$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき
$d_YX=(Y^j\dfrac{\partial X^k}{\partial u^j}+X^iY^j\Gamma_{ij}^k)\boldsymbol{f}_k+X^iY^jb_{ij}\boldsymbol{n}$
であるから$d_{Y}X$の式より，$X,Y$は曲面$\boldsymbol{f}$のベクトル場であるが，$d_YX$は曲面$\boldsymbol{f}$のベクトル場ではない．
$d_XY-d_YX$を計算する．
$\Gamma _{ij}^k,b_{ij}$は共に$i,j$に関して対称であるから$d_YX$の式の第2項と第3項が消えるから
$d_XY-d_YX=(X^i\dfrac{\partial X^k}{\partial u^i}-Y^i\dfrac{\partial X^k}{\partial u^i})\boldsymbol{f}_k$
より$d_XY-d_YX$は曲面のベクトル場である．このベクトル場を$[X,Y]$と表し， $X,Y$のブラケット積または交換子積と呼ぶ．このベクトル$[X,Y]$は後で学ぶ接続とは関係ない，$X,Y$より決まるベクトルで ある．

命題
ブラケット積$[X,Y]$の関数への作用は
$[X,Y]h=XYh-YXh(=d_Xd_Yh-d_Yd_Xh)$ である．
証明
$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき
$Yh=Y^i\dfrac{\partial h}{\partial u^i}$
より
$X(Yh)=X^j\dfrac{\partial Y^i}{\partial u^j}\dfrac{\partial h}{\partial u^i} +X^jY^i\dfrac{\partial ^2h}{\partial u^i\partial u^j}\cdots (*)$
したがって
$XYh-YXh=X^j\dfrac{\partial Y^i}{\partial u^j}\dfrac{\partial h}{\partial u^i} -Y^j\dfrac{\partial X^i}{\partial u^j}\dfrac{\partial h}{\partial u^i}$　　(∵$(*)$の第2項が消える)
$=(X^j\dfrac{\partial Y^i}{\partial u^j}\dfrac{\partial }{\partial u^i} -Y^j\dfrac{\partial X^i}{\partial u^j}\dfrac{\partial }{\partial u^i})h$
$=[X,Y]h$

$\boldsymbol{f}_i,\boldsymbol{f}_j$のブラケット積$[\boldsymbol{f}_i,\boldsymbol{f}_j]$は
$[\boldsymbol{f}_i,\boldsymbol{f}_j]=d_{\boldsymbol{f}_i}\boldsymbol{f}_j-d_{\boldsymbol{f}_j}\boldsymbol{f}_ i=\boldsymbol{f}_{ji}-\boldsymbol{f}_{ij}=\boldsymbol{0}$
である．

曲面$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$上定義された2つのベクトル場$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$に対して$X$の$Y$への作用$d_XY$ を定義した．これは微分学の方向微分のことである．$d_XY$を$X$の$Y$への普通微分商と呼ぶ．

定義
曲面$\boldsymbol{f}$上のベクトル場$X,Y$に対して$D_XY$を
$D_XY=(d_XY)^T$
によって定義する．$D_XY$を$Y$の$X$方向の共変微分商と呼ぶ．ここで$( \ \ )^T$は $\mathbb{R}^3$におけるベクトルの接平面への正射影である．

さて．ここで注意することがあります．
ここでは，曲面を
$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
と媒介変数表示して$D_XY$を定義しています．これが曲面の固有の値，すなわち，他の媒介変数表示でも同じになるかを確認する必要があります． これは曲面を研究するときに常に付きまとうことで，案外煩雑です．
この問題を解決しましょう．
$D_XY=(d_XY)^T$
において，$d_XY$は$\mathbb{R}^3$のベクトルと考えて微分しているので，曲面の媒介変数は関係ありません．さらに $( \ \ )^T$は曲面の接平面への正射影ですから，これも媒介変数表示には関係ありません．
したがって，$D_XY$は曲面の媒介変数表示の影響を受けない固有のベクトルです．

$X=X^i\boldsymbol{f}_i, \ Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$
のとき
$d_XY=(X^i\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+X^iY^j\Gamma _{ij}^k)\boldsymbol{f}_k+X^iY^jb_{ij}\boldsymbol{n}$
であるから
$D_XY=(X^i\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+X^iY^j\Gamma _{ij}^k)\boldsymbol{f}_k　\cdots (*)$
である．
特に
$D_{\boldsymbol{f}_j}\boldsymbol{f}_i=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k$
であり$(*)$は積に対するの微分の公式に従い
$D_{X^i\boldsymbol{f}_i}(Y^j\boldsymbol{f}_j)$
$=X^iD_{\boldsymbol{f}_i}(Y^j\boldsymbol{f}_j)$
$=X^i(\dfrac{\partial Y^j}{\partial u^i}f_j+Y^j\Gamma _{ji}^kf_k)$
$=X^i(\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+Y^j\Gamma _{ij}^k)\boldsymbol{f}_k$
となる．なお，多くの場合で$\Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k$であり， その時は式の変形で$i,j$が交換される．

曲面上の2つのベクトル$X,Y$に対して共変微分商$D_XY$が$(d_XY)^T$によって定義されたが，これは曲面を $\mathbb{R}^3$の部分集合とみて$\mathbb{R}^3$における微分を用いて定義した．リーマンの主張は曲面を$\mathbb{R}^3$の部分集合とみるのではなく， 曲面だけを用いて表そうといいうのである．これは
$\boldsymbol{f}:U(\subset \mathbb{R}^2)\to \mathbb{R}^3$
の時，$U$上で第1基本形式を与えて扱おうというのである．
だから，$D_XY$は$U$上だけで，すなわち外部を使わないで定義する必要があり，これはどうしても乗り越えなければならない道です．

これは，次のように行います．
$D_XY$の満たす性質を調べる．その中のいくつかを選び，その性質を満たす
$(X,Y)\mapsto D_XY$
はただ一つに限る．

それでは$D_XY=(d_XY)^T$の満たす性質を見ていきます．
$X,Y,Z$は曲面上のベクトル場，$g,h$は曲面上の関数とする．
$1. \ D_{X+Y}Z=D_XZ+D_YZ, \ D_{gX}Y=gD_XY$
$2. \ D_X(Y+Z)=D_XY+D_XZ$
$3. \ D_X(gY)=(Xg)D_XY+gD_XY$
が成り立ちます．
これは，
$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき
$d_YX=(Y^j\dfrac{\partial X^k}{\partial u^j}+X^iY^j\Gamma_{ij}^k)\boldsymbol{f}_k+X^iY^jb_{ij}\boldsymbol{n}$
より示してもよいがここでは
$D_XY=(d_XY)^T$
から導き出す．
３だけ証明する．
$\mathbb{R}^3$で$Y=(Y_x,Y_y,Y_z)$とおくと
$d_X(gY)=d_X(gY_x,gY_y,gY_z)$
$=(d_X(gY_x),d_X(gY_y),d_X(gY_y))$
$=X(g)(Y_x,Y_y,Y_z)+g(d_XY_x,d_XY_y,d_XY_z)$
$=X(g)(Y_x,Y_y,Y_z)+gd_XY$
したがって
$D_X(gY)=(d_X(gY))^T=X(g)Y+g(d_XY)^T$
$=X(g)Y+gD_XY$

ここで，上記条件の1,2,3は$D$の計算規則であることに注意しよう．
ベクトル場$X,Y$に対して演算
$(X,Y)\mapsto D_XY$
が上記の1,2,3を満たせばベクトル場の基底$\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2\}$に対して
$D_{\boldsymbol{f}_i}\boldsymbol{f}_j=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k$ となる$\Gamma _{ij}^k (i,j,k=1,2)$を任意に定めると$D_XY$が計算できる．
実際，$X=X^i\boldsymbol{f}_i,Y=Y^i\boldsymbol{f}_i$のとき
$D_XY=D_{X^i\boldsymbol{f}_i}(Y^j\boldsymbol{f}_j)$
$=X^iD_{\boldsymbol{f}_i}(Y^j\boldsymbol{f}_j)$
$=X^i(\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}\boldsymbol{f}_k+Y^jD_{\boldsymbol{f}_i}\boldsymbol{f}_j)$
$=X^i(\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+y^j\Gamma _{ij}^k)\boldsymbol{f}_k$
となる．

ここまでは，曲面
$\boldsymbol{f}:U(\subset \mathbb{R}^2)\to \mathbb{R}^3;(u^1,u^2)\mapsto \boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
で曲面$\boldsymbol{f}$上のベクトルは$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$で表してきたが， これからな曲面$\boldsymbol{f}$の代わりに$U$上に第１基本形式 $I=g_{ij}du^idu^j$を定めたところで考える．この空間を$(U,I)$と表し抽象曲面と呼ぶ．
$U$上では，接ベクトル$\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2$はそれぞれ
$\dfrac{\partial }{\partial u^1},\dfrac{\partial }{\partial u^2}$
と表すことが多い．ここでは
$\frac{\partial }{\partial u^i}$を$\partial _{u^i}$と表すことにする．
$U$上のベクトル場全体を$\mathcal{X}(U)$と表す．
定義
抽象曲面$U$上のアフィン接続$D$とは，$U$上の任意の2つのベクトル場$X,Y$に対して新しいベクトル場$D_XY$を定める
$D:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U) \to \mathcal{X}(U);(X,Y)\mapsto D_XY$
で任意の$X,Y,Z \in \mathcal{X}(U)$および，$U$上の任意の関数$f$に対して次の条件を満たすものである．
$1. \ D_{X+Y}Z=D_XZ+D_YZ, \ D_{fX}Y=fD_XY$
$2. \ D_X(Y+Z)=D_XY+D_XZ$
$3. \ D_X(fY)=(Xf)D_XY+fD_XY$

$D$が$1,2,3$を満たすとき，
$D_{\partial _{u^i}}\partial _{u^j}=\Gamma _{ji}\partial _{u^k}\cdots (\sharp)$
を満たす8個の関数$\Gamma _{ji}^k$を任意に定めれば$D_XY$が定まる．
実際
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^j\partial _{u^j}$
のとき
$D_XY=D_{X^i\partial _{u^i}}Y^j\partial _{u^j}$
$=X^iD_{\partial _{u^i}}(Y^j\partial _{u^j})$
$=(X^i\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+X^iY^j\Gamma _{ji}^k)\partial _{u^k}$
である．
$(\sharp)$より定まる$\Gamma _{ji}^k$をアフィン接続$D$の接続係数と呼ぶ．
なお，アフィン接続では$\Gamma _{ij}^k=\Gamma _{ji}^k$は仮定しない．
アフィン接続は抽象曲面上に いくらでも定義できる．
ただ一つの接続が決まるためにはもう少し条件が必要である．
ベクトル場$X,Y$のブラケット積$[X,Y]$を考える．
これは関数$f$に対して
$[X,Y]f=XYf-YXf$
定義したもので，曲面の接続とは無関係に定義されるものである．
すでに，
$D_XY:=(d_XY)^T$
と定義した$D$では
$D_XY-D_YX=[X,Y]$
が成り立つことが示されている．これも条件の1つである．

$4.$2つのベクトル場$X,Y$に対して
$D_XY=D_YX-[X,Y]=0$
が成り立つ．

アフィン接続のもと条件$4$を調べよう．
$X=X^i\partial _{u^i},Y=Y^j\partial _{u^j}$のとき
$[X,Y]=\left(X^i\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}-Y^i\dfrac{\partial X^k}{\partial u^i}\right) \partial_{u^k}$
一方接続係数が$\Gamma _{ij}^k$のアフィン接続$D$では
$D_XY-D_YX=(X^i\dfrac{\partial Y^k}{\partial u^i}+X^iY^j\Gamma _{ji}^k)\partial _{u^k} -(Y^i\dfrac{\partial X^k}{\partial u^i}+Y^iX^j\Gamma _{ji}^k)\partial _{u^k}$
$=[X,Y]+X^iY^j(\Gamma _{ji}^k-\Gamma _{ij}^k)\partial _{u^k}$
したがって，条件４は
$D_XY-D_YX-[X,Y]=0 \Leftrightarrow \Gamma _{ji}^k=\Gamma _{ij}^k \ \ (\forall i,j,k)$
が成り立つ．

ベクトルの内積について，$\mathbb{R}^3$において
$Y=(Y_x,Y_y,Y_z),Z=(Z_x,Z_y,Z_z)$のとき
内積$Y\cdot Z=Y_xZ_x+Y_yZ_y+Y_zZ_z$
であるから
$d_XY\cdot Z=(d_XY)\cdot Z+Y\cdot (d_XZ)$
が成り立つ．
$D_XY=(d_XY)^T$で定義した接続$D$で調べよう．
$D_X(Y\cdot Z)=d_X(Y\cdot Z)=(d_XY)\cdot Z+Y\cdot (d_XZ)$
$Y,Z$は接ベクトル場であるから，$d_XY,d_XZ$の法線ベクトル成分は無視してよい．
$=(D_XY)\cdot Z+Y\cdot (D_XZ)$
これが5番目の条件である．
$5.$2つのベクトル場$X,Y,Z$および内積$\cdot$について
$D_X(Y\cdot Z)=(D_XY)\cdot Z+Y\cdot (D_XZ)$
が成り立つ．

以上の５条件が求める条件である．
定理(リーマン幾何の基本定理)
抽象曲面$(U,I)$上の任意の2つのベクトル場$X,Y$に対して新しいベクトル場$D_XY$を定める
$D:\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U) \to \mathcal{X}(U);(X,Y)\mapsto D_XY$
で任意の$X,Y,Z \in \mathcal{X}(U)$および，$U$上の任意の関数$f$に対して次の5条件を満たすものはただ一つに定まる．
$1. \ D_{X+Y}Z=D_XZ+D_YZ, \ D_{fX}Y=fD_XY$
$2. \ D_X(Y+Z)=D_XY+D_XZ$
$3. \ D_X(fY)=(Xf)D_XY+fD_XY$
$4. \ D_XY-D_YX=[X,Y]$
$5. \ D_X(Y\cdot Z)=(D_XY)\cdot Z+Y\cdot (D_XZ)$
証明
条件５より
$D_X(Y\cdot Z)=(D_XY)\cdot Z+Y\cdot (D_XZ)\cdots (*)$
$D_Y(Z\cdot X)=(D_YZ)\cdot X+Z\cdot (D_YX)\cdots (**)$
$D_Z(X\cdot Y)=(D_ZX)\cdot Y+X\cdot (D_ZY)\cdots (***)$
$(*)+(**)-(***)$および条件４より
$2(D_XY)\cdot Z=D_X(Y\cdot Z)+D_Y(Z\cdot X)-D_Z(X\cdot Y)$
$+[X,Y]\cdot Z+[Z,X]\cdot Y-[Y,Z]\cdot X\cdots (\flat)$
$D_XY$と任意のベクトル$Z$との内積が確定するから$D_XY$がただ一つに確定することが分かる．
$\Gamma _{ji}^k$を計算する．$[\partial _{u^i},\partial _{u^j}]=0$に注意して
$Y=\partial _{u^i},X=\partial _{u^j},Z=\partial _{u^l}$を$(\flat)$に代入．
$2\Gamma _{ij}^mg_{ml}=\dfrac{\partial g_{il}}{\partial u^j}+\dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u^i}- \dfrac{\partial g_{ji}}{\partial u^l}$
$\therefore 2\Gamma _{ij}^k=g^{lk}(\dfrac{\partial g_{il}}{\partial u^j}+\dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u^i}- \dfrac{\partial g_{ji}}{\partial u^l})\cdots (\sharp)$

抽象曲面$(U,I)$上で定義される，リーマンの基本定理の5条件を満たすアフィン接続$D$をリーマン接続またはLevi-Civita接続と呼ぶ．リーマン接側の 接続係数は$(\sharp)$で与えられ，第1基本量だけで決まる値で，これは曲面の基本公式で得た
$\boldsymbol{f}_{ij}=\Gamma _{ij}^k\boldsymbol{f}_k+b_{ij}\boldsymbol{n}$
の$\Gamma _{ij}^k$と同じである．
$D_XY$を$Y$の$X$による共変微分商という．

§3.3 ベクトルの平行移動

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