これで，残された問題，
ガウスの可積分条件がいくつあるか
が解決する．
$1\leqq i,j,k,l \leqq 2$および曲率テンソル場の性質より，曲率テンソル場の$0$でない成分は
$R_{1212}=R_{2121}=-R_{1221}=-R_{2112}$
一方，ガウスの可積分条件，すなわち$\boldsymbol{f}_{ijk}=\boldsymbol{f}_{ikj}$の接平面成分より得られる性質は
$R_{ijkl}=b_{ij}b_{kl}-b_{ik}b_{jl}$
であり，見かけは$2^4=16$個あるが実際はただ一つ
$R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}^2 \cdots (\sharp)$
だけであることが示された．
$(\sharp)$より，第1基本形式
$I=g_{11}(du^1)^2+2g_{12}du^1du^2+g_{22}(du^2)^2$
で与えられた曲面の点$P$におけるガウス曲率$K(P)$は
$K(P)=\dfrac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-(g_{12})^2}=\dfrac{-R_{1212}}{g_{11}g_{22}-(g_{12})^2}\cdots (\flat)$
となることが分かる．
$(\flat)$の右辺の分母は$\partial_{u^1},\partial _{u^2}$の定める平行四辺形の面積の平方である．
実際，2つのベクトル$u,v$の定める平行四辺形の面積の平方は
$|u|^2|v|^2\sin ^2\theta=|u|^2|v|^2(1-\cos ^2\theta)=|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2$
そこで次の定義になる．
定義
$X,Y\in T_P(U)$を1次独立とする．
$K(X,Y)=-\dfrac{R(X,Y,X,Y)}{|X|^2|Y|^2-(X,Y)^2}$
で定義した$K(X,Y)$を$X,Y$の張る平面$\{X,Y\}$の断面曲率という．

定義が妥当性を持つためには，$K(X,Y)$が$\{X,Y\}$の1次独立な元の取り方によらないことを示す必要がある．
$V=aX+bY.W=cX+dY (ad-bc\neq 0)$とする．
$X,Y$を列ベクトルとする．
$|X|^2|Y|^2-(X\cdot Y)^2=\det \begin{pmatrix} X&Y\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} X&Y\end{pmatrix}$
である．ただし，$( \ \ )^T$は転置行列を表す．
$\begin{pmatrix}V&W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X&Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$
のとき，
$|V|^2|W|^2-(V\cdot W)^2=\det \begin{pmatrix} V&W\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} V&W\end{pmatrix}$
$=\det\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}^2\det\begin{pmatrix} X&Y\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} X&Y\end{pmatrix}$
$=(ad-bc)^2(|X|^2|Y|^2-(X\cdot Y)^2)$
つぎに，$R(V,W,V,W)$を計算する．
$R(aX+bY,cX+dYX,Y)=adR(X,Y,X,Y)+bcR(Y,X,X,Y)=(ad-bc)R(X,Y,X,Y)$
後半の2項に関しても同様であるから
$R(V,W,V,W)=R(aX+bY,cX+dY,aX+bY,cX+dY)=(ad-bc)^2R(X,Y,X,Y)$
となる．
したがって，
$K(X,Y)=K(V,W)$
であり，定義が妥当であることが分かる．

曲率テンソルが分かれば断面曲率が分かるが，逆に各点において，すべての断面曲率 が分かれば，その点における曲率テンソルが定まる．そのことを示そう．
すべての断面曲率が分かると仮定るする．
$\{X_1,\dots ,X_n\}$を一組の正規直交基底となるベクトル場とする．
なお，正規直交座標系は一般に存在しないが(もし存在するなら曲率$0$になる)，シュミットの直交化により，正規直交基底となる ベクトル場は存在する．
$R_{ijkl}=R(X_i,X_j,X_k,X_l)$
とおく．このとき
$K(X_i,X_j)=-R_{ijij}$
である．
$K(X_i,X_j+X_k)=-\dfrac{R(X_i,X_j+X_k,X_i,X_j+X_k)}{2}=-\dfrac{R_{ijij}+R_{ikik}+2R_{ijik}}{2}$
より，任意の$i,j,k$で
$R_{ijik}$ が分かる.
次に
$K(X_i+X_k,X_j+X_l)$
を考える．
$K(X_i+X_k,X_j+X_l)=-\dfrac{R(X_i+X_k,X_j+X_l,X_i+X_k,X_j+X_l)}{4}$
ここで既知の値をまとめて$(*)$とすると
$=\dfrac{R_{ijkl}+R_{kjil}}{2}+(*)$
より
$R_{ijkl}+R_{kjil}$の値が分かる．
さらに
$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$
より
$2R_{kjil}-R_{kijl}=(*1)$
$i,j$を交換すれば
$2R_{kijl}-R_{kjil}=(*2)$
を得るから$R_{ijkl}$が求まる．

曲面上に接続$D$を与えれば，任意のベクトル場$X(\in \mathcal{X}(U))$で
$D_X:\mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U),Y\mapsto D_XY$
が定義された．これを共変微分商と呼ぶが，共変微分商はテンソル場に対しても定義できる．
テンソル場に対する共変微分商を定義するには，いくつかのルールを定める必要がある．
$X\in \mathcal{X}(U)$とする．
$1. D_X$はテンソル場の型を変えない．
すなわち，$R$を$(r,s)$型のテンソル場とすると$D_XR$も$(r,s)$型のテンソル場である．
$2.D_X$はテンソル積に対して，積の微分と同じように作用する．
すなわち，$R,S$をそれぞれテンソル場とする．この時
$D_X(R\otimes S)=(D_XR)\otimes S+R\otimes (D_XS)$
が成り立つ．
$3.D_X$は縮約と交換可能である．
すなわち，$C$をテンソル場$R$の縮約とすると
$D_XC(T)=C(D_XT)$
が成り立つ．

以上がテンソル場の共変微分商を定めるためのルールである.
$(1,2)$型のテンソル場$R$でテンソル場の共変微分を説明する．
$U$上の反変ベクトル場全体を$\mathcal{X}(U)$と表した，以後，さらに$U$上の共変ベクトル場全体を$\mathcal{A}(U)$と表す．
$X,Y,Z\in \mathcal{X}(U),\alpha \in \mathcal{A}(U)$とする．
$R(Y,Z,\alpha )$は，$(3,3)$型のテンソル場$R\otimes Y\otimes Z\otimes \alpha$を作り，さらにすべての縮約を行ったもの． すなわち
$R(Y,Z,\alpha )=C(R\otimes Y\otimes Z\otimes \alpha)$
である．したがって，ルール$3$より
$X(R(Y,Z,\alpha ))=D_XC(R\otimes Y\otimes Z\otimes \alpha )$
$=C(D_X(R\otimes Y\otimes Z\otimes \alpha))$
$=C((D_XR)\otimes Y\otimes Z\otimes \alpha+ R\otimes D_XY\otimes Z\otimes \alpha+ R\otimes Y\otimes D_XZ\otimes \alpha +R\otimes Y\otimes Z\otimes D_X \alpha)$
$=(D_XR)(Y,Z,\alpha)+R(D_X Y,Z,\alpha )+R(Y,D_X Z,\alpha )+R(Y,Z,D_X \alpha)$
したがって
$(D_XR)(Y,Z,\alpha )=X(R(Y,Z,\alpha))-R(D_X Y,Z,\alpha )-R(Y,D_X Z,\alpha )-R(Y,Z,D_X \alpha)$
となる．
これが標準的なテンソル場の共変微分商の説明であるが，ルール$2$より
テンソル場$R$を
$R=R_{jk}^ldu^j\otimes du^k\otimes \partial _{u^l}$
と成分表示して
$D_XR=X(R_{jk}^l)du^j\otimes du^k\otimes \partial _{u^l}+ R_{jk}^l(D_Xdu^j)\otimes du^k\otimes \partial _{u^l}$
$+R_{jk}^ldu^j\otimes D_X(du^k)\otimes \partial _{u^l} +R_{jk}^ldu^j\otimes du^k\otimes　D_X(\partial _{u^l})$
でもよい．

$R$を成分表示して，$D_XR$の成分表示を計算しよう．
まず，共変ベクトル場の共変微分商を求める必要がある．
$D_{\partial _{u^j}}du^i=\alpha _kdu^k$
とおき$\alpha _k$を求める．
$\alpha _k=(D_{\partial _{u^j}}du^i)(\partial _{u^k})$
$=\dfrac{\partial \delta _k^i}{\partial u^j}-du^i(\Gamma_{kj}^l\partial _{u^l})=-\Gamma _{kj}^i$
したがって
$D_{\partial _{u^j}}du^i=-\Gamma _{kj}^idu^k$
である．
反変ベクトル場の共変微分商もまとめて書いておく．
$\begin{cases} D_{\partial _{u^j}}\partial _{u^i}=\Gamma _{ij}^k\partial _{u^k}\\ D_{\partial _{u^j}}du^i=-\Gamma _{kj}^idu^k \end{cases}$

次に$\alpha =\alpha _idu^i$のとき$D_{\partial _u^j}\alpha$を計算する．
$D_{\partial _{u^j}}\alpha=D_{\partial _{u^j}}\alpha _idu^i$
$=\dfrac{\partial \alpha _i}{\partial u^j}du^i-\alpha _i\Gamma _{kj}^idu^k$
$=(\dfrac{\partial \alpha _i}{\partial u^j}-\alpha _k\Gamma_{ij}^k)du^i$
$=\alpha _{i,j}du^i$
ただし
$\alpha _{i,j}=\dfrac{\partial \alpha _i}{\partial u^j}-\alpha _k\Gamma_{ij}^k$
である．

次に，テンソル場の共変微分商の成分を求める．
テンソル場$R$は$(1,2)$型とする．
$(D_{\partial _{u^l}}R)_{ij}^k=(D_{\partial _{u^l}}R)(\partial _{u^i},\partial _{u^j},du^k)$
$=\dfrac{\partial R_{ij}^k}{\partial u^l}-R(\Gamma _{il}^s\partial _{u^s},\partial _{u^j},du^k) -R(\partial _{u^i},\Gamma _{jl}^t\partial _{u^t},du^k) -R(\partial _{u^i},\partial _{u^j},-\Gamma _{vl}^kdu^v) $
$=\dfrac{\partial R_{ij}^k}{\partial u^l}-\Gamma _{il}^sR_{sj}^k-\Gamma_{jl}^sR_{is}^k+\Gamma_{sl}^kR_{ij}^s$
これを通常の次のように表す．
$(D_{\partial _{u^l}}R)_{ij}^k=R_{ij,l}^k$とおき，
$D_{\partial _{u^l}}R=R_{ij,l}^kdu^i\otimes du^j\otimes \partial _{u^k}$
ただし
$R_{ij,l}^k=\dfrac{\partial R_{ij}^k}{\partial u^l}-\Gamma _{il}^sR_{sj}^k-\Gamma_{jl}^sR_{is}^k+\Gamma_{sl}^kR_{ij}^s $

もう一つの方法でテンソルの共変微分商の成分を計算しよう．
$R=R_{ij}^kdu^i\otimes du^j\otimes \partial _{u^k}$
のとき
$D_{\partial _{u^l}}R=\dfrac{\partial R_{ij}^k}{\partial u^l}du^i\otimes du^j\otimes \partial _{u^k} +R_{ij}^k(D_{\partial _{u^l}}du^i)\otimes du^j\otimes \partial _{u^k}$
$+R_{ij}^kdu^i\otimes (D_{\partial _{u^l}}du^j)\otimes \partial _{u^k} + R_{ij}^kdu^i\otimes du^j\otimes (D_{\partial _{u^l}}\partial _{u^k}) $
$=(\dfrac{\partial R_{ij}^k}{\partial u^l}-\Gamma _{il}^sR_{sj}^k-\Gamma_{jl}^sR_{is}^k+\Gamma_{sl}^kR_{ij}^s) du^i\otimes du^j\otimes \partial _{u^k}$

さて，ここで計量テンソルに目を向けよう．計量テンソルは内積のことである．
計量テンソルを
$g=g_{ij}du^i\otimes du^j$
とおく．
今までは$X,Y\in \mathcal{X}(U)$とき, $g(X,Y)=(X,Y)$
と置いていた．
$X,Y,Z\in \mathcal{X}(U)$
のとき
$X(Y,Z)=(D_XY,Z)+(Y,D_XZ)\cdots (\sharp)$
が成り立つが，これを$g$で書き直すと
$Xg(Y,Z)=g(D_XY,Z)+g(Y,D_XZ)$
一方左辺は
$XC(g\otimes Y\otimes Z)=(D_Xg)(Y,Z)+g(D_XY,Z)+(Y,D_XZ)$
したがって
$(\sharp)\Leftrightarrow $任意の$X,Y,Z$で$(D_Xg)(Y,Z)=0$
である．
$(D_{\partial _{u^i}}g)_{jk}=\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial u^i}-g_{sk}\Gamma _{ji}^s -g_{js}\Gamma _{ki}^s$
であるから，
$(\sharp)\Leftrightarrow \dfrac{\partial g_{jk}}{\partial u^i}-g_{sk}\Gamma _{ji}^s -g_{js}\Gamma _{ki}^s =0 \ \ (\forall i,j,k) $
となる．この式は$g$をテンソル場とみた共変微分商の式であるがよく見ると
$\dfrac{\partial (\partial _{u^j},\partial _{u_k})}{\partial u^i}=(D_{\partial _{u^i}}\partial_ {u^j},\partial _{u^k}) +(\partial _{u^j},D_{\partial _{u^i}}\partial_ {u^k})$
と同じことである．

リーマン幾何の基本定理はすでに述べたが，計量テンソル，捩率テンソルを用いて書き直して終わりにしよう．
リーマン幾何の基本定理
計量テンソル$g$が与えられている曲面上で
$g$に適合し(任意のベクトル場$X$で$D_Xg=0$)，
かつ
捩率テンソル$T$が$T=0(\Leftrightarrow D_XY-D_YX-[X,Y]=0\Leftrightarrow \Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k)$
であるアフィン接続はただ一つである．(この接続をリーマン接続という)
証明
上記$(\flat)$より
$\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial u^i}=g_{sk}\Gamma _{ji}^s+g_{js}\Gamma _{ki}^s\cdots (1)$
が成り立つ．後はこの式より，$\Gamma _{ij}^k$を$g_{ij}$で表せばより．
$(1)$の$i,j,k$を入れ替え
$\dfrac{\partial g_{ik}}{\partial u^j}=g_{sk}\Gamma _{ij}^s+g_{is}\Gamma _{kj}^s\cdots (2)$
$\dfrac{\partial g_{ji}}{\partial u^k}=g_{si}\Gamma _{jk}^s+g_{js}\Gamma _{ik}^s\cdots (3)$
$(1)+(2)-(3)$および，$\Gamma _{ij}^k ,g_{ij}$の対称性より
$2g_{sk}\Gamma _{ij}^s=\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial u^i}+\dfrac{\partial g_{ik}}{\partial u^j}- \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}$
したがって
$\Gamma_{ij}^k=\dfrac{1}{2}g^{kl}(\dfrac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\dfrac{\partial g_{il}}{\partial u^j}- \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^l})$
$\Gamma _{ij}^k$が決まり，アフィン接続がただ一つに定まる．

以上で予定した微分幾何，リーマン幾何の内容は終わりです．

今までの議論のもと，私たちの住む3次元の世界を考えよう．
リーマンはこれを最終章（第3章）で扱っています．
リーマン以前はすべての数学者，哲学者は
「我々の空間は，その中で起こる物理現象とは無関係に確定しており， 現実はこの計量空間のなかに人が完成した粗末な宿に住むと同じように入っている」
と考えていた．もしこの考えに立つならば，物体が伸び縮みしないで自由に動きまわれることにより定曲率である． 天文の観測により曲率が$0$とあまり変わらないことが結論されるかもしれないが，どんなに小さい正の値でも， 空間は必ず有限になる．この場合，接平面の一つの2次元部分空間を定め，その面と接する測地線を全体より得られる 曲面は 正の定曲率もち，涯がなく，$\mathbb{R}^3$内の球面となり有限である．
ここで，ガウスの行った観測を思いだしましょう．すなわち，ホーヘンハーゲンの山頂，ブロッケンの山頂，インゼルスベルク山頂に測定器 設置し，距離や角を測定したことです．三角形の内角の和と$\pi$との差が曲率で表せますから， 我々の住む世界の曲率を観測していたと考えられます． さすがガウス驚きです．
さて話は続きます.
リーマンはそれまでの「空間は定まったもの」という考えに反対し
「空間それ自体は単なる3次元多様体で，それを満たす物質的内容が空間の計量を定める」
と主張した．
さらにリーマンは
「立体は定曲率でなく，したがって天文を計測をしても局所的な関係を導くことができない．各点における断面曲率はいろいろな値を取り，さらに第1基本形式が2次微分形式でないならさらに面倒な関係式が 出てくる．空間で量を測定する際に基礎となる経験的概念である剛体と光線の概念は，無 限小においては適用されないように思われる．したがって，無限小部分における空間の量的関係が幾何学の 仮定に従わないことは大いに考えられることであるし， そうすることによって現象が考えられるなら，そう考えなければならない」
と述べていますが筆者も心もとなくなってきました．物理的素養のない私には手の届くものではありません． 各自読まれることをお願いします．

竜頭蛇尾の感が否めないが，第3章はワイルの紹介文の
この講演の最後の章における，数学以上の論議は全く予言といわざるを得ないほどの驚くべき明確さをもって，アインシュタインの重力論と 一致するようなリーマンの空間論の物理学的結論を支持している．・・・
を見ても分かるように私の手に負えるものではありません．
不十分，不適切な点があることは承知しています．はじめにも書きましたが，ご意見，ご批判をいただければ幸いです．


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