R(fY,X)Z$とすればよい．
次に
$R(X,Y)(fZ)$を計算する．
$D_XD_Y(fZ)=D_X(Y(f)Z+fD_YZ)$
$=X(Y(f))Z+Y(f)D_XZ+X(f)D_YZ+fD_XD_YZ\cdots (*1)$
$X,Y$を入れ替えて
$D_YD_X(fZ)=Y(X(f))Z+X(f)D_YZ+Y(f)D_XZ+fD_YD_XZ\cdots (*2)$
$D_{[X,Y]}fZ=([X,Y]f)Z+fD_{[X,Y]}Z\cdots (*3)$
$(*1)-(*2)-(*3)$より
$R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$
を得る．
したがって，写像
$R:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U)$
を $(X,Y,Z)\mapsto R(X,Y)Z,R(X,Y)Z=D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z$
によって定義すれば$R$は$(1,3)$型のテンソル場である．
このテンソル場を曲率テンソル場という．なお，ここまでは， 接続の対称性や計量テンソルが適合するかどうかは用いていないの で曲率テンソル場はアフィン接続でも定義でいる．
内積を$(\cdot , \cdot )$とする．共変成分と反変成分の内積による同一視による$(0,4)$型の テンソル場も同じ記号$R$ を用いる．
すなわち
$X,Y,Z,W\in \mathcal{X}(U)$のとき
$R(X,Y,Z,W)=(R(X,Y)Z,W)$
で定義する．
曲率テンソル場$R$の持つ性質を調べよう．
命題
$X,Y,Z,W \in \mathcal{X}(U)$とする．曲率テンソル場$R$は次の関係式を満たす．
$(1) \ R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$
$(2) \ R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
$(3) \ R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W)$
$(4) \ R(X,Y,Z,W)=-R(X,Y,W,Z)$
$(5) \ R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=0$
$(6) \ R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$
証明
$(1)$は定義より明らか.
$(2)$は捩率テンソルが$0$,すなわち$D_XY-D_YX=[X,Y]$を用いる．
$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y$
$=D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z$
$+D_YD_ZX-D_ZD_YX-D_{[Y,Z]}X$
$+D_ZD_XY-D_XD_ZY-D_{[Z,X]}Y$
$=D_X[Y,Z]-D_{[Y,Z]}X+D_Y[Z,X]-D_{[Z,X]}Y+D_Z[X,Y]-D_{[X,Y]}Z$
$=[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0　\ \ $(∵Jacob 恒等式)
$(3)$は$(1)$よりわかる．
$(4)$はリーマン接続は内積を保つ，すなわち$X(Y,Z)=(D_XY,Z)+(Y,D_XZ)$より得られる.
$(D_XD_YZ,W)$
$=X(D_YZ,W)-(D_YZ,D_XW)$
$=X(Y(Z,W)-(Z,D_YW))-(D_YZ,D_XW)$
$=XY(Z,W)-(D_XZ,D_YW)-(Z,D_XD_YW)-(D_YZ,D_XW)$
したがって
$R(X,Y,Z,W)=(D_XD_YZ,W)-(D_YD_XZ,W)-(D_{[X,Y]}Z,W)$
$=[X,Y](Z,W)-(Z,D_XD_YW-D_YD_XW)-(D_{[X,Y]}Z,W)$
$=-(Z,D_XD_YW-D_YD_XW)+(Z,D_{[X,Y]}W)$
$=-(Z,D_XD_YW-D_YD_XW-D_{[X,Y]}W)=-R(X,Y,W,Z)$
$(5)$は$(2)$より明らか．
$(6)$は$(5)$より４つの恒等式を作り$(3),(4)$を用いればよい．
$R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=0$
$R(Y,Z,W,X)+R(Z,W,Y,X)+R(W,Y,Z,X)=0$
$R(X,Z,W,Y)+R(Z,W,X,Y)+R(W,X,Z,Y)=0$
$R(X,Y,W,Z)+R(Y,W,X,Z)+R(W,X,Y,Z)=0$
$(3),(4)$より
$2R(X,Z,Y,W)=2R(Y,W,X,Z)$
を得る．

$U$の座標系における基底となるベクトル場$\{\partial _{u^i}\}$およびその双対ベクトル場$\{du^i\}$ における曲率テンソル場の成分を求めよう．
まず，
$[\partial _{u^i},\partial _{u^j}]=0$
であることに注意する．
$R_{kji}^{ \ \ \ \ \ \ \ l}=du^l(R(\partial _{u^k},\partial _{u^j})\partial _{u^i})$
一方
$D_{\partial _{u^k}}D_{\partial _{u^j}}\partial _{u^i}$
$=\dfrac{\partial \Gamma _{ij}^s}{\partial u^k}\partial _{u^s}+\Gamma_{ij}^s\Gamma _{sk}^t\partial _{u^t}$
$=\left(\dfrac{\partial \Gamma _{ij}^s}{\partial u^k}+\Gamma _{ij}^t\Gamma_{tk}^s\right)\partial _{u^s}$
であるから
$R_{kji}^{ \ \ \ \ \ \ \ l}=\dfrac{\partial \Gamma_{ij}^l}{\partial u^k}-\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^l}{\partial u^j} +\Gamma_{ij}^s\Gamma_{sk}^l-\Gamma _{ik}^s\Gamma_{sj}^l$
また
$R_{kjil}=(R_{kji}^{ \ \ \ \ \ \ \ s}\partial _{u^s},\partial _{u^l})=R_{kji}^{ \ \ \ \ \ \ \ s}g_{sl}$
である．


曲面論再考

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