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第1章 球面の極射影と楕円幾何

§1.2楕円幾何 

準備が整ったので,楕円平面E
E={(u,v)R2|I=16(du2+dv2)(4+u2+v2)2}
おける幾何学を行う.なお,1章のみ一部反転変換の知識が必要なところがあります.それは反転変換を参考にしてください.
球面の赤道の像は,原点を中心とする半径2の円である.この円を楕円平面Eの基礎円と呼びΣとする.
楕円平面における直線に対応するのは球面上の大円である.球面上の2つの大円の交点はそれぞれの大円の直径の両端である.
さらに極射影で円の像は円であるから(直線は円の一部と考える), 基礎円Σの直径の両端となる2点を通る円が楕円平面の直線である.この円を楕円直線と呼ぶ.
なお,楕円幾何はR2で考えるのでユークリッド幾何の知識もしばしば用いる. ユークリッド幾何で用いる図形はユークリッドを付け,ユークリッド直線, ユークリッド垂直二等分線,ユークリッド垂線,・・・と呼ぶ.
円の直径の両端を通る円の作図法を考える. 円Cが円Σ(中心をO,半径Rとする)の直径の両端A,Bを通る円とする.
Oを通るユークリッド直線と円Cとの交点をP,Qとする. このとき,方べきの定理より
OPOQ=OAOB
=R2(1)
一方円Σを反転円とする反転変換I(O,R2)
I(O,R2):PQ
とすると
OPOQ=R2(2)
(1),(2)より
OQ=OQ
したがって,PQ
Oを中心とする対称移動をfとすれば
PI(O,R2)QfQ
である.
ここで定義したfI(O,R2)を点Oを反転変換の中心,べきR2の反転変換といいI(O,R2) と表す.べきが負の時,べきが正の反転変換と点対称変換の合成で表せるから, 反転変換の持つ性質はべきが負でも成り立つことが分かる,
以上のことより,点Pを通る楕円直線は,点Q
PI(O,R2)Q
で定めれば,必ず点Qを通り逆も成り立つ.
たとえば,2点P,Rを通る楕円直線は,
PI(O,R2)Q
Qを定めたときの3点P,Q,Rを通る円である.
Pにおいて方向ベクトルvの楕円直線はPにおいて,v と垂直なユークリッド直線とPQのユークリッド垂直2等分線の交点を中心とする点Pを通る円である(上図).
PI(O,R2)Q
のとき,Pを通る楕円直線は必ず点Qを通る.球面で2つの大円の交点は対蹠点であるから,楕円幾何でもその用語を用い,点Qを点Pの対蹠点と呼ぶ.
もちろんQPの対蹠点ならPQの対蹠点である.
楕円平面に対蹠点でない2点P,Qを与えると,ただ一つの楕円直線は定まるが,楕円線分PQ は1つには定まらない.右図のように,弧PRQ,弧PPQと2つある.
とりあえずここでは,Pの対蹠点Pを含まない弧PRQを考える.

次に,楕円平面における,角と長さを定義する.
球面幾何における,2つの大円のなす角は,交点における接線のなす角で定義する. 楕円幾何ではこれをそのまま利用する. 楕円幾何において,2つの楕円直線のなす角は,交点における,楕円直線のなす角で定義する.
この定義の妥当性は,極射影が角度を保つことより得られし(空間における反転変換参照),第1基本形式よりも導かれることはすでに述べた.
次に楕円線分PQの長さを定義する.
現在考えている球の半径は1である.
球面幾何で半径1の大円弧PQの長さは,弧PQの中心角すなわち球の中心をOとするとき POQで定める.この定義を 楕円幾何に持ち込む.
球面において,大円弧PQを赤道上におくと見やすい.Pを通り赤道に垂直な大円(要するに経線)および Qを通り赤道に垂直な大円を引き,その交点をN,Sとする.
球の中心をOとすると,
PQの長さ=POQ
=平面NPOと平面NQOのなす角
=NPと弧NQのなす角
このことより,楕円幾何では楕円線分PQの長さは次のようになる.
楕円線分PQP,QにおいてそれぞれPQに垂直な楕円直線を引き,その交点の片方をNとする.
楕円線分NP,NQのなす角θを楕円線分PQの長さと定める.

Nの対蹠点をSとする. N,Sを楕円直線PQの極と呼ぶ.
楕円直線PQと基礎円Σとの交点をA,Bとする.
楕円直線AB上の任意の点Xにおける,ABに垂直な楕円直線は必ずABの極N,Sを通る.
それは,球面上で考えれば,赤道上の任意の点を通る経線が必ず北極,南極を通ることであるが, 楕円幾何では次のように示せばよい.
楕円直線ABである円の中心をO半径をRとする.
N,Sは円Oに垂直な2円の交点より
NI(O,R2)S ()
N,Sは円Σの直径の両端を通る2円の交点であるから
NI(O,R2)S  ()
である.
I(O,R2),I(O,R2):NS
であるから,N,Sを通る円は円Oと直交し,基礎円Σの直径の2点で交わる.円Oの任意の 点Xで円Oと直交する楕円直線はただ一つであるから必ずN,Sを通る.

注意
基礎円をΣ,基礎円の半径をR,中心をOとする.
基礎円内の点Aを通るすべての楕円直線(Σと直交するユークリッド円)は必ず対蹠点Aを通る.ちなみに
AI(O,R2)A
である.ここで,AAは同じ点と考える(2点A,Aを通る直線を点と考えてもよい). このようにすると,基礎円Σの内部,およびΣ 上は直径の両端が同じ点であるから,Σの半円およびその両端の片方だけを考えるとこになる.
ここで考える幾何学を通常楕円幾何学と呼んでいるが本稿ではこの立場はとっていない.


次に,球面において大円に関する対称変換は,楕円平面ではどうなるかを調べよう.
大円を赤道にとり,2点P,Qが赤道に関して対称とする.
2点P,Qを通る小円は赤道と直交する.見方を変えれば,Pを通り赤道と直交する小円は必ず点Q を通るとなる.
極射影で小円(球面と平面の交線)の像は円であり,角は保たれるから, 楕円平面において,点Qは大円の像を反転円とする反転変換のPの像である.

次に円を考える.これは1点Aを与えたとき,Aと一定の距離の点Pの軌跡である.
球面で考えれば,小円であり,極射影で円の像は円であるから楕円平面でもユークリッド平面とみたときの 円である.
このままでは,円の中心が分かりづらいので,楕円平面上で,点Aの一定の距離の点Pの軌跡という定義よ り求めよう.
楕円平面上に1点Aを与える.
基礎円Σの中心をO,半径をRとすると
A
AI(O,R2)A
で定めると,Aを通る楕円直線は,2点A,Aを通るユークリッド円である. これらのユークリッド円全体をΓとする.
Pを与えたとき,Γの元に関する楕円対称変換(反転変換)の軌跡が求めるものである.
(楕円対称変換で2点間の距離は変えず,点Aは不動点)
一方ユークリッド直線AA上の点を中心とするΓに属する1つの円に垂直なユークリッド円は Γの全ての円に垂直である(Oを直線AA上の点とする.Oより2楕円直線C1,C1 に引いた接線をOT1,OT2とすると,OT21=OAOA=OT2).
このユークリッド直線AA上の点を中心とするΓに直交するユークリッド円が, 楕円平面における中心がAである円である.この円を楕円円と呼ぶ.
実際C1Aを通る楕円直線とする.楕円円AC1と直交するから,C1を反転円とする反転変換で楕円円 Aの像は楕円円Aである.これが任意のAを通る楕円直線で成り立つ.

§1.3 楕円幾何の変換

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