三角形に内接する最大の正方形・最小の正方形

これからは,三角形に内接する最大の正方形,最小の正方形を考えましょう.
三角形に内接する正方形とは三角形の各辺上に正方形の頂点または辺がある正方形のことです.
ここで,辺とは両端点を含みます.ですから鈍角三角形では右の正方形も内接する正方形として扱いますす.

三角形の内接する正方形といってそれほど簡単ではありません.右の左側の図だけなら それほど問題はありませんが,右側の場合もあるからです.




ここでは,次のように考えましょう.
下の図を見てください.△ABCと1辺の長さ1の正方形があたえられています.
さらに,次のことが成り立ちますので,ドラッグして動かしてください.
1.正方形PQRSはQの周りに90度回転回転します.右下の四分円上の点をドラッグしましょう.
2.Pを通りABに平行な直線,Rを通りACに平行な直線,Sを通りAB,ACに 平行な直線が引いてあります.
3.正方形を回転していくと,△ABCに相似な,最初は頂点X,次に頂点Y,Zの 三角形に正方形PQRSが内接します.
4.3で調べたX,Y,Zが頂点である△ABCに相似な三角形のうち,最小の三角形,最大の 三角形がそれぞれ,内接する最大の正方形,最小の正方形を与える場合です.(相対的に考えましょう)
5.三角形の大きさはX,Y,Zの座標に注目するのが分かりやすい.
6.頂点Aは自由に動き,頂点B,Cは横に動きます.




 〔△ABCに内接する最大の正方形最小の正方形を求める図です. 右下の4分円の黒点はドラッグすると動き回転だけ,正方形が回転します. そのときのX,Y,Zのy座標に注目し,最大になるときが,内接する正方形は最小になり, 最小になるときが内接する正方形が最大になります. 右にX,Y,Zの座標,左に辺の長さがあります.A,B,Cをドラッグしていろいろな△ABCで 試してみましょう〕

以上で,図形の意味が分かってもらえたでしょうか.さらに付け加えれば, △ABCと内側の三角形たとえば Xが頂点の三角形とは,AXとBCの交点が相似の中心ですから,その点を中心として, 正方形を相似拡大(倍率は(Aのy座標)/(Xのy座標))すれば,△ABCに内接します. その拡大倍率が一番大きいときが最大の正方形が内接し,拡大倍率が一番小さいとき,最小の正方形 が内接するということです.
皆さんには,まず実験することを薦めます.鋭角三角形の場合,鈍角三角形の場合にそれぞれ, どのような内接正方形が最大,最小になるかを上の図で調べて見ましょう.たぶん結果が予想できると思います.


この問題が解決することは,
最大の正方形は,三角形が与えられとき,切り取ることの出来る最大な正方形であり,
最小の正方形は,三角形が与えられたとき,三角形内で1回転ができる最大の正方形のことです.
この問題の解決の詳しい内容は,次のPDFファイルを参照くご覧下さい.


詳しい内容

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