$\S 2.5$ガウス曲率
これから曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$を扱います．
曲面上の曲線の性質を調べることにより，曲面の性質を調べていきます．
曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$上の弧長変数の曲線を
$C:\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s))$
とおく．
曲線$C$の$P(\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s)))$における単位接ベクトルは
$\dfrac{d\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s))}{ds}=\boldsymbol{f}_i\dfrac{du^i}{ds}$
ここで，
$\dfrac{du^1}{ds}=a(s),\dfrac{du^2}{ds}=b(s)$
と置けば，単位接ベクトルは
$a(s)\boldsymbol{f}_1+b(s)\boldsymbol{f}_2$
ということである．
$P$における曲線$C$の曲率を$k(s)$とすると
$k(s)\boldsymbol{\beta} =\dfrac{d\boldsymbol{\alpha} }{ds}=\boldsymbol{f}_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}+\boldsymbol{f}_i\dfrac{d^2u^i}{ds^2}\cdots (*)$
$(*)$はこれから何度も出てくる大事な式である．
ここで曲面の基本公式
$\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}$
を用いて
$=(\Gamma_{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n})\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}+\boldsymbol{f}_k\dfrac{d^2u^k}{ds^2}$
$=(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds})\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\boldsymbol{n}$
ここで，曲線$C$の曲率ベクトル$k(s)\boldsymbol{\beta}$のの曲面の法線ベクトルへの正射影
$b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\boldsymbol{n}$
を法曲率ベクトル，
接平面への正射影
$(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds})\boldsymbol{f}_k$
を測地曲率ベクトルという．
$\bullet$法曲率と曲面のガウス曲率
法曲率ベクトルを用いて曲面の曲がり方を調べる．
曲面$\boldsymbol{f}$上の曲線$C$の点$P$における曲率ベクトル$k(s)\boldsymbol{\beta}$の曲面の点$P$における法線ベクトルへの正射影
$k(s)\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{n}=b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\cdots (*)$
を曲線$C$の点$P$における法曲率といい$k_n$と表す．
曲線$C$の曲率$k(s)\boldsymbol{\beta}$は曲面の媒介変数の取り方によらない固有の値である．
法曲率は$\boldsymbol{n}$の取り方により符号が反対になる．
$(*)$の右辺からわかるように，第１基本量だけで定まる量(内在量)ではない．
$\dfrac{du^i}{ds}=\dfrac{\frac{du^i}{dt}}{\frac{ds}{dt}}$
より
$k_n=b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=\dfrac{b_{ij}\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}}{(\frac{ds}{dt})^2}$
この式は，曲線を弧長でない一般媒介変数で
$\boldsymbol{f}(u^1(t),u^2(t))$
と表したときの接ベクトルが
$\alpha =a\boldsymbol{f}_1+b\boldsymbol{f}_2$
のとき
$k_n=\dfrac{b_{11}a^2+2b_{12}ab+b_{22}b^2}{g_{11}a^2+2g_{12}ab+g_{22}b^2}\cdots (\sharp)$
となるということである．
これは，曲線の接ベクトルが$\alpha$でも$k\alpha$でも法曲率は変わらない($a,b$にそれぞれ$ka,kb$を代入してみればよい)．接ベクトルの向きだけで決まることを示している．
一般の書では点$P$の接ベクトルを
$d\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_1du^1+\boldsymbol{f}_2du^2$
とし
$k_n=\dfrac{b_{11}(du^1)^2+2b_{12}du^1du^2+b_{22}(du^2)^2}{g_{11}(du^1)^2+2g_{12}du^1du^2+g_{22}(du^2)^2}$
と表すが同じことである．
ここで注意することは，ある点で接するいくつかの円を考えれば分かるように，曲線の曲率は，その点の接ベクトルだけでは
決まらない．曲率ベクトルと曲面の法線ベクトルとのなす角を$\theta$とすると
$k_n=k(s)\cos \theta$
であり，この値が変わらないということです．これは球面で考えると分かりやすい．
右図で，接ベクトル$v$の曲線$C$をとる．このような曲線はいくらでもある．球面の中心を$O$,円$C'$の中心を$O'$,
球面の半径を$R$，小円である円$C'$の半径を$r$,$\angle OPO'=\theta$とすると
$R\cos \theta =r$より
$\dfrac{1}{r}\cos \theta =\dfrac{1}{R}$
したがって，
(曲線$C'$の曲率)$\cos \theta=$円$C$の曲率$=$（一定）
である．法曲率の定義より，ある方向$v$の法曲率を求めるには，$v$と曲面の法線ベクトル$n$の定める平面による
この曲面の切り口（この曲線を直裁曲線という）の曲率を求めればより．
曲面上のある点における直截曲線を曲率半径の円で近似すれば曲面の近似が得られる．
これから点を固定して，法曲率の最大値，最小値およびその方向を調べよう．
定義
法曲率の最大値，最小値を主曲率といい，主曲率を与える方向を主方向という．
主曲率を調べよう．
$g_{11}=E,g_{12}=F,g_{22}=F;b_{11}=L,b_{12}=M,b_{22}=N$
として計算する．
点$P$の通る曲線の点$P$における接ベクトルが$a\boldsymbol{f}_1+b\boldsymbol{f}_2$のときこの曲線の法曲率$k_n$は
$k_n=\dfrac{La^2+2Mab+Nb^2}{Ea^2+2Fab+Gb^2}$
であり，この最大値，最小値を求めることである．
分子，分母を$b^2$で割り，$\frac{a}{b}=t$と置く．
$\dfrac{Lt^2+2Mt+N}{Et^2+2Ft+G}=k \cdots (\sharp)$
で$(\sharp)$が実数解をもつ$k$の最大値，最小値を求めることになる．
ここで，$F^2-EG < 0 (\because EG-F^2=|\boldsymbol{f}_1 \times \boldsymbol{f}_2|^2 > 0)$より
$Et^2+2Ft+G > 0$
である．
$(\sharp)$の分母を払って整理すると
$(kE-L)t^2+2(kF-M)t+(kG-N)=0$
$t$が実数解をもつ$k$の範囲より
$(kF-M)^2-(kE-L)(kG-N)\geqq 0$
整理すると
$(EG-F^2)k^2-(EN-2FM+GL)k+LN-M^2\leqq 0$
である．したがって，$k$の最大値，最小値は$k$についての2次方程式
$(EG-F^2)k^2-(EN-2FM+GL)k+LN-M^2=0$
の解．この解を$k_1,k_2$とすると
$k_1k_2=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2},k_1+k_2=\dfrac{EN-2FM+GL}{EG-F^2}$
である．
定義
曲面上の点における主曲率を$k_1,k_2$とする．このとき$k_1k_2,\frac{k_1+k_2}{2}$をそれぞれこの点におけるガウス曲率，平均曲率と呼ぶ．
次の命題が成り立つことが証明された.
命題
曲面の第１基本形式，第２基本形式がそれぞれ
$I=E(du^1)^2+2Fdu^1du^2+G(du^2)^2$
$II=L(du^1)^2+2Mdu^1du^2+N(du^2)^2$
のとき，ガウス曲率$K$,平均曲率$H$は
$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2},H=\dfrac{1}{2}\dfrac{EN-2FM+GL}{EG-F^2}$
である．
ガウス曲率$K$は法曲率を用いて定義しており，法曲率は内在量
（第1基本量だけで決まる量）ではないので，内在量ではないと思うが，これは内在量である
というのがガウスの示したEgregium theorem である．これは後で示される．
平均曲率$H$は第1基本量$g_{ij}$，第2基本量$b_{ij}$,$g=\det (g_{ij})$とおくと
$H=\dfrac{1}{2}\dfrac{g_{11}b_{22}-g_{12}b_{12}-g_{21}b_{21}+g_{22}b_{11}}{g}$
$(g_{ij})$の逆行列を$(g^{ij})$とおくと
$g^{11}=\dfrac{g_{22}}{g},g^{12}=-\dfrac{g_{12}}{g},g^{21}=-\dfrac{g_{21}}{g},g^{22}=\dfrac{g_11}{g}$
であるから
$=\dfrac{g^{11}b_{11}+g^{12}b_{12}+g^{21}b_{21}+g^{22}b_{22}}{2}$
$=\dfrac{g^{ij}b_{ij}}{2}$
次に2つの主方向の関係を調べよう．
$f(t)=\dfrac{Lt^2+2Mt+N}{Et^2+2Ft+G}$
とおく．
$f'(t)=2\dfrac{(FL-EM)t^2-(EN-GL)t+(GM-FN)}{(Et^2+2Ft+G)^2}$
したがって，$f'(t)=0$の解を$t_1,t_2$とおくと
$t_1+t_2=\dfrac{EN-GL}{FL-EM},t_1t_2=\dfrac{GM-FN}{FL-EM}$
一方主方向は
$t_1\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2,t_2\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2$であるから，
$(t_1\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2)\cdot (t_2\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2)$
$=t_1t_2E+(t_1+t_2)F+G$
$=\dfrac{E(GM-FN)}{FL-EM}+\dfrac{F(EN-GL)}{FL-EM}+G=0$
したがって
$(t_1\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2)\perp (t_2\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2)$
すなわち主方向は直交することが分かった．
定義
曲面上の各点において主方向は直交する．
さて，曲面のガウス曲率の説明は以上でおしまいです．以上の内容は曲面上の曲線の法曲率を用いて曲面のガウス曲率を定義しましたが，
曲面の曲がり方より直接ガウス曲率を求める方法がありそれを説明します．
曲線の捩率の定義のときに，曲線の接触面から離れる度合いを接触面の法線ベクトルの動き方で調べると述べましたが，
曲面の曲がり方を似た方法で調べます．
曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$上の各点で単位法線ベクトル$\boldsymbol{n}(u^1,u^2)$が定義できる．$\boldsymbol{n}(u^1,u^2)$の始点を$\mathbb{R}^3$
の原点とすれば，終点は原点を中心とする単位球面$S$上を動く．
曲面
$\boldsymbol{f}:U\to \mathbb{R}^3,(u,v)\mapsto \boldsymbol{f}(u,v)$
に対して，$\boldsymbol{f}$より定まる
$\boldsymbol{n}:U\to S,(u,v)\mapsto \boldsymbol{n}(u,v)$
を曲面$\boldsymbol{f}$の球面表示またはガウス写像という．
ここで，点$P$が曲面$\boldsymbol{f}$上を動くときの単位法線ベクトル$\boldsymbol{n}$の動き方を考える．曲面の曲がり方が大きければ大きいほど，
$\boldsymbol{n}$の動き方は大きくなる．この性質を利用してガウスは曲面の曲率を次のように定義した．
$P$を曲面$\boldsymbol{f}$上の点，$U$を$\boldsymbol{f}(U)$が$P$を含む$u,v$平面上の十分小さな領域とする．
領域$D$の面積を$\mathrm{area}(D)$と表すと
$\frac{\mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))}{\mathrm{area}(\boldsymbol{f}(u))}$は曲面の曲がり方が
大きければ大きいほど値が大きくなる（曲がり方の意味が不鮮明なので
この値で曲がり方を決めるといった方が適切）．そこで点$P$における曲率の絶対値を，$U$を小さくし領域$\boldsymbol{f}(U)$が$P$
に近づくときの極限値
$\displaystyle \lim_{\boldsymbol{f}(U)\to P}\dfrac{\mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))}{\mathrm{area}(\boldsymbol{f}(U))}$
で定義する．
この極限値が第１基本量$E,F,G$,第２基本量$L,M,N$を用いて
$\left|\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}\right|$
となることを示す．すなわちこれはすでに述べたガウス曲率の絶対値である．
$\mathrm{area}(\boldsymbol{f}(U)),\mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))$はそれぞれ
$\displaystyle \mathrm{area}(\boldsymbol{f}(U))=\iint_{U}|\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v|dudv$
$\displaystyle \mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))=\iint_{U}|\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v|dudv$
である．なお曲面積についての説明は§3.4にある．
ここで，$\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v$と$\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v$の関係を調べよう．
$\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{n}=1$より$\boldsymbol{n}_u\cdot \boldsymbol{n}=0,\boldsymbol{n}_v\cdot \boldsymbol{n}=0$
より$\boldsymbol{n}_u,\boldsymbol{n}_v$は接ベクトルである．
$\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v$は曲面の法線ベクトルで
$(\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v)\parallel (\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v)$
したがって
$\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v=k(u,v)\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v\cdots (\sharp)$
と表せる．$k(u,v)$を求めよう．
$(\sharp)$の両辺と$\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v$と内積を取る．
$(\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v)\cdot (\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v)=k(u,v)(\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v)\cdot (\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v)\cdots (\flat)$
ここで
$(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{d})=(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{d})
-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c})$
であるから
$\big(\because (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{d})=\{(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}\}\cdot \boldsymbol{d}$
$=\{(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a}\}\cdot \boldsymbol{d}
=(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{d})-(\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{d})\big)$
$(\flat)$より
$(\boldsymbol{n}_u\cdot \boldsymbol{f}_u)(\boldsymbol{n}_v\cdot \boldsymbol{f}_v)-(\boldsymbol{n}_u\cdot \boldsymbol{f}_v)(\boldsymbol{n}_v\cdot \boldsymbol{f}_u)$
$=k(u,v)\{(\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u)(\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v)-(\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v)^2\}$
ここで
$\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u=E,\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v=F,\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v=G$
および
$\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{n}=0.\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{n}=0$より
$L=\boldsymbol{f}_{uu}\cdot \boldsymbol{n}=-\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{n}_u$
$M=\boldsymbol{f}_{uv}\cdot \boldsymbol{n}=-\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{n}_v=-\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{n}_u$
$L=\boldsymbol{f}_{vv}\cdot \boldsymbol{n}=-\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{n}_v$
であるから
$LN-M^2=k(u,v)(EG-F^2)$
したがって$k(u,v)$はその点のガウス曲率である．
$\boldsymbol{f}(u,v)=P$のとき$k(u,v)=k_P$と表すことにする．
両辺の絶対値をとり
$|LN-M^2|=|k(u,v)||(EG-F^2)|$
より
$\displaystyle \mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))=\iint_{U}|\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v|dudv
=\iint_{U}|k(u,v)||\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v|dudv$
平均値の定理を用い,ある点$\boldsymbol{f}(u_0,v_0)$が存在して
$=\displaystyle |k(u_0,v_0)|\iint_{U}|\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v|dudv=|k(u_0.\,v_0)|\mathrm{area}(\boldsymbol{f}(U))$
領域$\boldsymbol{f}(U)$が$P$に近づくように$U$を小さくしていけば$\boldsymbol{f}(u_0,v_0)\to P$であるから
$\displaystyle \lim_{\boldsymbol{f}(U)\to P}\dfrac{\mathrm{area}(\boldsymbol{n}(U))}{\mathrm{area}(\boldsymbol{f}(U))}=|k_P|$
$|k_P|$は曲面$\boldsymbol{f}$の点$P$におけるガウス曲率の絶対値でありこれが求める関係式である．
さて，面積の比でガウス曲率の絶対値はわかるが符号は分からない．それは次のように考えればよい．
$\boldsymbol{n}_u\times \boldsymbol{n}_v=k(u,v)(\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v)$
である.$\boldsymbol{f}_u,\boldsymbol{f}_v,\boldsymbol{n}_u,\boldsymbol{n}_v$は同じ接平面上のベクトルであり，$\boldsymbol{f}_u$から$\boldsymbol{f}_v$に向かう
回転の方向($\pi$以下の回転で考えたときの回転の方向)と
$\boldsymbol{n}_u$から$\boldsymbol{n}_v$に向かう回転の方向が同じなら$k(u,v) > 0$で逆なら$k(u,v) < 0$である．
§2.6 測地曲率と測地線
目次
全体の目次
|