さて，曲線の加速度ベクトルを求めるとき，定義に従えばベクトルの平行移動が必要だと述べました．
曲面に接続(共変微分)が定義されたので，接続を用いて異なる点を始点とする平行性を定め， その定義にしたがって微分をしたとき，すでに定義した共変微分商と一致することを示す．
まず$\mathbb{R}^2$において，曲線$C:(u^1(t),u^2(t))$上のベクトル場
$X(u^1(t),u^2(t))=(a(t),b(t))$
が平行ベクトルでかつ大きさが等しいなら$a(t),b(t)$がそれぞれ定数であるから
$\dfrac{d}{dt}X(t)=(a'(t),b'(t))=0$
である．この考え方がもとになっている．

曲面
$\boldsymbol{f}:U(\in \mathbb{R}^2) \to \mathbb{R}^3;(u^1,u^2)\mapsto \boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
で考える．
曲面$\boldsymbol{f}$上の曲線
$C:(u^1(t),u^2(t))=\boldsymbol{f}(u^1(t)u^2(t)),t\in (a,b)$
が与えられている，
各$t\in (a,b)$において，曲線$C$上の点$\boldsymbol{f}(u^1(t),u^2(t))$における曲面$\boldsymbol{f}$の接ベクトル $X(t)$を対応させる． この曲線$C$上で定義されたベクトル場$X(t)$を曲線$C$に沿ったベクトル場と呼ぶ．
曲線$C$に沿ったベクトル場$X$は$\mathbb{R}^3$で考えれば
$X(t)=(X_x(t),X_y(t),X_z(t))$
と成分表示し
$\dfrac{dX(t)}{dt}=(X_x'(t),X_y'(t),X_z'(t))$
一方曲面$\boldsymbol{f}$の接ベクトル$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$を用いて表すと
$X(t)=X^i(t)\boldsymbol{f}_i$
より
$\dfrac{dX(t)}{dt}=\dfrac{dX^i(t)}{dt}\boldsymbol{f}_i+X^i(t)\dfrac{d\boldsymbol{f}_i}{dt}$
ここで
$\dfrac{d\boldsymbol{f}_i}{dt}=\boldsymbol{f}_{ij}\dfrac{du^j}{dt}$
であるから
$=\dfrac{dX^i(t)}{dt}\boldsymbol{f}_i+X^i\boldsymbol{f}_{ij}\dfrac{du^j}{dt}$
$=\dfrac{dX^i(t)}{dt}\boldsymbol{f}_i+X^i(t)(\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n})\dfrac{du^j}{dt}$
$=(\dfrac{dX^k(t)}{dt}+X^i(t)\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt})\boldsymbol{f}_k+X^i(t)b_{ij}\dfrac{du^j}{dt}\boldsymbol{n}$
$\dfrac{dX(t)}{dt}$の接ベクトル平面への正射影を$\dfrac{DX(t)}{dt}$と表すと
$\dfrac{DX(t)}{dt}=(\dfrac{dX^k(t)}{dt}+X^i(t)\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt})\boldsymbol{f}_k\cdots (*)$
ちなみに，$U$上の曲線$(u^1(t),u^2(t))$の接ベクトルを
$Y(t)=(u^1)'(t)\boldsymbol{f}_1+(u^2)'(t)\boldsymbol{f}_2$
とおくと
$\dfrac{DX(t)}{dt}=D_{Y(t)}X(t)$
である．実際
$D_{Y(t)}X(t)=D_{(u^i)'(t)\boldsymbol{f}_i}(X^j(t)\boldsymbol{f}_j)$
$=(u^i)'(t)D_{\boldsymbol{f}_i}(X^j(t)\boldsymbol{f}_j)$
$=(u^i)'(t)\dfrac{\partial X^k(t)}{\partial u^i}\boldsymbol{f}_k+(u^i)'(t)X^j(t)\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k$
$=(\dfrac{dX^k(t)}{dt}+X^i(t)\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt})\boldsymbol{f}_k$

定義
$(*)$で定義した曲線$C$に沿ったベクトル場$\dfrac{DX(t)}{dt}$を曲線$C$に 沿ったベクトル場の曲線$C$に沿った共変微分という．

曲線に沿った共変微分$\frac{DX(t)}{dt}$が曲面の媒介変数の取り方によらないことを確認しよう．
これは
$\dfrac{DX(t)}{dt}=(\dfrac{dX(t)}{dt})^T$
で，$\frac{dX(t)}{dt}$は$\mathbb{R}^3$での成分ごとに微分したもので， それを接平面へ正射影したものであるからである．

定義
曲線$C$に沿うベクトル場$X(t)$のこの曲線に沿った共変微分$\frac{DX(t)}{dt}$が
$\dfrac{DX(t)}{dt}=0$
を満たすとき，$X(t)$を曲線$C$に沿った平行ベクトル場という．

平行ベクトル場の性質を調べる．
$1.$
ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$では
$b_{ij}=0$であるから
$\dfrac{DX(t)}{dt}=\dfrac{dX(t)}{dt}$
さらに$\Gamma _{ij}^k=0$であるから
$\dfrac{DX(t)}{dt}=\dfrac{dX^k(t)}{dt}\boldsymbol{f}_k$
したがって，
$X(t)=(X^1(t),X^2(t))$が平行ベクトル場$\Leftrightarrow ((X^1)'(t),(X^2)'(t))=(0,0)$
で$X(t)$は定ベクトルである．これは平面上の平行ベクトル場と一致する．

$2.$
$X(t),Y(t)$が曲線$C$に沿ったベクトル場の時
$\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot Y(t))=\dfrac{dX(t)}{dt}\cdot Y(t)+X(t)\cdot \dfrac{dY(t)}{dt}$
$=\dfrac{DX(t)}{dt}\cdot Y(t)+X(t)\cdot \dfrac{DY(t)}{dt}$
より
$X(t),Y(t)$が曲線$C$に沿った平行ベクトル場の時
$\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot X(t))=0,\dfrac{d}{dt}(Y(t)\cdot Y(t))=0,\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot Y(t))=0$
であるから
$|X(t)|,|Y(t)|,X(t)\cdot Y(t)$は一定である．したがって$X(t),Y(t)$のなす角も一定である．

$3.$
曲線$C$が測地線$\Leftrightarrow C$の接ベクトル場が曲線$C$に沿って平行
が成り立つ．
実際，$X(t)=X^i(t)\boldsymbol{f}_i$のとき
$\dfrac{DX(t)}{dt}=(\dfrac{dX^k(t)}{dt}+X^i(t)\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt})\boldsymbol{f}_k$
であり，
$X(t)=(u^i)'(t)\boldsymbol{f}_i=\dfrac{du^i}{dt}\boldsymbol{f}_i$
であるから
接ベクトル場が$C$に沿って平行
$\Leftrightarrow \ \dfrac{d^2u^k}{dt^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0,(k=1,2)$
右辺は測地線の方程式である．

曲線に沿ったベクトル場の平行性が定義できたので， これを利用して微分の定義にしたがってベクトル場を微分し， その結果がすでに定義した共変微分と一致することを示す．
曲線$C:u^1=u^1(t),u^2=u^2(t)$の点$(u^1(t),u^2(t))$を$C(t)$と表す． すなわち
$\boldsymbol{f}(u^1(t),u^2(t))=C(t)$
である．
曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t)=X^1(t)\boldsymbol{f}_1+X^2(t)\boldsymbol{f}_2$
が平行ベクトル場であるための微分方程式は
$\dfrac{dX^k(t)}{dt}+X^i(t)\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^j}{dt}=0, \ \ (k=1,2)$
である．この微分方程式は，初期条件を与えればただ一つの解が存在することが知られている．
したがって， $C(t_0)$におけるベクトル$(X^1(t_0),X^2(t_0))$を与えれば曲線$C$に沿った 平行ベクトル場$V(t)$が定まることを示している．
$C(t_0)$における接ベクトル$X(t_0)$の$C$に沿った平行ベクトル場を$X(t)$とし
$C(t_0)$における接ベクトル$X(t_0)$の曲線$C$に沿った$C(t)$への平行移動を
$\mathcal{P}_{t_0}^t:X(t_0)\mapsto X(t)$
と表す．
命題
曲線$C:(u^1(t)u^2(t))$をベクトル場$X$の積分曲線,$Y$をベクトル場とする．
ベクトル場$Y$の$X$による共変微分商$D_XY$の$C(t_0)$におけるベクトルは
$\displaystyle (D_XY)(C(t_0)) =\lim_{h\to 0}\dfrac{(\mathcal{P}_{t_0}^{t_0+h})^{-1}Y(t_0+h)-Y(t_0)}{h}$
を満たす．ただし，$\mathcal{P}_{t_0}^{t_0+h}$は$C(t_0)$から$C(t_0+h)$への曲線$C$に沿ったベクトルの平行移動．

証明
曲線$C$に沿った1次独立な平行ベクトル場をとり，それを$E_1(t),E_2(t)$とする．
$E_i(t)$は
$D_{X(t)}E_i(t)=0$
を満たす．
$Y(t)=Y^i(t)E_i(t)$
とおく．
$D_{X(t)}Y(t)=D_{X(t)}(Y^i(t)E_i(t))=(d_{X(t)}Y^i(t))E_i(t)=\dfrac{dY^i(t)}{dt}E_i(t)$
次に，曲線$C$に沿った平行ベクトル場$Z(t)=Z^i(t)E_i(t)$とすると$Z^i(t)$は定数である．
したがって，
$(\mathcal{P}_{t_0}^{t_0+h})^{-1}(Y^i(t_0+h)E_i(t_0+h))=Y^i(t_0+h)E_i(t_0)$.
であるから
$\dfrac{(\mathcal{P}_{t_0}^{t_0+h})^{-1}Y(t_0+h)-Y(t_0)}{h}$
$=\dfrac{Y^i(t_0+h)-Y^i(t_0)}{h}E_i(t_0)$
$=\dfrac{dY^i}{dt}(t_0)E_i(t_0) \ \ \ (h\to 0)$
$=(D_XY)(C(t_0))$

§3.4 平行ベクトル場の角度差

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