曲面を与えれば，第１基本形式,第２基本形式 $I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2，II==Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
が決まる．すなわち，第１基本量$E,F,G$，第2基本量$L,M,N$が決まる．
逆に$E > 0,F,G > 0 (EG-F^2 > 0),L,M,N$を与えたとき，第1基本形式，第２基本形式がそれぞれ
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2，II==Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
である曲面が定まるかという問題が曲面の基本定理です．
これは偏微分方程式の問題で，ある条件(可積分条件)の下で， 局所的であるがただ一つ曲面が定まることが示される．
したがって，$E(u,v) > 0,F(u,v),G(u,v) > 0 (EG-F^2 > 0),L(u,v),M(u,v),N(u,v)$ を与えれば，局所的にではあるが曲面が完全に決まるが，それを$E,F,G$だけで行うというのがガウスの提唱した 内在幾何です．
それは，曲面を外から見て調べるのではなく，曲面上で生活している立場に立って曲面を調べるという立場です．
これをポアンカレはその著「科学と仮説」の中で，厚さのない人間のみが住む世界を考えることで上手に説明しています．
曲面上の第1基本形式だけで決まる幾何学量を内在量という．
曲面上の曲線の長さ，角，領域の面積等はわかりやすいが，それだけでなく， 曲線の曲率，それは曲線を$\mathbb{R}^3$で考え，その曲率ベクトル（曲線の弧長変数表示の2次導関数） の接平面への正射影ベクトルの大きさのことで，これを測地曲率という． この測地曲率も第1基本量だけで表せることが分かる．
曲面上の曲線で，その測地曲率が$0$のものを測地線といい，十分小さな範囲内では測地線は2点間の 最短曲線であることが証明される（球面上の2点$A,B$を与えたとき，大円弧$AB$は劣弧，優弧2つあり， ともに測地線であるが，優弧は最短曲線ではない)．

例1
球面上の2点の最短距離が大円弧で与えれれることを初等的に示そうとすると難しいが，大円弧が測地線であることは容易である．
実際，大円の曲率ベクトルは球の中心を向くので，接平面に直交する．したがって，曲率ベクトルの 接平面への正射影は$0$ベクトルであり大円は測地線である．

例2
第1基本形式だけでは曲面が定まらない．
実際，半径$1$の円柱面は
$\boldsymbol{f}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$ である．
$\boldsymbol{f}_u=(-\sin u,\cos u,0),\boldsymbol{f}_v=(0,0,1)$
より
$E=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u=1,F=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v=0,G=\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v=1$
したがって
$I=du^2+dv^2$
で平面
$\boldsymbol{g}(u,v)=(u,v)$
と一致する．
円柱面の第2基本形式を求めよう．
$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{f}_u\times \boldsymbol{f}_v=(\cos u,\sin u,0),$
$\boldsymbol{f}_{uu}=(-\cos u,-\sin u,0),\boldsymbol{f}_{uv}=(0,0,0),\boldsymbol{f}_{vv}=(0,0,0)$
より
$L=\boldsymbol{f}_{uu}\cdot \boldsymbol{n}=-1,M=0,N=0$
より
$II=-du^2$
である．ちなみに平面の第2基本形式は$II=0$

さて，平面に第1基本形式を与えるだけで，曲線の長さ，角，面積，そして測地線といろいろなことができるが， それだけでなく,ガウスも驚いたというのが驚異の定理(Theorem erregium)です．
この内容の理解には，曲面のガウス曲率を理解する必要があります．
曲面$S$の点$P$におけるガウス曲率とは，点$P$を通る曲線の曲率ベクトル(曲線の弧長変数表示の2次導関数) の曲面の法線ベクトルへの正射影の大きさ(法線ベクトルと同じ向きなら正，反対向きなら負とする) の最大値と最小値の席で定義する．
曲面上の各点における法曲率$k_n$は曲面の第1基本量，第2基本量を用いて
$k_n=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$
と表せる．
このガウス曲率が第1基本量だけで表せる．すなわち$LN-M^2$が第1基本量 だけで表せるというのが驚異の定理です．
どこから導き出したかを見てみましょう．
すでに，触れた曲面の基本定理
$E > 0,F,G > 0 (EG-F^2 > 0),L,M,N$を与えたとき，第1基本形式，第２基本形式がそれぞれ
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2，II==Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
である曲面が定まる
これは，偏微分方程式の理論より導き出される．
条件は
$E,F,G,L,M,N$
の６条件．求めるのは
$x=f^1(u,v),y=f^2(u,v),z=f^3(u,v)$
と3つの関数です．
これは，連立方程式でも，連立微分方程式でも都合が悪い．
$E,F,G;L,M,N$
に3つの関係式がありそうです．
実際，3つの関係式があり,2条件はコダッチにより得られ，１条件がガウスにより得られました．
ガウスの得た条件が
$LNーM^2=(E,F,G\text{だけの式})$
です．
驚異の定理の成立より，ガウスは曲面を第１基本量だけで研究する内在幾何が意味があると確信したといわれています．
ガウスの内在幾何をさらに発展させたのがリーマンです．
リーマンは次のように行いました.
曲面$M$またはその開部分集合$U$から2次元ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$への連続な1対1対応
$f:U(\subset M)\to \mathbb{R}^2$
が与えられたとき，$U$(または$M$)上の幾何学を$\mathbb{R}^2$で行うときどうするか．
$M$上の性質を$\mathbb{R}^2$に持っていく必要がある．リーマンは就職講演で次のように述べています．
$U$上の幾何学を$\mathbb{R}^2$で行うには位置に無関係な幾何学量が必要である．それは種々の方法により可能である． ここで直ちに気が付く仮定は，それは私がこれから研究しようとするものであり, 曲線の長さが位置に無関係となり・・・．
すなわち，$\mathbb{R}^2$上の曲線の長さを対応する$U$上の曲線の長さで定義することである．
それは$\mathbb{R}^2$上に$M$で定まる第1基本形式を定義することである．その説明は球面$T$の極射影
$I(S):T\setminus \{S\}\to \alpha (=\mathbb{R}^2)$
で述べてある．
さらにリーマンは次のように述べている．
今まで曲面を扱うとき，$\mathbb{R}^3$内にどのように表示するかが重要であるが， 曲面に含まれる曲線の長さを変えない変形，すなわち伸縮のない任意の屈曲を考え，その変形により 相互に変わりうる曲面をすべて同等と見なせば$\mathbb{R}^2$で考えても問題は起こらない．

例
半径$1$の球面を考える．
通常の球面の表し方は
$x=\cos \phi \sin \theta ,y=\sin \phi \cos \theta ,z=\sin \theta \cdots (1)$
$(0\leqq \phi < 2\pi ,-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2})$
一方リーマンの主張する方法は，いろいろあるが，極射影で得らえた
$\{(u,v)\in \mathbb{R}^2|I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+u^2+v^2)^2}\}\cdots (2)$
とする．これは第1章で考えたものである．一見すると，リーマンの方法が面倒に見えるが，$(1)$は3次元の概念を持って初めて使える方法で，2次元の概念しかないならば， 到底考えつかない方法です．$(2)$は2次元の概念しか用いていないことに注目しましょう．

リーマンは$n$次元の立体，ここでは多様体と述べます，を考えました． これを読んでる方は，次元につぃていろいろな知識があるでしょうが，リーマンの時代は $n$次元の多様体などはおろか4次元以上など誰も考えたことはないでしょう．そもそも次元の概念はいつごろからあるのでしょうか．岩波数学辞典によると 1913年BrouwerがPoincareの考えに基づいて次元を定義したとあります．筆者はてっきりデカルトの時代からある概念と思っていたのですが，Poincareは当然リーマンの講演は読んでいるから，次元の概念はリーマンのこの講演によるといってもよいのかもしれません．
さて，$\mathbb{R}^4$における半径$1$の球面
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\cdots (*)$
を見てみましょう．この3次元の多様体（リーマンは3重に広がった多様体と述べている）を平面$x_4=t (-1 < t < 1)$ できると，切り口は2次元球面
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1-t^2,z_4=t \ \cdots (**)$
である．すなわち，$(*)$は$(**)$を$x_4$軸方向に$-1 < t < 1$の範囲で動いた時の軌跡である．
さらに，$\mathbb{R}^3$における球面$x_1^2+x_2^2+x_3^2=r^2$を平面$z_3=t (-r < t < r)$で切った切り口は円 $x_1^2+x_2^2=r^2-t^2,z_3=t$
である．すなわち，2次元球面は，$x_3$軸の方向に半径の変わる円が動いたときの軌跡である．
この内容をリーマンは次のように述べている．
1重の広がった多様体(曲線)がある定まった方向に変化しながら動いた時の軌跡が2重に広がった多様体である．
さらに，2重に広がった多様体をある定まった方向に変化しながら動いた時の軌跡が3重に広がった多様体である．
これを繰り返し，n重に広がった多様体が定義される．
例
$\mathbb{R}^4$における3次元球面は次のように考えることになる．
第4の軸を時間軸として$(x,y,z,t)を考える．
$ $x^2+y^2+z^2+t^2=1$
$t=k$のとき
$x^2+y^2+z^2=1-k^2$
であるから,時間$t$が$-1$から$1$まで変化するとき，2次元球面がだんだん半径が大きくなり， $t=0$で最大になりそれからだんだん小さくなる．
と考えるということです．

次に逆の議論をする．
$M$を$n$重に広がった多様体とする．$M$上の関数を$f$,$f$の値域上の値$a$をとり
$N=\{P\in M|f(P)=a\}$
を考えると，$N$は$n-1$重に広がった多様体である．この手続きを$n$回繰り返すことにより，与えられた多様体 における位置の決定は$n$個の数値の決定に還元されると述べている．
これは，陰関数の定理のことである．
陰関数の定理
$M$を$n$次元多様体とする．$M$上の$k$個の関数$f_1,\dots ,f_k$が関数関係を持たない(どの関数もほかの関数で表せない)なら
$N=\{P\in M|f_1(P)=a_1,\dots ,f_k(P)=a_k\}$
で$N$を定義すれば，$N$は$n-k$次元多様体である．

$M$が$n$重に広がった多様体のとき，$f_2,f_3,\dots ,f_n$を$M$上の関数関係を持たない関数とする．
このとき
$N=\{P\in M|f_2(P)=a_2,\dots ,f_(P)=a_n\}$
は1重に広がった多様体，すなわち曲線であるから，その媒介変数を$t$とれば
$Q\mapsto (t,f_2(Q),\dots ,f_n(Q))$
により$M$の位置の決定が$n$個の数値の決定に還元される．

§2.2 微分幾何の概略(2)

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