§1.2楕円幾何
準備が整ったので,楕円平面E
E={(u,v)∈R2|I=16(du2+dv2)(4+u2+v2)2}
おける幾何学を行う.なお,1章のみ一部反転変換の知識が必要なところがあります.それは反転変換を参考にしてください.
球面の赤道の像は,原点を中心とする半径2の円である.この円を楕円平面Eの基礎円と呼びΣとする.
楕円平面における直線に対応するのは球面上の大円である.球面上の2つの大円の交点はそれぞれの大円の直径の両端である.
さらに極射影で円の像は円であるから(直線は円の一部と考える),
基礎円Σの直径の両端となる2点を通る円が楕円平面の直線である.この円を楕円直線と呼ぶ.
なお,楕円幾何はR2で考えるのでユークリッド幾何の知識もしばしば用いる.
ユークリッド幾何で用いる図形はユークリッドを付け,ユークリッド直線,
ユークリッド垂直二等分線,ユークリッド垂線,・・・と呼ぶ.
円の直径の両端を通る円の作図法を考える.
円Cが円Σ(中心をO,半径Rとする)の直径の両端A,Bを通る円とする.
Oを通るユークリッド直線と円Cとの交点をP,Qとする.
注意
基礎円をΣ,基礎円の半径をR,中心をOとする.
基礎円内の点Aを通るすべての楕円直線(Σと直交するユークリッド円)は必ず対蹠点A∗を通る.ちなみに
AI(O,−R2)⟼A∗
である.ここで,AとA∗は同じ点と考える(2点A,A∗を通る直線を点と考えてもよい).
このようにすると,基礎円Σの内部,およびΣ
上は直径の両端が同じ点であるから,Σの半円およびその両端の片方だけを考えるとこになる.
ここで考える幾何学を通常楕円幾何学と呼んでいるが本稿ではこの立場はとっていない.
次に,球面において大円に関する対称変換は,楕円平面ではどうなるかを調べよう.
大円を赤道にとり,2点P,Qが赤道に関して対称とする.
2点P,Qを通る小円は赤道と直交する.見方を変えれば,Pを通り赤道と直交する小円は必ず点Q
を通るとなる.
極射影で小円(球面と平面の交線)の像は円であり,角は保たれるから,
楕円平面において,点Qは大円の像を反転円とする反転変換のPの像である.
次に円を考える.これは1点Aを与えたとき,Aと一定の距離の点Pの軌跡である.
球面で考えれば,小円であり,極射影で円の像は円であるから楕円平面でもユークリッド平面とみたときの
円である.
このままでは,円の中心が分かりづらいので,楕円平面上で,点Aの一定の距離の点Pの軌跡という定義よ
り求めよう.
楕円平面上に1点Aを与える.
基礎円Σの中心をO,半径をRとすると
点A∗を
AI(O,−R2)⟼A∗
で定めると,Aを通る楕円直線は,2点A,A∗を通るユークリッド円である.
これらのユークリッド円全体をΓとする.
点Pを与えたとき,Γの元に関する楕円対称変換(反転変換)の軌跡が求めるものである.
(楕円対称変換で2点間の距離は変えず,点Aは不動点)
一方ユークリッド直線AA∗上の点を中心とするΓに属する1つの円に垂直なユークリッド円は
Γの全ての円に垂直である(O′を直線AA∗上の点とする.O′より2楕円直線C1,C1
に引いた接線をO′T1,O′T2とすると,O′T21=O′A⋅O′A∗=O′T2).
このユークリッド直線AA∗上の点を中心とするΓに直交するユークリッド円が,
楕円平面における中心がAである円である.この円を楕円円と呼ぶ.
実際C1をAを通る楕円直線とする.楕円円AはC1と直交するから,C1を反転円とする反転変換で楕円円
Aの像は楕円円Aである.これが任意のAを通る楕円直線で成り立つ.
§1.3 楕円幾何の変換
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