次に扱うのは曲線の接触平面です．
曲線$\boldsymbol{r}(s)$の$\boldsymbol{r}(s_0)$における接触平面とは$\boldsymbol{r}(s_0)$において曲線に一番接近した平面のことである．
このような感覚的な説明では数学では使えないので定義を改める．
定義
曲線$C$上の点$P_0$における接線と曲線上の$P_0$に近くに点$P$をとる．$P$を$C$にそって$P_0$ に近づけたときの$P_0$における接線と点$P$の定める平面の極限を曲線$C$の点$P_0$における接触平面という．
曲線
$C:\boldsymbol{r}(s)$
の接触平面を求めよう．
$\boldsymbol{r}'(s)=\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{r}''(s)=k(s)\boldsymbol{\beta} (s)$
$P_0(\boldsymbol{r}(s))$における単位接ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)$および$P(\boldsymbol{r}(s+\Delta s ))$の定める平面の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$は
$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{\alpha} (s)\times (\boldsymbol{r}(s+\Delta s)-\boldsymbol{r}(s))$
$=\boldsymbol{\alpha} (s)\times (\boldsymbol{\alpha} (s)\Delta s+(\dfrac{1}{2}k(s)\boldsymbol{\beta} (s)+\epsilon)(\Delta s)^2)$
ここで　$\epsilon \to 0 (\Delta s \to 0)$
$=\boldsymbol{\alpha} (s)\times ((\dfrac{1}{2}k(s)\boldsymbol{\beta} (s)+\epsilon)(\Delta s)^2)$
したがって
$\dfrac{\boldsymbol{n}}{(\Delta s)^2}\to \dfrac{1}{2}k(s)(\boldsymbol{\alpha} (s)\times \boldsymbol{\beta}(s))$
すなわち，点$P(\boldsymbol{r}(s))$における単位接ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s)$および単位主法線ベクトル$\boldsymbol{\beta} (s)$の 定める平面が接触平面である．

平面曲線はいたるところで接触平面は変わらないが，空間曲線は１つの平面に含まれるわけではない． 接触平面から離れる度合いも考える必要がある．それを考えよう．
接触平面から離れる度合いは，接触平面の動き方が速いか遅いかで調べる．
すなわち，接触平面の法線ベクトル
$\boldsymbol{\gamma} (s)=\boldsymbol{\alpha} (s)\times \boldsymbol{\beta} (s)$
の弧長$s$に関する変化率$\boldsymbol{\gamma} '(s)$の大きさで定義する．
ここで定義したベクトル$\boldsymbol{\gamma} (s)$を曲線$\boldsymbol{r}(s)$の従法線ベクトルと呼ぶ．
$\boldsymbol{\gamma} (s)\cdot \boldsymbol{\gamma} (s)=1$ であるから
$\boldsymbol{\gamma} '(s)\cdot \boldsymbol{\gamma} (s)=0\cdots (*)$
$\boldsymbol{\alpha} (s)\cdot \boldsymbol{\gamma} (s)=0\cdots (**)$
であるから$(**)$より
$0=\boldsymbol{\alpha} '(s)\cdot \boldsymbol{\gamma} (s)+\boldsymbol{\alpha} (s)\cdot \boldsymbol{\gamma} '(s) =k(s)\boldsymbol{\beta} (s)\cdot \boldsymbol{\gamma} (s)+\boldsymbol{\alpha} (s)\cdot \boldsymbol{\gamma} '(s)$
$\therefore \boldsymbol{\gamma} '(s)\cdot \boldsymbol{\alpha} (s)=0\cdots (***)$
$(*),(***)$より$\boldsymbol{\gamma} '(s)$‖$\boldsymbol{\beta}$が成り立つ．
定義
$\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s)\boldsymbol{\beta} (s)$
で$\tau (s)$を定義する．$\tau (s)$を曲線$\boldsymbol{r}(s)$の捩率という．

例
円柱螺旋
$\boldsymbol{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$
の曲率，捩率を求めよう．
$\dfrac{ds}{dt}=|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}|=\sqrt{a^2+b^2}$
$\boldsymbol{\alpha} =\dfrac{d\boldsymbol{r}}{ds}=\dfrac{\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}}{\frac{ds}{dt}}=\dfrac{(-a\sin t,a\cos t,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\dfrac{d\boldsymbol{\alpha} }{ds}=\dfrac{a}{a^2+b^2}(-\cos t,-\sin t,0)$
したがって曲率$k$は
$k=\dfrac{a}{a^2+b^2}$
$\boldsymbol{\beta} =(-\cos t,-\sin t,0)$
$\boldsymbol{\gamma} =\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\beta} =\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(b\sin t,-b\cos t,a)$
$\dfrac{d\boldsymbol{\gamma} }{ds}=-\dfrac{b}{a^2+b^2}(-\cos t,-\sin t,0)$
したがって捩率$\tau$は
$\tau=\dfrac{b}{a^2+b^2}$
である．
円柱螺旋が捩率を調べるにはわかりやすい（後で，曲率，捩率がともに定数の曲線は円柱螺旋であることが示される）．
$b > 0$のとき，すなわち下から上に向かう円柱螺旋の捩率が正である．この曲線を右旋または右旋回という． この時下から上を見るとき（進行方向）右周りになっている．もちろん$b < 0$ のとき左旋である．

$\bullet $フレネ座標系
曲線$C:r=r(s)$が与えられたとき，曲線上の各点$P(r(s))$に単位ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)$ が定義されました．それらを用いた座標系$\{r(s):\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)\}$をフレネ座標系という．
$\mathbb{R}^3$では通常，座標系の基本ベクトル$e_1,e_2,e_3$が固定されており，ベクトル $x(t)e_1+y(t)e_2+z(t)e_3$の微分は$x'(t)e_1+y'(t)e_2+z'(t)e_3$となるがフレネ座標系では，基本ベクトルも動くで，曲線$C$ 上の点を始点とするベクトル
$a(s)\boldsymbol{\alpha} (s)+b(s)\boldsymbol{\beta} (s)+c(s)\boldsymbol{\gamma} (s)$
を微分するには基本ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)$の微分$\boldsymbol{\alpha} '(s),\boldsymbol{\beta} '(s),\boldsymbol{\gamma} '(s)$ を$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)$で表す必要がある．それを行おう．
すでに曲線より$k(s),\tau (s)$は定まり
$\boldsymbol{\alpha} '(s)=k(s)\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s)\boldsymbol{\beta} (s)$
となる．したがって$\boldsymbol{\beta}'(s)$だけ求めればよい．
$\boldsymbol{\beta} =\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\alpha} $
より
$\boldsymbol{\beta} '=\boldsymbol{\gamma} '\times \boldsymbol{\alpha} +\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\alpha} '$
$=-\tau \boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{\alpha} +k\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\beta}$
$=\tau \boldsymbol{\gamma} -k\boldsymbol{\alpha}$
したがって次のようになる．
$\begin{cases} \boldsymbol{\alpha} '(s)=k(s)\boldsymbol{\beta} (s)\\ \boldsymbol{\beta} '(s)=-k(s)\boldsymbol{\alpha} (s)+\tau (s)\boldsymbol{\gamma} (s)\\ \boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s)\boldsymbol{\beta}\end{cases}$
この関係式をフレネの公式と呼ぶ．この公式は次のように行列表記されることが多い．
$\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} '(s)\\ \boldsymbol{\beta} '(s)\\ \boldsymbol{\gamma} '(s)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&k(s)&0\\-k(s)&0&\tau (s)\\0&-\tau (s)&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha} (s)\\ \boldsymbol{\beta} (s)\\\boldsymbol{\gamma} (s)\end{pmatrix} $

$\bullet$曲線の基本定理
今までの議論から
曲線$C \Longrightarrow $弧長変数の曲線$r(s)$で曲率$k(s)$,捩率$\tau (s)$が決まる．
が成り立つことが分かりました．
逆の命題を考えます．すなわち
$s$の関数$k(s) > 0,\tau (s)$を与えたとき，曲率が$k(s)$，捩率が$\tau (s)$である弧長変数表示された 曲線$r(s)$が存在するか
を考えます．これを曲線の基本定理といいます．数学では，ある命題が成り立つとき，もしその逆の命題が成り立てばとても扱いやすくなります．
このように逆の命題を考えるとき微分幾何では概ね微分方程式，偏微分方程式のお世話になります．
ここで，注意することは，曲線を針金で作って$\mathbb{R}^3$に置いたとき，場所を変えても弧長． 曲率，捩率は変わらないので， 曲線の場所を変えるだけなら同じ曲線と 考えるということになります．これを数学では，剛体運動(形を変えない運動)で 重ね合わせることができるとき同じ曲線と考えると表現します．次の定理ではこの立場を取ります．
定理（曲線の基本定理）
区間$(a,b)$において，2つの連続関数$k(s) > 0,\tau (s)$が与えられている．また空間$\mathbb{R}^3$内の一点$P_0$ において，3つが互いに垂直かつ右手系をなす単位ベクトル$\boldsymbol{\alpha} _0,\boldsymbol{\beta} _0,\boldsymbol{\gamma} _0が与えられている．
$ このとき，$\mathbb{R}^3$において，次の条件を満たす曲線$r(s)$がただ一つ存在する．
(1) 弧長変数
(2) 曲率は$k(s)$,捩率は$\tau (s)$
(3) $r(s_0)=P_0$であり，$s=s_0$における$r(s)$の単位接ベクトル，単位主法線ベクトル，単位従法線ベクトルはそれぞれ $\boldsymbol{\alpha} _0,\boldsymbol{\beta} _0,\boldsymbol{\gamma} _0$である．

証明の前に定理を眺めよう．
空間曲線$r(s)$を求めることは
$r(s)=(x(s),y(s),z(s))$
と置けば3つの関数$x(s),y(s),z(s)$を求めることである．
一方条件は
弧長，曲率，捩率
より3条件．ちなみに弧長は
$|\dfrac{dr}{ds}|=\sqrt{x'(s)^2+y'(s)^2+z'(s)^2}=1$
より1条件である．
したがって，条件としては過不足はない．これは後で学ぶ曲面の基本定理とは異なる点である．
証明
まず，$\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$についての微分方程式を考える．
$\begin{cases} \dfrac{d\boldsymbol{\alpha} (s)}{ds}=k(s)\boldsymbol{\beta} (s)\\ \dfrac{d\boldsymbol{\beta} (s)}{ds}=-k(s)\boldsymbol{\alpha} (s)+\tau (s)\boldsymbol{\gamma} (s)\\ \dfrac{d\boldsymbol{\gamma} (s)}{ds}=-\tau (s)\boldsymbol{\beta} (s)\end{cases} $
初期条件は
$\boldsymbol{\alpha} (s_0)=\boldsymbol{\alpha} _0,\boldsymbol{\beta} (s_0)=\boldsymbol{\beta} _0,\boldsymbol{\gamma} (s_0)=\boldsymbol{\gamma} _0$
この連立微分方程式，式は3つであるが，$\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{\beta} ,\boldsymbol{\gamma}$それぞれ3つの関数よりなるので， 9個方程式よりなる微分方程式（線形斉次常微分方程式）である．この微分方程式は定義されている全範囲$(a,b)$ でただ一つの解$\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ が存在することが知られている．
あとは
$P_0=r(s_0)$
とおき，
$\displaystyle r(s)=r(s_0)+\int_{s_0}^s\boldsymbol{\alpha} (s)ds$
によって$r(s)$を求めればよい．

微分方程式の理論より知られているとごまかしているようである， 実際そうなんだが，この微分方程式は，解の存在や一意性を学ぶ最初のものである． 微分方程式の本を眺めてみましょう．

さて，これで，曲線を与えれば，
弧長変数，曲率，捩率
が定まり，逆も成り立つことが分かりました．
したがって，弧長変数の曲線に，
曲率$k(s)$,捩率$\tau (s)$ を与えても曲線が決まります．この表し方
$k=k(s),\tau =\tau (s)$
を曲線の自然方程式または稟性方程式という．
なお，円柱螺旋は曲率，捩率が定数であるが逆も成り立つので，曲率，捩率が定数の曲線は円柱螺旋に 限ることが分かる．
さらに，円柱に巻き付いた円柱螺旋は，円柱を母線に沿って切り開いて平面にすると，直線になります．これは曲線を 決定つける曲率や捩率は内在量（第1基本形式を保つ変換で保たれる量）ではないことが分かります．

§2.5 ガウス曲率

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