三角形に内接する正方形

三角形に内接する最大の正方形・最小の正方形

これからは，三角形に内接する最大の正方形，最小の正方形を考えましょう．
三角形に内接する正方形とは三角形の各辺上に正方形の頂点または辺がある正方形のことです．
ここで，辺とは両端点を含みます．ですから鈍角三角形では右の正方形も内接する正方形として扱いますす．

三角形の内接する正方形といってそれほど簡単ではありません．右の左側の図だけならそれほど問題はありませんが，右側の場合もあるからです．

下にある画像は図形ソフトCabriⅡ で作成したものです．
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ここでは，次のように考えましょう．
下の図を見てください．△ＡＢＣと１辺の長さ１の正方形があたえられています．
さらに，次のことが成り立ちますので，ドラッグして動かしてください．
１．正方形ＰＱＲＳはＱの周りに９０度回転回転します．右下の四分円上の点をドラッグしましょう．
２．Ｐを通りＡＢに平行な直線，Ｒを通りＡＣに平行な直線，Ｓを通りＡＢ，ＡＣに平行な直線が引いてあります．
３．正方形を回転していくと，△ＡＢＣに相似な，最初は頂点Ｘ，次に頂点Ｙ，Ｚの三角形に正方形ＰＱＲＳが内接します．
４．３で調べたＸ，Ｙ，Ｚが頂点である△ＡＢＣに相似な三角形のうち，最小の三角形，最大の三角形がそれぞれ，内接する最大の正方形，最小の正方形を与える場合です．（相対的に考えましょう）
５．三角形の大きさはＸ，Ｙ，Ｚの座標に注目するのが分かりやすい．
６．頂点Ａは自由に動き，頂点Ｂ，Ｃは横に動きます．

　〔△ＡＢＣに内接する最大の正方形最小の正方形を求める図です．右下の４分円の黒点はドラッグすると動き回転だけ，正方形が回転します．そのときのＸ，Ｙ，Ｚのｙ座標に注目し，最大になるときが，内接する正方形は最小になり，最小になるときが内接する正方形が最大になります．右にＸ，Ｙ，Ｚの座標，左に辺の長さがあります．Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグしていろいろな△ＡＢＣで試してみましょう〕

以上で，図形の意味が分かってもらえたでしょうか．さらに付け加えれば， △ＡＢＣと内側の三角形たとえばＸが頂点の三角形とは，ＡＸとＢＣの交点が相似の中心ですから，その点を中心として，正方形を相似拡大（倍率は（Ａのｙ座標）／（Ｘのｙ座標））すれば，△ＡＢＣに内接します．その拡大倍率が一番大きいときが最大の正方形が内接し，拡大倍率が一番小さいとき，最小の正方形が内接するということです．
皆さんには，まず実験することを薦めます．鋭角三角形の場合，鈍角三角形の場合にそれぞれ，どのような内接正方形が最大，最小になるかを上の図で調べて見ましょう．たぶん結果が予想できると思います．

この問題が解決することは，
最大の正方形は，三角形が与えられとき，切り取ることの出来る最大な正方形であり，
最小の正方形は，三角形が与えられたとき，三角形内で１回転ができる最大の正方形のことです．
この問題の解決の詳しい内容は，次のＰＤＦファイルを参照くご覧下さい．

詳しい内容

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