$\S1.2$楕円幾何
準備が整ったので，楕円平面$E$
$E=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2|I=\dfrac{16(du^2+dv^2)}{(4+u^2+v^2)^2}\}$
おける幾何学を行う．なお，1章のみ一部反転変換の知識が必要なところがあります．それは反転変換を参考にしてください．
球面の赤道の像は，原点を中心とする半径$2$の円である．この円を楕円平面$E$の基礎円と呼び$\Sigma$とする．
楕円平面における直線に対応するのは球面上の大円である．球面上の2つの大円の交点はそれぞれの大円の直径の両端である．
さらに極射影で円の像は円であるから（直線は円の一部と考える），
基礎円$\Sigma$の直径の両端となる2点を通る円が楕円平面の直線である．この円を楕円直線と呼ぶ．
なお，楕円幾何は$\mathbb{R}^2$で考えるのでユークリッド幾何の知識もしばしば用いる．
ユークリッド幾何で用いる図形はユークリッドを付け，ユークリッド直線，
ユークリッド垂直二等分線，ユークリッド垂線，・・・と呼ぶ．
円の直径の両端を通る円の作図法を考える．
円$C$が円$\Sigma$(中心を$O$,半径$R$とする)の直径の両端$A,B$を通る円とする．
$O$を通るユークリッド直線と円$C$との交点を$P,Q$とする．
このとき，方べきの定理より
$OP\cdot OQ=OA\cdot OB$
$=-R^2\cdots (1)$
一方円$\Sigma $を反転円とする反転変換$I(O,R^2)$で
$I(O,R^2):P\mapsto Q^*$
とすると
$OP\cdot OQ^*=R^2\cdots (2)$
$(1),(2)$より
$\overrightarrow{OQ^*}=-\overrightarrow{OQ}$
したがって，$P\mapsto Q$は
$O$を中心とする対称移動を$f$とすれば
$P\stackrel{I(O,R^2)}{\mapsto}Q^*\stackrel{f}{\mapsto}Q$
である．
ここで定義した$f\circ I(O,R^2)$を点$O$を反転変換の中心，べき$-R^2$の反転変換といい$I(O,-R^2)$
と表す．べきが負の時，べきが正の反転変換と点対称変換の合成で表せるから，
反転変換の持つ性質はべきが負でも成り立つことが分かる，
以上のことより，点$P$を通る楕円直線は，点$Q$を
$P\stackrel{I(O,-R^2)}{\longmapsto}Q$
で定めれば，必ず点$Q$を通り逆も成り立つ．
たとえば，2点$P,R$を通る楕円直線は，
$P\stackrel{I(O,-R^2)}{\longmapsto}Q$
で$Q$を定めたときの3点$P,Q,R$を通る円である．
点$P$において方向ベクトル$\overrightarrow{v}$の楕円直線は$P$において，$\overrightarrow{v}$
と垂直なユークリッド直線と$PQ$のユークリッド垂直2等分線の交点を中心とする点$P$を通る円である(上図)．
$P\stackrel{I(O,-R^2)}{\mapsto}Q$
のとき，$P$を通る楕円直線は必ず点$Q$を通る．球面で2つの大円の交点は対蹠点であるから，楕円幾何でもその用語を用い，点$Q$を点$P$の対蹠点と呼ぶ．
もちろん$Q$が$P$の対蹠点なら$P$は$Q$の対蹠点である．
楕円平面に対蹠点でない2点$P,Q$を与えると，ただ一つの楕円直線は定まるが，楕円線分$PQ$
は1つには定まらない．右図のように，弧$PRQ$,弧$PP^*Q$と２つある．
とりあえずここでは，$P$の対蹠点$P^*$を含まない弧$PRQ$を考える．
次に，楕円平面における，角と長さを定義する．
球面幾何における，2つの大円のなす角は，交点における接線のなす角で定義する．
楕円幾何ではこれをそのまま利用する．
楕円幾何において，2つの楕円直線のなす角は，交点における，楕円直線のなす角で定義する．
この定義の妥当性は，極射影が角度を保つことより得られし(空間における反転変換参照)，第1基本形式よりも導かれることはすでに述べた．
次に楕円線分$PQ$の長さを定義する．
現在考えている球の半径は$1$である．
球面幾何で半径$1$の大円弧$PQ$の長さは，弧$PQ$の中心角すなわち球の中心を$O$とするとき
$\angle POQ$で定める．この定義を
楕円幾何に持ち込む．
球面において，大円弧$PQ$を赤道上におくと見やすい．$P$を通り赤道に垂直な大円(要するに経線)および
$Q$を通り赤道に垂直な大円を引き，その交点を$N,S$とする．
球の中心を$O$とすると，
弧$PQ$の長さ$=\angle POQ$
$=$平面$NPO$と平面$NQO$のなす角
$=$弧$NP$と弧$NQ$のなす角
このことより，楕円幾何では楕円線分$PQ$の長さは次のようになる．
楕円線分$PQ$の$P,Q$においてそれぞれ$PQ$に垂直な楕円直線を引き，その交点の片方を$N$とする．
楕円線分$NP,NQ$のなす角$\theta$を楕円線分$PQ$の長さと定める．
$N$の対蹠点を$S$とする．
$N,S$を楕円直線$PQ$の極と呼ぶ．
楕円直線$PQ$と基礎円$\Sigma$との交点を$A,B$とする．
楕円直線$AB$上の任意の点$X$における，$AB$に垂直な楕円直線は必ず$AB$の極$N,S$を通る．
それは，球面上で考えれば，赤道上の任意の点を通る経線が必ず北極，南極を通ることであるが，
楕円幾何では次のように示せばよい．
楕円直線$AB$である円の中心を$O'$半径を$R'$とする．
$N,S$は円$O'$に垂直な2円の交点より
$N\stackrel{I(O',R'^2)}{\longmapsto}S \ \cdots (\sharp)$
$N,S$は円$\Sigma$の直径の両端を通る2円の交点であるから
$N\stackrel{I(O,-R^2)}{\longmapsto}S \ \ \cdots (\flat)$
である．
$I(O,-R^2),I(O',R'^2):N\mapsto S$
であるから，$N,S$を通る円は円$O'$と直交し，基礎円$\Sigma $の直径の2点で交わる．円$O'$の任意の
点$X$で円$O'$と直交する楕円直線はただ一つであるから必ず$N,S$を通る．
注意
基礎円を$\Sigma$,基礎円の半径を$R$，中心を$O$とする．
基礎円内の点$A$を通るすべての楕円直線($\Sigma$と直交するユークリッド円)は必ず対蹠点$A^*$を通る．ちなみに
$A\stackrel{I(O,-R^2)}{\longmapsto}A^*$
である．ここで，$A$と$A^*$は同じ点と考える(2点$A,A^*$を通る直線を点と考えてもよい)．
このようにすると，基礎円$\Sigma$の内部，および$\Sigma$
上は直径の両端が同じ点であるから，$\Sigma$の半円およびその両端の片方だけを考えるとこになる．
ここで考える幾何学を通常楕円幾何学と呼んでいるが本稿ではこの立場はとっていない．
次に，球面において大円に関する対称変換は，楕円平面ではどうなるかを調べよう．
大円を赤道にとり，2点$P,Q$が赤道に関して対称とする．
2点$P,Q$を通る小円は赤道と直交する．見方を変えれば，$P$を通り赤道と直交する小円は必ず点$Q$
を通るとなる．
極射影で小円(球面と平面の交線)の像は円であり，角は保たれるから，
楕円平面において，点$Q$は大円の像を反転円とする反転変換の$P$の像である．
次に円を考える．これは1点$A$を与えたとき，$A$と一定の距離の点$P$の軌跡である．
球面で考えれば，小円であり，極射影で円の像は円であるから楕円平面でもユークリッド平面とみたときの
円である．
このままでは，円の中心が分かりづらいので，楕円平面上で，点$A$の一定の距離の点$P$の軌跡という定義よ
り求めよう．
楕円平面上に1点$A$を与える．
基礎円$\Sigma$の中心を$O$,半径を$R$とすると
点$A^*$を
$A\stackrel{I(O,-R^2)}{\longmapsto}A^*$
で定めると，$A$を通る楕円直線は，2点$A,A^*$を通るユークリッド円である．
これらのユークリッド円全体を$\Gamma$とする．
点$P$を与えたとき，$\Gamma$の元に関する楕円対称変換(反転変換)の軌跡が求めるものである．
（楕円対称変換で2点間の距離は変えず，点$A$は不動点）
一方ユークリッド直線$AA^*$上の点を中心とする$\Gamma$に属する1つの円に垂直なユークリッド円は
$\Gamma$の全ての円に垂直である($O'$を直線$AA^*$上の点とする．$O'$より２楕円直線$C_1,C_1$
に引いた接線を$O'T_1,O'T_2$とすると，$O'T_1^2=O'A\cdot O'A^*=O'T_2$).
このユークリッド直線$AA^*$上の点を中心とする$\Gamma$に直交するユークリッド円が，
楕円平面における中心が$A$である円である．この円を楕円円と呼ぶ．
実際$C_1$を$A$を通る楕円直線とする．楕円円$A$は$C_1$と直交するから，$C_1$を反転円とする反転変換で楕円円
$A$の像は楕円円$A$である．これが任意の$A$を通る楕円直線で成り立つ．
§1.3 楕円幾何の変換
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