つぎに平面$\pi$上で，円$C$の直径と円$C'$の直径$A'B'$の関係を考える．
直角三角形$\triangle OA'H,\triangle OB'H$を考えることにより
$OA\cdot OA'=OH^2=OB\cdot OB'$
したがって，4点$A,A',B',B$は同一円周上にある．$\cdots (\flat)$

次に円$C'$の中心，すなわち線分$A'B'$の中点$C'$ を調べる．　 平面$\pi$上で考える．右図で線分$AB,A'B'$はそれぞれ円$C,C'$の直径である．
$\triangle OAB$の外接円(球$S$の平面$\pi$による切り口)の$A,B$における接線の交点を$F$ とし，$F$を通り$A'B'$と平行な直線を引き，辺$OA',OB'$との交点をそれぞれ$D,E$とする．
ここで4点$A,A',B',B$は同一円上にあるから4点$A,D,E,B$も同一円上にある．
右図で
$a=a1=a2=a3$
であるから
$FE=FB$
が成り立つ．同様に$FD=FA$.さらに$FA=FB$であるから
$FD=FE$
である．
$DE\parallel A'B'$であるから，$C'$は$OF$と$A'B'$の交点である．
元の立体図形で，点$F$は円$C$を底面とする球面$S$に接する直円錐の頂点であるから， 次のように表現することができる．

命題(Chasles)
点$O$を頂点，円$C$を底面とする円錐で，円$C'$のこの円錐のある平面による切り口なら，円$C'$の中心$C'$は, $C$を底面とする円$C$と点$O$を含む球面に接する直円錐の頂点$F$と$O$を結ぶ直線上にある．

次に，2円$C_1,C_2$が円錐の切り口になるとき，$C_1,C_2$は同一球面上にあることを示す．
円錐の頂点を$O$,2円$C_1,C_2$の中心をそれぞれ$C_1,C_2$,2円$C_1,C_2$を含む平面をそれぞれ$\alpha,\beta$,3点$O,C_1,C_2$を通る平面を$\pi$とする．
このとき
$\pi \perp \alpha,\pi \perp \beta$
である(上記$(\sharp)$)．
平面$\pi$上で考える．
平面$\pi$と円$C_1$との交点を$A,B$,円$C_2$との交点を$A^*,B^*$とする．
$\pi$はそれぞれの円の中心を通るから，$AB,A^*B^*$はそれぞれ直径である．
$OA\cdot OA^*=OB\cdot OB^*$
４点$A,A^*,B^*,B$は同一円周上にあり(上記$(\flat)$)，この円の中心を$D$とすると，２円$C_1,C_2$は $D$を中心とする半径$DA$の球面上にある．
$(\because DC_1\perp \alpha,DC_2\perp \beta)$


次に，逆の命題を,すなわち，２円$C_1,C_2$が一つの球面上にあるとき，
$C_1,C_2$が切り口となる円錐が存在することを示す．
$C_1,C_2$を含む球の中心を$S$とする．
円の中心$C_1,C_2$と$S$で決まる平面を$\pi$とし，$\pi$と円$C_1$との交点を$A,B$，円$C_2$ との交点を$C,D$とする．また$C_1,C_2$を含む平面をそれぞれ$\alpha ,\beta$とする．
まず，$\pi \perp \alpha ,\pi \perp \beta$が成り立つことに注意する$(SC_1 \perp \alpha ,SC_2\perp \beta).$
$AC$の延長と$BD$の延長との交点を$O$とし，$O$は球の外部とする．交点が球の内部のときは$AD$と$BC$ の交点を考える（交点が球$S$の内部のときも考えられるがそれはあとで説明する.次ページの補遺）．
4点$A,C,D,B$は同一円周上にあるから
$OA\cdot OC=OB\cdot OD=R^2$
とおき，反転変換$I(O,R^2)$を考える．
$I(O):A\mapsto C,B\mapsto D$
であり，円$C_1$の像$C_1^*$は$CD$を直径とする円である，この円は$\pi$に垂直な平面すなわち$\beta$ 上にある．したがって円$C_1^*$と円$C_2$は一致する．
$\therefore I(O):C_1 \mapsto C_2$
すなわち，円$C_2$は$O$が頂点，円$C_2$が底面の切り口である．