$\S1.1$ 球面の極射影
極射影とは，図法の一つで，球面上の一点を中心として，
その対蹠点（球の中心に関し対称な点）における
接平面への球面の射影で得られる対応です．
すなわち，原点を中心とする単位球$T:x^2+y^2+z^2=1$上の南極を$S(0,0,-1),$北極を$N(0,0,1)$とし，
北極$N$における球の接平面を$\alpha$とする．
球面上の$S$以外の任意の点$P$に対し，直線$SP$と平面$\alpha$と交点を$Q$とする，
このとき，$P\mapsto Q$で定まる写像
$I(S):T\setminus \{S\} \longrightarrow \alpha$
を球面$T$の点$S$を中心とする極射影という．
球面$T$の極射影
$I(S):T\setminus \{S\} \to \alpha$
により，一点$S$を除く球面と平面$\alpha$との連続な1対1対応が得られた．
ここでは，球面$T$上の議論を平面$\alpha$で行うことを考える．
現時点では，1対1かつ連続の対応だけであるから，位相以外に議論を進めることができない．
球面上の性質を平面上に持ってくる必要がある．いろいろな方法があると思われるが
その方法として
平面上の曲線の長さは，対応する球面上の長さと定義する$\cdots (*)$
を用いることにする．
$(*)$はそのままでは使いづらいので，座標を用いて表す．
平面$\alpha$から球面$T\setminus \{S\}$への写像($I(S)$の逆写像)を$\boldsymbol{f}$とする．
すなわち
$\boldsymbol{f}:\alpha \to T\setminus \{S\} \subset \mathbb{R}^3$
平面$\alpha$上の$N$を原点とする直交座標系を$(u,v)$として，平面$\alpha$上の任意の曲線を
$(u(t),v(t))$
と置くと球面上の曲線は
$\boldsymbol{f}(u(t),v(t))$
である．
$[t_0,t_1]$における球面上の曲線の長さは
$\displaystyle \int_{t_0}^{t_1}\left|\dfrac{d\boldsymbol{f}(u(t),v(t))}{dt}\right|dt$
である．
$\dfrac{d\boldsymbol{f}(u(t),v(t))}{dt}=\boldsymbol{f}_uu'(t)+\boldsymbol{f}_vv'(t)$
(ただし$\boldsymbol{f}_u=\dfrac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial u}$のこと．$v$についても同様)
より，$\mathbb{R}^3$における$\boldsymbol{f}_u,\boldsymbol{f}_v$の内積を
$\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u=E,\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v=F,
\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v=G$
とおくと
$\left|\dfrac{d\boldsymbol{f}(u(t),v(t))}{dt}\right|^2=Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2$
すなわち,$[t_0,t_1]$における球面上の曲線の長さは
$\displaystyle \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2}dt$
である．
$t\in [t_0,t_1]$のとき，$[t_0,t]$における球面上の曲線の長さは
$\displaystyle \int_{t_0}^t\sqrt{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2}dt$
であり，$t$で微分すると
$\sqrt{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2}$
である．これは，平面$\alpha$上で点$(u(t),v(t))$におけるベクトル$(u'(t)v'(t))$の大きさを
$\sqrt{Eu'(t)^2+2Fu'(t)v'(t)+Gv'(t)^2}$
言い方を変えれば
$(u,v)$平面上で，基本ベクトル$\frac{\partial}{\partial u},\frac{\partial}{\partial v}$の内積を
$\frac{\partial }{\partial u}\cdot \frac{\partial }{\partial u}=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u=E,
\frac{\partial }{\partial u}\cdot \frac{\partial }{\partial v}=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v=F,
\frac{\partial }{\partial v}\cdot \frac{\partial }{\partial v}=\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v=G \cdots (**)
$
で定義すれば，平面上の曲線の長さと対応する球面上の曲線の長さが一致する．
逆に，平面$\alpha$における基本ベクトル$\frac{\partial }{\partial u},\frac{\partial }{\partial u}$の内積を$(**)$
で定めれば,$\alpha$上の曲線の長さと対応する球面上の曲線の長さが一致する．
ここで条件$(**)$をもう少し見てみよう．
座標平面$(u,v)$上で，基本ベクトル$\frac{\partial }{\partial u},\frac{\partial }{\partial v}$の内積を$(**)$で定めると
$\left|a\frac{\partial }{\partial u}+b\frac{\partial }{\partial u}\right|^2=Ea^2+2Fab+Gb^2 \cdots (***)$
である．
伝統的にベクトル$a\frac{\partial }{\partial u}+b\frac{\partial }{\partial u}$を
$du\frac{\partial }{\partial u}+dv\frac{\partial }{\partial u}$と書く習慣があり$(***)$を
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\cdots (\flat)$
と表し第1基本形式という．また，$E,F,G$を$(\flat)$の第1基本量という．
第１基本形式$(\flat)$を定めた平面を抽象曲面という．これは，曲面を最1基本形式だけで
議論するという，ガウスやリーマンが提唱した
曲面の研究方法です．
半径$\sqrt{k}(k > 0)$の球面のガウス曲率は$\frac{1}{k}$である（ガウス曲率の説明は後で行う）．半径$\sqrt{k}$の球面から
得られる抽象曲面の第1基本形式を求めよう．
球面上の点$P(x,y,z)$,北極$N$における接平面上の
点を$Q(u,v,\dfrac{1}{\sqrt{k}})$とする．
$\overrightarrow{SP}=t\overrightarrow{SQ}$
より
$(x,y,z+\dfrac{1}{\sqrt{k}})=t(u,v,\dfrac{2}{\sqrt{k}})$
したがって
$x=tu,y=tv,z=\dfrac{-1+2t}{\sqrt{k}}$
および
$x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{k}$
より
$t=\dfrac{4}{k(u^2+v^2)+4}$
$x=\dfrac{4u}{k(u^2+v^2)+4},y=\dfrac{4v}{k(u^2+v^2)+4}
,z=\dfrac{4-k(u^2+v^2)}{\sqrt{k}(4+k(u^2+v^2))}$
を得る．
$\boldsymbol{f}_u=(\dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial u},
\dfrac{\partial z}{\partial u})$
$\boldsymbol{f}_v=(\dfrac{\partial x}{\partial v},\dfrac{\partial y}{\partial v},
\dfrac{\partial z}{\partial v})$
手計算でも難しくはないが，ここではパソコンを利用する（右図）．
第1基本量は
$E=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_u$
$=\dfrac{16}{(4+k(u^2+v^2))^2}$
$F=\boldsymbol{f}_u\cdot \boldsymbol{f}_v=0$
$G=\boldsymbol{f}_v\cdot \boldsymbol{f}_v$
$=\dfrac{16}{(4+k(u^2+v^2))^2}$
であるから，第1基本形式$I$は
$I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+k(u^2+v^2))^2}\cdots (\sharp)$
である．
第1基本形式
$I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+k(u^2+v^2))^2}$
を定めた$(u,v)$平面を曲率$k$の楕円平面と呼ぶ．
なお，ここで求めた第1基本形式は球面の代表的なものである．
第1基本形式は，平面への写像を作ればそれに対応して存在するのでいろいろある．
ここで作った第1基本形式$(\sharp)$は，半径$\frac{1}{\sqrt{k}}$より作ったので，$k > 0$でしか意味はない．
しかし，第１基本形式$(\sharp)$を見てみると$\sqrt{k}$の項がないので$k < 0$でも意味がある．
$k < 0$の時は，これを双曲平面と呼ぶが，１つの議論が出来上がっている．これから述べるのは楕円平面で似た議論を行なうことである．
ちなみに，第1基本形式より曲面の曲率は求められ，一般には複雑であるが
$I=a(u,v)^2(du^2+dv^2)$
のときのガウス曲率$k$は
$k=-\dfrac{1}{a(u,v)^2}(\dfrac{\partial ^2\log a(u,v)}{\partial u^2}
+\dfrac{\partial ^2\log a(u,v)}{\partial v^2})$
となることが知られている．
もちろん$\frac{1}{\sqrt{k}}$の球面より距離を保つとして作ったものなので，曲率$k$は当たり前なのであるが，
確認すると右のようになる．
以下，$k=1$で考える．すなわち，これから考える楕円平面は,第1基本形式
$I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+u^2+v^2)}$
を定めた$(u,v)$平面である．
次に2つのベクトルの内積を計算しよう．
まず，第1基本形式が
$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$
の時，2つのベクトル
$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2)=a_1\dfrac{\partial }{\partial u}+a_2\dfrac{\partial }{\partial v},
\boldsymbol{b}=(b_1,b_2)=b_1\dfrac{\partial }{\partial u}+b_2\dfrac{\partial }{\partial v},
$
の内積を計算する．
$(a_1\boldsymbol{f}_u+a_2\boldsymbol{f}_v)\cdot (b_1\boldsymbol{f}_u+b_2\boldsymbol{f}_v)$
$=Ea_1b_1+F(a_1b_2+a_2b_1)+Ga_2b_2$
より,楕円平面における内積は
$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=Ea_1b_1+F(a_1b_2+a_2b_1)+Ga_2b_2$
である．これは
$\begin{pmatrix}a_1&a_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$
とみると見やすい．ちなみに，第１基本形式(ベクトル$(du,dv)$の大きさの平方)は
$I=\begin{pmatrix}du&dv\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}$
である．
楕円平面における2つのベクトル
$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2),\boldsymbol{b}=(b_1,b_2)$
なす角を$\theta$とすると
$\cos \theta =\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$
$=\dfrac{Ea_1b_1+F(a_1b_2+a_2b_1)+Ga_2b_2}{\sqrt{Ea_1^2+2Fa_1a_2
+Ga_2^2}\sqrt{Eb_1^2+Fb_1b_2+Gb_2^2}}$
ここで，$F=0,E=G$のとき
$=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
これは，ユークリッド平面の角度である．
したがって，楕円平面の角はユークリッド平面の角そのまま用いればよいことが分かる．
§1.2 楕円幾何
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