$\S 4.4$ テンソル場
ベクトル場は曲面の各点に接ベクトルを対応させたものです．
ベクトル場の概念を拡張したのがテンソル場です．
曲面$\boldsymbol{f}$の点$P$における接ベクトル全体の作るベクトル空間を$T_P(\boldsymbol{f})$と表し，接ベクトル空間という．
$T_P(\boldsymbol{f})$の双対ベクトル空間を$T^*_P(\boldsymbol{f})$で表す．
曲面$\boldsymbol{f}$上の点$P$における，$T_P(\boldsymbol{f})$上の$(r,s)$型のテンソル全体のなすベクトル空間，すなわち多重線形写像全体である
$\mathcal{L}(\overbrace{T^*_P(\boldsymbol{f}),\cdots ,T^*_P(\boldsymbol{f})}^r,\overbrace{T_P(\boldsymbol{f}),\cdots ,T_P(\boldsymbol{f})}^s;\mathbb{R})$
を$V^r_s(P)$と表す．
今までは，曲面
$\boldsymbol{f}:U(\subset \mathbb{R}^2)\to \mathbb{R}^3;(u^1,u^2)\mapsto \boldsymbol{f}(u^1,u^2)=(f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2))$
の接ベクトル空間の基底を$\boldsymbol{f}_1(=\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u^1}),\boldsymbol{f}_2(=\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u^2})$
としてきたがこれから曲面を$U$上で考え，それぞれ$\partial _{u^1},\partial _{u^2}$と表す．なお，
$\frac{\partial }{\partial u^1},\frac{\partial }{\partial u^2}$と表記する書が多い．
基底$\{\partial _{u^i}\}$の双対基底を$\{du^i\}$とする．
$U$上の関数で各変数で何度偏微分しても連続なもの全体を$C^{\infty}(U)$と表す．曲面を定める$f^i$は
$f^i\in C^{\infty}(U)$とする．
定義
曲面$\boldsymbol{f}$上の$(r.s)$型のテンソル場$T$とは,$\boldsymbol{f}$の各点$P$に
ベクトル空間$T_P(\boldsymbol{f})$上の$(r,s)$型テンソル
$T(P)\in V^r_s(P)$
を定めたものである．
$T$を$U$上で表せば
$T=T^{i_1\dots i_r}_{j_1,\dots j_q}\partial _{u^{i_1}}\otimes
\cdots \otimes \partial _{u^{i_r}}\otimes du^{j_1}\cdots \otimes du^{j_s}$
となる．これは，$U$上の各点$P$において
$T(P)=T^{i_1\dots i_r}_{j_1,\dots j_q}(P)\partial _{u^{i_1}}|_P\otimes
\cdots \otimes \partial _{u^{i_r}}|_P\otimes du^{j_1}|_P\cdots \otimes du^{j_s}|_P\cdots (\sharp)$
を対応させるという意味である．
ここでは，$(1,3),(0,4),(1,2)$型のテンソル場しか扱わないので，一般的な議論をするとき，
特別の指定がない限り，テンソル場は
$(1,3)$型とする．
$T=_{ijk}^{ \ \ \ \ \ \ \ l}du^i\otimes du^j\otimes du^k\otimes \partial _{u^l}$
のとき
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^i\partial _{u^i},Z^i\partial _{u^i}$
に対して
$T(X,Y,Z)=T_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ l}X^iY^jZ^l\partial _{u^l}$
より
$T(X,Y,Z)(P)=T_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ l}(P)X^i(P)Y^j(P)Z^l(P)\partial _{u^l}|_P$
ここで$T(X,Y,Z)(P)$の値は$X(P),Y(P),Z(P)$だけで決まるということに注意する必要があります．
例えば，関数$f(x)$の微分係数$f'(x_0)$は$f(x_0)$の値だけでは決まりません．ですから，共変微分より作られる作用素がテンソル場になるのは上手に相殺される場合だけです．
なお，$U$上のベクトル場全体を$\mathcal{X}(U)$と表すのは今まで通り．
例1
ブラケット積
$[\cdot ,\cdot]:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U),(X,Y)\mapsto [X,Y]$
がテンソル場かどうか調べよう．
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^i\partial _{u^i}$のとき
$[X,Y]=(X^j\dfrac{\partial Y^i}{\partial u^j}-Y^j\dfrac{\partial X^i}{\partial u^j})\partial _{u^i}$
$[X,Y]_P$は$X^i(P),Y^i(P)$だけでは決まらない(偏微分を含む)からテンソル場ではない．
例2
共変微分
$D:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U),(X,Y)\mapsto D_XY$
がテンソル場かどうかを調べよう．
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^i\partial _{u^i}$のとき
$D_XY=X^iD_{\partial _{u^i}}(Y^j\partial _{u^j})$
$=X^i(\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+Y^j\Gamma _{ji}^k)\partial _{u^k}$
$\frac{\partial Y^k}{\partial u^i}$があるのでテンソル場ではない．
しかし，$Y$を固定し
$DY: \mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U),X\mapsto D_XY$
により定義すると$DY$は$(1,1)$型のテンソルである．
$DY$の成分をもとめる．
$(DY)^i_j=du^i(D_{\partial _{u^j}}Y)=\dfrac{\partial Y^i}{\partial u^j}+Y^k\Gamma_{kj}^i$
である．
例3
$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$
のとき，$\boldsymbol{f}$の微分$d\boldsymbol{f}$は$\boldsymbol{f}$の線形変換による近似である
$d\boldsymbol{f}:T_P(\mathbb{R}^2)\to T_{\boldsymbol{f}(P)}(\mathbb{R}^2)$
は$(1,1)$型のテンソル場である．
$\boldsymbol{f}=(f^1,f^2),\boldsymbol{x}=(x^1,x^2),\boldsymbol{h}=(h_1,h_2)$のとき
$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$
$=\begin{pmatrix}f^1(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-f^1(\boldsymbol{x})\\f^2(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{x})\end{pmatrix}$
$\fallingdotseq \begin{pmatrix}\dfrac{\partial f^1}{\partial x^1}h_1+\dfrac{\partial f^1}{\partial x^2}h_2\\
\dfrac{\partial f^2}{\partial x^1}h_1+\dfrac{\partial f^2}{\partial x^2}h_2\end{pmatrix}
$
$=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f^1}{\partial x^1}&
\dfrac{\partial f^1}{\partial x^2}\\
\dfrac{\partial f^2}{\partial x^1}&
\dfrac{\partial f^2}{\partial x^1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}$
であり，通常ヤコビ行列として行列表記される．
一方
$(d\boldsymbol{f})^i_j=dy^i(d\boldsymbol{f}(\partial _{x^j}))=
dy^i(\dfrac{\partial f^k}{\partial x^j}\partial _{y^k})=\dfrac{\partial f^i}{\partial x^j}$
である．
テンソル場であるかどうかの判断は次の命題を利用する．
命題
$T:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\to \mathcal{X}(U)$
が各変数で，和に関して線形でかつ$C^{\infty}(U)$上線形，すなわち
$X,Y,Z\in \mathcal{X}(U),h\in C^{\infty}(U)$のとき
$\begin{cases}T(X+Y,\cdot,\cdot)=T(X,\cdot,\cdot )+T(Y,\cdot ,\cdot)\\
T(\cdot, X+Y,\cdot)=T(\cdot, X,\cdot)+T(\cdot ,Y,\cdot )\\
T(\cdot, ,\cdot ,X+Y)=T(\cdot, \cdot,X)+T(\cdot ,\cdot ,Y) \end{cases}\cdots (*)$
および，$h\in C^{\infty}(U)$のとき
$T(hX,Y,Z)=T(X,hY,z)=T(X,Y,hZ)=hT(X,Y,Z)\cdots (**)$
を満たすとき，$T$は$(1,3)$型のテンソル場である．
証明
$U$上の各点で多重線形写像になることは明らかなので，
$X,Y,Z\in \mathcal{X}(U)$を与えたとき，
$T(X,Y,Z)(P)$の値が$X(P),Y(P),Z(P)$だけで決まることを示せばよい．
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^i\partial _{u^i},Z=Z^i\partial _{u^i}$
のとき,$(**)$より
$T(X,Y,Z)=X^iY^jZ^kT_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ l}\partial _{u^l}$
したがって
$T(X,Y,Z)(P)=X^i(P)Y^j(P)Z^k(P)T_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ l}\partial _{u^l}(P)$
$T_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ l}\partial _{u^l}$は$\partial _{u^i},\partial _{u^j},\partial _{u^k}$だけで決まるので
点$P$だけで決まる量である．
したがって，右辺は$X(P),Y(P),Z(P)$だけで決まる．
テンソル場になるための条件$(*),(**)$のうち$(*)$は明らかな場
合が多く，$(**)$を確認すればよいことがほとんどである．
例えば例1のブラケット積は
$[hX,Y]=hXY-Y(hX)=hXY-(Yh)X-hYX=h[X,Y]-(Yh)X$
であるからテンソル場でない．
例2は
$D_X(hY)=X(h)Y-hD_XY$
より$(1,2)$型のテンソル場ではないが
$D_{hX}Y=hD_XY$
であるから
$DY;X\mapsto D_XY$
は$(1,1)$型のテンソル場である．
§4.5 捩率テンソル場と曲率テンソル場
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