$\S 2.6$ Egregium Theory すでに，曲面のガウス曲率は第１基本量だけで決まると述べましたが，この式を導きだすには， 曲面論の基本定理の理解が必要です． 曲面が与えられれば，第1基本形式,第2基本形式 $I=g_{ij}du^idu^j\cdots (*)$ $II=b_{ij}du^idu^j\cdots (**)$ が決まりますが，逆に $g_{11},g_{12},g_{22}(g_{11}g_{22}-(g_{12})^2 > 0),b_{11},b_{12},b_{22}$を与えたとき第1基本形式，第2基本形式が$(*),(**)$の曲面が定まるか という問題が曲面論の基本定理です． もう少し詳しく見てみましょう． 曲面$\boldsymbol{f}=(f^1,f^2,f^3)$を与えれば 曲面の基本公式 $\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}$ $\boldsymbol{n}_i=-b_{ij}g^{jk}\boldsymbol{f}_k$ が成り立つ． ここで，基本的な偏微分方程式を考える． 2変数の関数$f(x,y),g(x,y)$が与えらえたとき $\begin{cases} \dfrac{\partial z(x,y)}{\partial x}=f(x,y)\\ \dfrac{\partial z(x,y)}{\partial y}=g(x,y)\end{cases}\cdots (\sharp) $ を満たす$z(x,y)$を考えよう．$z(x,y)$が常に存在するわけではないことが分かる． すなわち$z(x,y)$が存在するなら $\dfrac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}$ より $\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial g(x,y)}{\partial x} \cdots (\flat)$ が成り立つ． すなわち，$(\flat)$は$(\sharp)$の解が存在するための必要条件です． 実は$(\flat)$が十分条件になっており，$(\flat)$を偏微分方程式$(\sharp)$の可積分条件という． 曲面の基本定理を見てみよう． $\boldsymbol{f}_{ij},\boldsymbol{n}_i$が定まっているからこの偏微分方程式の可積分条件は $\boldsymbol{f}_{ijk}=\boldsymbol{f}_{ikj},\boldsymbol{n}_{ij}=\boldsymbol{n}_{ji}$ である．すなわち，この2条件を満たせば与えられた第1基本形式，第2基本形式の曲面がただ一つ在する． この２つの条件を計算する．まず， $\boldsymbol{f}_{ijk}=\boldsymbol{f}_{ikj}$ について． $\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma _{ij}^m\boldsymbol{f}_m+b_{ij}\boldsymbol{n}$ より $\boldsymbol{f}_{ijk}=(\Gamma _{ij}^m)_k\boldsymbol{f}_m+\Gamma _{ij}^m\boldsymbol{f}_{mk}+(b_{ij})_k\boldsymbol{n}+b_{ij}\boldsymbol{n}_k$ $=((\Gamma_{ij}^m)_k+\Gamma _{ij}^s\Gamma_{sk}^m -b_{ij}b_{ks}g^{sm})\boldsymbol{f}_m+((b_{ij})_k+\Gamma _{ij}^sb_{sk})\boldsymbol{n}$ $\boldsymbol{f}_{ijk}-\boldsymbol{f}_{ikj}=0$ より， 接平面成分は $(\Gamma _{ij}^m)_k-(\Gamma _{ik}^m)_j+\Gamma _{ij}^s\Gamma_{sk}^m-\Gamma_{ik}^s\Gamma _{sj}^m -b_{ij}b_{ks}g^{sm}+b_{ik}b_{js}g^{sm}=0 \ \ (m=1,2)\cdots (*)$ 法線成分は $(b_{ij})_k-(b_{ik})_j+\Gamma _{ij}^sb_{sk}-\Gamma _{ik}^sb_{sj}=0 \ \ \cdots (**)$ $(*)$をガウスの可積分条件，$(**)$をコダッチの可積分条件という． $(*)$を見てみよう．$g_{ij}$と$b_{ij}$の関係式が出てきました． 内積 $\boldsymbol{f}_{121}\cdot \boldsymbol{f}_2$ を計算する． ガウスの可積分条件の後半の2項を計算すると $(-b_{12}b_{1s}g^{sm}+b_{11}b_{2s}g^{sm})g_{m2}$ $=-(b_{12})^2+b_{11}b_{22}$ したがって $-((\Gamma _{12}^m)_1-(\Gamma _{11}^m)_2+\Gamma _{12}^s\Gamma_{s1}^m-\Gamma_{11}^s\Gamma _{s2}^m)g_{m2} =b_{11}b_{22}-(b_{12})^2\cdots (***)$ $(***)$がガウスが驚いたというTheorema egregium，すなわち$b_{11}b_{12}-(b_{12})^2$を第1基本量で表す式です． $(***)$の左辺は $R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ m} =-\left((\Gamma _{ij}^m)_k-(\Gamma _{ik}^m)_j+\Gamma _{ij}^s\Gamma_{sk}^m-\Gamma_{ik}^s\Gamma _{sj}^m\right)$ $R_{ijkl}=g_{lm}R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ m}$ と置けば， $R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}^2$ となる． $R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ m},R_{ijkl}$をともに曲率テンソルと呼ぶ．テンソルは後で学ぶ．
第１基本形式が
次に，ガウスの可積分条件$(*)$,コダッチの可積分条件$(**)$にいくつの独立な式があるかを調べよう．
可積分条件は$\boldsymbol{f}_{ijk}=\boldsymbol{f}_{ikj}$だけでなく，$\boldsymbol{n}_{ij}=\boldsymbol{n}_{ji}$もある．すでに3つ独立な式があるから,
ほかにも独立な式が出てきたらややこしくなる
(6条件より3関数を求めるので可積分条件は3つの独立な式であってほしい)．
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