次にテンソルの縮約を学ぶ．これは，テンソル場の共変微分の定義に用いるので，避けては通れません．
まず，縮約の例を挙げます．
例1
$V$をベクトル空間，$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$を$V$の基底，$\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$をその双対基底とする．
線形変換
$f:V\to V$
は$(1,1)$型のテンソルで，成分$\{f^j_i\}$は
$f(\boldsymbol{e}_i)=f^j_i\boldsymbol{e}_j$
で与えられる．
一方，$f$より定まる 双線形写像$F$を
$F:V^*\times V \to \mathbb{R};(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{v})\mapsto \boldsymbol{\alpha} (f(\boldsymbol{v}))$
で定義すると
$F(\boldsymbol{e}^j,\boldsymbol{e}_i)=\boldsymbol{e}^j(f(\boldsymbol{e}_i))=f^j_i$
成分が等しいので$f,F$は同じ$(1,1)$型のテンソルである．
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i$のとき
$f(\boldsymbol{v})=v^if^j_i\boldsymbol{e}_j$
であるから
$\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}f^1_1&f^1_2&f^1_3\\f^2_1&f^2_2&f^2_3\\f^3_1&f^3_2 &f^3_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v^1\\v^2\\v^3\end{pmatrix}$
線形変換$f$を基底を用いて表した行列の対角成分の和(トレース)は
$f^1_1+f^2_2+f^3_3(=f^i_i)$
この値は
$\displaystyle \sum_{i=1}^3F(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_i)$
と表すことができる．
$(1,1)$型のテンソル$F$のトレースは$F(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_i)$である．
線形変換の行列表現したときのトレースは，基底変換しても変わらない量すなわち線形変換$f$の不変量である．
実際,別の基底で線形変換$f$が
$\bar{f}^k_l$
となるとき，基底変換の行列$\{a^i_j\}$およびその逆行列$\{b^i_j\}$を用いて
$\bar{f}^k_l=f^i_jb_i^ka_l^j$
となる．
このとき
$\bar{f}^t_t=f^i_ja^t_ib^j_t=f^i_i$

例2
$V$をベクトル空間，$\{\boldsymbol{e}_i\}$をその基底とする．
$\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{\alpha} \in V^*$とする．
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{\alpha} =\alpha _j\boldsymbol{e}^j$のとき
$\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})=\alpha _iv^i$
一方$(1,1)$型テンソル$T=\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{\alpha} $において
$T=v^i\alpha _j\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j$
であり
$\displaystyle \sum_{i=1}^3T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_i)=v^i\alpha _i=\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})$
となる．
すなわち，$\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})$は$T=\boldsymbol{\alpha} \otimes \boldsymbol{v}$としたときの$T(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}_i)$ で，この値が基底によらないことは例1で示している．

テンソルの第$p$反転成分と第$q$共変成分の縮約を表す作用素を$C^p_q$とする．
ここでは$(3,2)$型のテンソルで説明する．
テンソル$T$が$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V,\boldsymbol{\alpha} ,\boldsymbol{\beta} \in V^*$を用いて
$T=\boldsymbol{u}\otimes \boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{w}\otimes \boldsymbol{\alpha} \otimes \boldsymbol{\beta}$
表せるとき
$C^2_1(T)=\boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{v})\boldsymbol{u}\otimes \boldsymbol{w}\otimes \boldsymbol{\beta}$
である．
縮約は$(3,2)$型を$(2,1)$型に変換する．$C^3_2$はテンソルの第3反変成分と第2共変成分を 取り出して作用させたものである．
この作用を，$V$の基底$\{\boldsymbol{e}_i\}$を用いて表す．
$\boldsymbol{u}=u^i\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{v}=v^j\boldsymbol{e}_j,\boldsymbol{w}=w^k\boldsymbol{e}_k,\boldsymbol{\alpha} =\alpha _s\boldsymbol{e}^s,\boldsymbol{\beta} =\beta _t\boldsymbol{e}^t$
のとき
$T=u^i\boldsymbol{v}^jw^k\alpha _s\beta _t\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^s\otimes \boldsymbol{e}^t$
$=T^{ijk}_{st}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^s\otimes \boldsymbol{e}^t$
である．このとき
$C^2_1(T)=u^iv^xw^k\alpha _x\beta _t\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^t =T^{ixk}_{xt}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^t\cdots (\sharp)$
$(\sharp)$は
$C^2_1(T)=T(\cdot,\boldsymbol{e}^x,\cdot ,\boldsymbol{e}_x,\cdot)$
としてもよい(例2参照)．実際
$\displaystyle \sum_{x=1}^3 u^iv^jw^k\alpha _s\beta _t\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^s\otimes \boldsymbol{e}^t( \ \cdot \ ,\boldsymbol{e}^x \ , \ \cdot \ , \ \boldsymbol{e}_x \ , \ \cdot \ )$
$=(u^iv^xw^k\alpha _x\beta _t)\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_k\otimes \boldsymbol{e}^t$
である．
縮約についてまとめると次のようになる．

次に，内積$(\cdot ,\cdot )$を定めたベクトル空間$V$を考える．
内積を定めたベクトル空間をユークリッド空間という．それは，内積があれば，シュミットの直交化により正規直交基底
$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$が定まり,
$\boldsymbol{v}\to \mathbb{R}^3,v^1\boldsymbol{e}_1+v^2\boldsymbol{e}_2+v^3\boldsymbol{e}_3\mapsto (v^1,v^2,v^3)$
が内積を保つ同型写像であり，この対応でベクトル空間と$\mathbb{R}^3$が同一視できるからです．
すでに，$V$と$V^{**}$は内在的な同型写像が存在して，その写像によって$V$と$V^{**}$を同一視した．
ここでは，$V$に内積が定めてあれば，$V$と$V^*$に内在的な同型写像(基底を用いない同型写像)が存在することを示し，さらに $V$の元と$V^*$の元の対応を調べる．
内積$(\cdot , \cdot )$は$V\times V$上の双線形写像であるから$V$上の２階の共変テンソルである．
内積を$g$で表し，$V$の基底を$\{\boldsymbol{e}_i\}$とするときの$g$の成分を$\{g_{ij}\}$すなわち
$g(\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_j)=g_{ij}$
とする．このとき
$g=g_{ij}\boldsymbol{e}^i\otimes \boldsymbol{e}^j$

$g$を計量テンソルという．$g$の成分より決まる行列$(g_{ij})$は
$\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$に対して
$g(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=g(\boldsymbol{w},\boldsymbol{v})$
$g(\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})\geqq 0$等号が成り立つのは$\boldsymbol{v}=0$に限る
であるので，正値対称行列，すなわち逆行列を持つ．
行列$(g_{ij})$の逆行列を$(g^{ij})$とする．

$h:V \to V^*$
を,$\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$に対して
$h(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w})=g(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$
によって定義する．ここで，$h$は内在的な定義，すなわち定義に基底を用いていないことに注意する．
$h$が同型であることを示す．
$h$が線形写像であることは，$g$が双線形写像よりわかる．
$\dim V=\dim V^*$より，$h$が1対1か上への写像のいずれかを示せばよいが，1対1を示す．
$V$の基底を$\{\boldsymbol{e}_i\}$とする．
$h(\boldsymbol{e}_i)=h_{ik}\boldsymbol{e}^k$
と置くと
$h_{ij}=(h_{ik}\boldsymbol{e}^k)(\boldsymbol{e}_j)=g(\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{e}_j)=g_{ij}$
したがって
$h(\boldsymbol{e}_i)=g_{ij}\boldsymbol{e}^j$
線形拡張し
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i$のとき
$h(\boldsymbol{v})=h(v^i\boldsymbol{e}_i)=v^ig_{ij}\boldsymbol{e}^j　\cdots (*)$
$h(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$のとき，
$g_{ij}v^i=0$
より任意の$i$で$v^i=0$
したがって，$h$は1対1である．
$h:V\to V^*$
が同型写像が示された．
さらに，$V^*$の内積$g'$を
$g'(\boldsymbol{e}^i,\boldsymbol{e}^j)=g^{ij}$
で定義する．このとき，行列$(g^{ij})$は正値対称行列より$V^*$の内積になる．
$g'=g^{ij}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j$
である．
任意の$\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$に対して
$g'(h(\boldsymbol{v}),h(\boldsymbol{w}))=g'(v^ig_{ik}\boldsymbol{e}^k,w^jg_{jl \boldsymbol{e}^l})$
$=v^iw^jg_{ik}g_{jl}g^{kl}$
$=v^iw^jg_{ij}=g(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$
したがって，
$h:(V,g)\to (V^*,g')$
は等長同型である． この写像により，$V$の元と$V^*$の元の同一視をする．
$h:V\to V^*$
で同一視するベクトルは等号で結ぶ． $V$の基底を$\{\boldsymbol{e}_i\}$,その双対基底を$\{\boldsymbol{e}^i\}$とする．
求めたように
$h(\boldsymbol{e}_i)=g_{ij}\boldsymbol{e}^j$
より
$\boldsymbol{e}_i=g_{ij}\boldsymbol{e}^j\cdots (1)$
$g^{ki}$を両辺にかけ
$g^{ki}\boldsymbol{e}_i=g^{ki}g_{ij}\boldsymbol{e}^j=\boldsymbol{e}^k$
添え字を$(1)$に合わせて
$\boldsymbol{e}^i=g^{ij}\boldsymbol{e}_j\cdots (2)$
$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol{e}_i=v_i\boldsymbol{e}^i$
とすると
$(1)$より
$v_i=v^jg_{ji}$
$(2)$より
$v^i=g^{ij}v_j$
テンソルの成分も同様である
$T=T^i_{ \ \ \ jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k= T^{ijk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j\otimes \boldsymbol{e}_k$
とする．
$T^i_{ \ \ \ jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k=T^i_{ \ \ \ jk}\boldsymbol{e}_i\otimes g^{js}\boldsymbol{e}_s\otimes g^{kt}\boldsymbol{e}_t$
$=T^i_{ \ \ \ st}g^{sj}g^{tk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}_j\otimes \boldsymbol{e}_k$
したがって
$T^{ijk}=T^i_{ \ \ \ st}g^{sj}g^{tk}$

$T=T^i_{ \ \ \ jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k= T_{ijk}\boldsymbol{e}^i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k$
とする．
$T^i_{ \ \ \ jk}\boldsymbol{e}_i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k=T^i_{ \ \ \ jk}g_{is}\boldsymbol{e}^s\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k$
$=T^s_{ \ \ \ jk}g_{si}\boldsymbol{e}^i\otimes \boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^k$ したがって
$T_{ijk}=T^s_{ \ \ \ jk}g_{si}$
となる．
まとめると次のようになる．