定義
曲面$S$上の曲線で，各点の測地曲率が$0$であるものをその曲面の測地線という．

曲線の曲率ベクトルは
$k(s)\boldsymbol{\beta} $ $=(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds})\boldsymbol{f}_k +b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}n$
であるから，その接平面への正射影が$0$より
測地線の方程式は
$\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \ \ (k=1,2)\cdots (\flat)$
である．ただし，$s$は弧長である．
ここで，測地線は$u^1u^2$平面上で考えていることに注目しましょう．すなわち，$\boldsymbol{f}$を定める式は関係なく， 関係しているのは$\boldsymbol{f}$より定まる$\Gamma _{ij}^k$です．
微分方程式$(\flat)$は２階の常微分方程式である．したがって，初期条件ととして
$s=s_0$のとき$(u^1(s_0)),u^2(s_0),(\frac{du^1}{ds}(s_0),\frac{du^2}{ds}(s_0))$
ただし$|\boldsymbol{f}_1\frac{du^1}{ds}(s_0)+\boldsymbol{f}_2\frac{du^2}{ds}(s_0)|=1$
を与えれば，言い方を変えれば，曲面上のある点$P_0(=P(s=s_0))$と$P_0$における単位接ベクトルを与えれば， $\delta$が存在して$(s_0-\delta,s_0+\delta)$で測地線が存在する．
さて，微分方程式$(\flat)$の解$\boldsymbol{f}(x^1(s),x^2(s))$は$s=s_0$では弧長変数ですが，$s\neq s_0$で 弧長変数であるかどうかを調べましょう．
$\dfrac{d}{ds}(\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}\cdot \dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds})$
$=2\dfrac{d^2\boldsymbol{f}}{ds^2}\cdot \dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}$
$=2\left(\boldsymbol{f}_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}+\boldsymbol{f}_k\dfrac{d^2u^k}{ds^2}\right)\cdot \boldsymbol{f}_i\dfrac{du^i}{ds}$
$=2(\dfrac{d^2u^k}{ds^2}+\Gamma _{ij}^k\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\boldsymbol{f}_k +b_{ij}\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}\boldsymbol{n})\cdot \boldsymbol{f}_i\dfrac{du^i}{ds}$
$=0$
すなわち$|\frac{d\boldsymbol{f}}{ds}|$は一定である．したがって$s=s_0$で弧長なら微分方程式$(\flat)$の解はいたるところで弧長である．

次に微分方程式$(\flat)$より$\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s))$が解であるなら， $a,b$が定数なら$\boldsymbol{f}(u^1(as+b),u^2(as+b))$も解である($(\flat)$に代入すれば$a^2$が外に出るだけ)．
$\boldsymbol{f}(u^1(s),u^2(s)),\boldsymbol{f}(u^1(as+b),u^2(as+b))$は同じ曲線で動く速さが変わるだけである．したがって，測地線は弧長の条件を外し次のように書くことができる．
命題
曲面$\boldsymbol{f}$上の任意の点$P$において，任意の方向にただ一つの測地線が存在する

例えば，球面を見るとよい．各点で方向を1つ定めれば大円が一つ決まる．

$\bullet$半測地座標系
曲面上で微分幾何を行うとき，曲面の媒介変数表示(座標系)を上手にとれば式が簡単になる場合が多い． しばしば使われるのが半測地座標系である．ここではその存在を示す．
半測地座標系とは，曲面の媒介変数表示
$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
で$u^1$座標曲線（通常$u^1$線という,$u^2$が一定の曲線）,$u^2$座標曲線が直交するものです．
この時，第1基本形式は
$I=E(du^1)^2+G(du^2)^2$
である．
この座標系を作る．
曲面上に曲線を一つ定め，それを$C$とする．
$C$の各点で，$C$と直交する測地線がただ一つ存在する．その全体を$\Sigma _1$とする．
すなわち，$\Sigma _1$は$C$に直交する測地線の族である．
つぎに，$\Sigma _1$に直交する曲線の族を$\Sigma _2$とする．$\Sigma _2$は曲線$C$を含む．
曲線$C$を含む開集合$U$を十分小さくとれば,$U$内のどの点も$\Sigma _1,\Sigma _2$のそれぞれただ一つの 曲線がその点を通る．$\Sigma _1$に属する曲線族を$u_1$座標曲線，$\Sigma _2$に属する曲線族を$u_2$座標曲線 とすれば，座標曲線は直交するから第１基本形式は
$I=E(du^1)^2+G(du^2)^2$
である．
ここで示した$u^1$座標曲線，$u^2$座標曲線による曲面の媒介変数表示を曲面の半測地座標系といい，$(u^1,u^2)$ を半測地座標という．

$\bullet$測地曲率のLiouvilleの公式
半測地座標系
$I=E(du^1)+G(du^2)^2$
の下で，曲線の測地曲率$k_g$を計算する．
ここで，$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$とする．すなわち
$\boldsymbol{e}_1=\dfrac{\boldsymbol{f}_1}{\sqrt{E}},\boldsymbol{e}_2=\dfrac{\boldsymbol{f}_2}{\sqrt{G}}$
この時，各点において,
$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{n}\}$
は右手系の正規直交基底をなすとする(必要なら$\boldsymbol{n}$の向きを変える)．
曲線$C$は弧長変数とする．曲線$C$の単位接ベクトル$\boldsymbol{\alpha}$と$\boldsymbol{e}_1$とのなす角を$\theta =\theta (s)$とすると
$\boldsymbol{\alpha} =\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2$
一方
$\boldsymbol{\alpha} =\dfrac{d\boldsymbol{f}}{ds}=\boldsymbol{f}_1\dfrac{du^1}{ds}+\boldsymbol{f}_2\dfrac{du^2}{ds}$
$=\sqrt{E}\dfrac{du^1}{ds}\boldsymbol{e}_1+\sqrt{G}\dfrac{du^2}{ds}\boldsymbol{e}_2$
より
$\sqrt{E}\dfrac{du^1}{ds}=\cos \theta ,\sqrt{G}\dfrac{du^2}{ds}=\sin \theta \cdots (\sharp)$
また
$\boldsymbol{e}_i\cdot \boldsymbol{e}_i=1,\boldsymbol{e}_1\cdot \boldsymbol{e}_2=0$
であるから
$\begin{cases} \dfrac{d\boldsymbol{e}_i}{ds}\cdot \boldsymbol{e}_i=0 \ (i=1,2)\\ \dfrac{d\boldsymbol{e}_1}{ds}\cdot \boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_1 \cdot \dfrac{d\boldsymbol{e}_2}{ds}=0\end{cases}\cdots (\flat)$
が成り立つ．
それでは測地曲率$k_g$を計算する．
$\boldsymbol{\alpha} =\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2$
より
$k\boldsymbol{\beta} =\dfrac{d\boldsymbol{\alpha} }{ds}$
$=\cos \theta \dfrac{d\boldsymbol{e}_1}{ds}+\sin \theta \dfrac{d\boldsymbol{e}_2}{ds} +(-\sin \theta \boldsymbol{e}_1+\cos \theta \boldsymbol{e}_2)\dfrac{d\theta }{ds}$
および
$\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{\alpha} =\boldsymbol{n}\times (\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2)$
$=\cos \theta \boldsymbol{e}_2-\sin \theta \boldsymbol{e}_1$
$(\flat)$より
$k_g=\dfrac{d\boldsymbol{\alpha} }{ds}\cdot (\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{\alpha})$
$=\boldsymbol{e}_2\cdot \dfrac{d\boldsymbol{e}_1}{ds}+\dfrac{d\theta}{ds}$
を得る．
さらに計算を続ける.
$\boldsymbol{e}_2\cdot \dfrac{d\boldsymbol{e}_1}{ds}=\boldsymbol{e}_2\cdot \dfrac{d}{ds}\dfrac{\boldsymbol{f}_1}{\sqrt{E}}$
$=\boldsymbol{e}_2\cdot (\dfrac{d}{ds}(\dfrac{1}{\sqrt{E}})\boldsymbol{f}_1+\dfrac{1}{\sqrt{E}}\dfrac{d\boldsymbol{f}_1}{ds})$
$=\dfrac{\boldsymbol{e}_2}{\sqrt{E}}\cdot \dfrac{d\boldsymbol{f}_1}{ds}$
$=\dfrac{\boldsymbol{e}_2}{\sqrt{E}}\cdot (\boldsymbol{f}_{1i}\dfrac{du^i}{ds})$
$=\dfrac{\boldsymbol{e}_2}{\sqrt{E}}\cdot (\Gamma_{1i}^k\boldsymbol{f}_k\dfrac{du^i}{ds})$
$\boldsymbol{e}_2$との内積に注意して
$=\dfrac{\boldsymbol{e}_2}{\sqrt{E}}\cdot(\Gamma _{1i}^2\boldsymbol{f}_2\dfrac{du^i}{ds})$
$=\sqrt{\dfrac{G}{E}}(\Gamma _{11}^2\dfrac{du^1}{ds}+\Gamma _{12}^2\dfrac{du^2}{ds})$
ここで
$\Gamma _{11}^2=-\dfrac{E_2}{2G},\Gamma _{12}^2=\dfrac{G_1}{2G}$ (§2.3参照)
ただし，
$E_i=\dfrac{\partial E}{du^i},G_i=\dfrac{\partial G}{du^i}$
$=\dfrac{1}{2\sqrt{EG}}(-E_2\dfrac{du^1}{ds}+G_1\dfrac{du^2}{ds})$
さらに$(\sharp)$より
$=\dfrac{1}{2\sqrt{EG}}(-E_2\dfrac{\cos \theta}{\sqrt{E}}+G_1\dfrac{\sin \theta}{\sqrt{G}})$
これでもいいが，通常は
$\dfrac{\partial \log E}{\partial u^1}=\dfrac{E_1}{E}$等を用い
$=-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial u^2}\cos \theta +\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u^1}\sin \theta$
したがって，測地曲率$k_g$は
$k_g=\dfrac{d\theta}{ds}-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial u^2}\cos \theta +\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u^1}\sin \theta$
である．この式をLiouvilleの式という.
Liouvilleの式を見てみよう．
なかなか複雑な式であるが，まず，測地曲率は内在量すなわち第1基本量だけで決まることが分かる．
次に座標曲線の測地曲率がすぐわかる．
$u^1$座標曲線は$\theta = 0$，$u^2$座標曲線は$\theta =\frac{\pi}{2}$であるので， $u^1$座標曲線，$u^2$座標曲線の測地曲率をそれぞれ$k_g(u^1-line),k_g(u^2-line)$とすると
$k_g(u^1-line)=-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial u^2}$
$k_g(u^2-line)=\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u^1}$
さらに，任意の曲線の$u$座標曲線とのなす角を$\theta (s)$とすれば,測地曲率$k_g$は
$k_g=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+k_g(u_1-line)\cos \theta (s)+k_g(u^2-line)\sin \theta (s)$
とみると見やすい．
さらに，平面曲線では$E=G=1$より
$k_g=\dfrac{d\theta (s)}{ds}$
より，通常の曲線の曲率です．

$\bullet$測地平行座標系
測地曲率のLiouvilleの公式を用いると，半測地座標をもう少し簡単にすることができる．
半測地座標は$u^1$座標曲線は測地線である．一方
$k_g(u^1-line)=-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial u^2}$
であるから$E$は$u^1$だけの関数であることがわかる．
すなわち
$E=E(u^1)$
ここで，$u^1$に代わる新しい変数$\bar{u}^1$を
$\dfrac{d\bar{u}^1}{du}=\sqrt{E(u^1)}$
で定義すると($\bar{u}^1$は$u^1$座標曲線の弧長)
$d\bar{u}^1=\sqrt{E(u^1)}du^1$
より第1基本形式は
$I=E(du^1)^2+G(u^1,u^2)(du^2)^2=(d\bar{u}^1)^2+\bar{G}(\bar{u}^1,u^2)(du^2)^2$
となる．
これを新しく
$I=E(du^1)^2+G(u^1,u^2)(du^2)^2$
とする．
$u^2$曲線についても手を加えよう．
最初に導入した曲線$C$を$u^1=0$とし
新しい変数$\bar{u}^2$を
$\dfrac{d\bar{u}^2}{du^2}=\sqrt{G(0,u^2)}$
で定義する．
このとき，新しい座標系$(u^1,\bar{u}^2)$による第1基本形式は,$G$を書き換えて
$I=(du^1)^2+\bar{G}(u^1,\bar{u}^2)(d\bar{u}^2)^2$
である．このとき，作り方より
$G(0,\bar{u}^2)=1$
である．
$\bar{u}^2$を新しく$u^2$とおき，新しく得られた座標系を測地平行座標系という．
局所的にではあるが，測地平行座標系が存在するするから，曲面上の議論は，第１基本形式が
$I=(du^1)^2+G(du^2)^2$
で議論すればよいことが分かる．
測地平行座標系についてまとめると次のようになる．
命題
曲面上の任意の点$P$に対して，$P$を含む十分小さな領域上に座標系$(u^1,u^2)$で次の条件を満たすものが存在する．
$P$の座標が$(0,0)$
第1基本形式が$I=(du^1)^2+G(u^1,u^2)(du^2)^2$
$G(0,u^2)=1$

命題の系
曲面上の任意の点$P$で，その点$P$において第１基本形式が
$I=(du^1)^2+(du^2)^2$
である$P$の周りの座標系$(u^1,u^2)$が存在する．

$\bullet$測地線の最短性
測地平行座標系を用いて，測地線の持つ2点間の最短性の性質を示すことができる．
命題
曲面の半測地座標系が定義できる十分小さな領域において，測地線はその上の任意の2点を結ぶ最短の曲線である．
証明
測地線を$C$とし，測地線族が$C$を含む測地平行座標系$(u^1,u^2)$をとる．（$C$に直交する曲線$C^*$をとり， 半測地座標系を作り，その後測地座標系にすればよい）
このとき，第1基本形式は
$I=(du^1)^2+G(du^2)^2$
である．
$C$上の2点を$A,B$について．
$A,B$の$u^1$座標をそれぞれ$a,b$とすると，$u^1$座標曲線は弧長より，測地線に沿った曲線$AB$の長さは
$\displaystyle \int_a^bdu^1=b-a$
一方，$A,B$を結ぶ任意の曲線を
$(u^1,u^2(u^1))$
と表すと，長さは
$\displaystyle \int_a^b\sqrt{1+(\dfrac{du^2}{du^1})^2}du^1\geqq \int_a^bdu^1=b-a$
等号が成り立つのは
$\dfrac{du^2}{du^1}\equiv 0$
すなわち測地線$C$の時である．
これは，局所的な性質であり，一般的には成り立たない．例えば，球面上の2点が対蹠点でないとき，2点を結ぶ大円弧は 2つあり，短い方が最短で，長い方は最短でない．

$\bullet $ガウス・ボンネの定理
ここまでくるとガウス・ボンネの定理も簡単な計算である．
使う内容を書いておくと
第1基本形式が
$I=E(du^1)2+G(du^2)^2$
のとき曲面上の測地曲率$k_g$は
$k_g=\dfrac{d\theta}{ds}-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial u^2}\cos \theta +\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u^1}\sin \theta$
である．したがって測地平行座標系
$I=du^2+Gdv^2$
では(以後この節では座標曲線は$(u,v)$を用いる)，
$k_g=\dfrac{d\theta}{ds}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial \log G}{\partial u}\sin \theta$
さらに，$\sqrt{G}\dfrac{dv}{ds}=\sin \theta$より
$=\dfrac{d\theta}{ds}+\dfrac{\sqrt{G}}{2}\dfrac{\partial \log G}{\partial u}\dfrac{dv}{ds}$
次節で示すことであるが，ガウス曲率$K$は第1基本量だけで表すことができ
$I=du^2+Gdv^2$のとき
$K(u,v)=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$
である．
曲面でのグリーンの定理．これは，単連結な領域$D$とその境界$\partial D$で
$\displaystyle \int_{\partial D}fdv=\iint_{D}\dfrac{\partial f}{\partial u}dudv$
がなりたつ．
命題
曲面$f$上の区分的になめらかな単純閉曲線(交わらない閉曲線)
$C=C_1+\cdots +C_n$
によって囲まれた単連結な閉領域を$D$とする．このとき次が成り立つ．
$\displaystyle \int_{C}k_gds=\sum_{i=1}^n\int_{C_i}k_gds=\sum_{i=1}^n\int_{C_i}d\theta-\iint_{D}K(u,v)d\sigma$
ここで，$k_g$は曲線$C$の測地曲率，$K(u,v)$は曲面$f$のガウス曲率,$d\sigma$は曲面の面積要素．
証明
$\displaystyle \int_{C}k_gds=\int_{C}(\dfrac{d\theta}{ds} +\dfrac{G_u}{2\sqrt{G}}\dfrac{dv}{ds})ds$
$\displaystyle =\int_{C}d\theta+\int_{C}\dfrac{G_u}{2\sqrt{G}}dv$
ここで第2項は
$(\sqrt{G})_u=\dfrac{G_u}{2\sqrt{G}}$
であるから
$\displaystyle \int_{C}\dfrac{G_u}{2\sqrt{G}}dv=\int_{C}(\sqrt{G})udv=\iint_{D}(\sqrt{G})_{uu}dudv$
$K(u,v)=-\dfrac{(\sqrt{G})_{uu}}{\sqrt{G}}$
より
$\displaystyle =-\iint_{D}K(u,v)\sqrt{G}dudv$
ここで，曲面$f$の面積を要素$\sqrt{G}dudv$を$d\sigma$とおけば
$=-\iint_{D}K(u,v)d\sigma$
したがって，求める式
$\displaystyle \int_{C}k_gds=\sum_{i=1}^n\int_{C_i}d\theta-\iint_{D}K(u,v)d\sigma$
が得られた．

§2.7 Egregium Theory

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