チェバ・メネラウスの定理の続き

ネラウスの定理，チェバの定理を利用して，今まで学んで命題を見直してみましょう．

命題（内心）
　 △ABCの各内角の２等分線をAP，BQ，CRは１点で交わる．



命題（重心）
△ABCの辺BC，CA，ABの中点をそれぞれP，Q，Rとすると AP，BQ，CRは１点で交わる．



この２つの命題はチェバの定理の逆よりすぐわかります．
ちなみに内心の場合は
BP／PB＝AB／AC
等を用い，
BP/PC・CQ/QA・AR/RB=AB/AC・BC/BA・CA/CB=1
重心の場合は
BP／PB＝１
より BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1
となります．

この機会に三角形の垂心，傍心を学びましょう．

定義
△ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線AJ，BK，CLは１点で交わりこの交点Hを△ABCの 垂心という．




三角形の３本の垂線が１点で交わることは，
BJ＝ABcosB
CJ＝ACcosC
CK＝BCcosC
AK＝ABcosA
AL＝CAcosA
BL＝BCcosB
より，チェバの定理の逆より成り立ちます．


三角形の３本の垂線が１点で交わることのチェバの定理の逆を用いない証明は次の通りです．



△ABCの頂点Aを通り辺BCに平行な直線， 頂点Bを通り辺CAに平行な直線，頂点Cを通り辺ABに平行な直線を 引き交点を図のようにP，Q，Rとします．
このとき四角形ABCQ，RBCAはともに 平行四辺形ですから，頂点Aは線分RQの中点になります．
同様にB，CはそれぞれRP，PQの中点です．
RQ‖BCより，AかBCに引いた垂線は三角形PQRで考えると 辺RQの垂直２等分です． 同様に，BからACに引いた垂線は辺RP の垂直２等分線，CからABに引いた垂線は辺PQの２等分線です．
△PQRの各辺の垂直２等分線は１点で交わるから，△ABCで各頂点から 対辺に引いた垂線は１点で交わります．
なお，証明から分かるように△ABCの垂心と△PQRの外心は一致します．

定義
△ABCの１内角の２等分線と他の２角の外角の２等分線は１点で交わり，この点を△ABCの 傍心という．
通常∠Aの２等分線上の傍心をＩA，∠Bの２等分線上の傍心をＩB， ∠Cの２等分線上の傍心をＩCで表す．



１点で交わることは次の通りです．
各２等分線と対辺またはその延長との交点をP，Q，Rとすれば，三角形の内角，外角の２等分線の性質より

BP／PC＝|AB|／|AC|
CQ／QA＝−|BC|／|BA|
AR／RB＝−|AC|／|BC|
|AB|は線分ABの長さをあらわす．
BP/PC・CQ/QA・AR/RB=|AB|/|AC|・-|BC|/|BA|・-|AC|/|BC|=1
より１点で交わることが分かる．

チェバの定理を利用して，３直線が一点で定まることに より定まる三角形固有の点を２つ求めましょう．

命題
△ABCの内接円と辺BC，CA，ABとの接点をそれぞれP，Q，Rとする． このとき，AP，BQ，CRは一点で交わる．




内接円の性質より
AQ＝AR，
BR＝BP，
CP＝CQ
が成り立つので， チェバの定理の逆より 成り立ちます．

この交点をGergonne点という． もう１つは次に内心と関連させて考えます．
△ABCの内心は各辺を
BP：PC＝AB：AC，
CQ：QA＝BC：BA，
AR：RB＝AC：BC
と内分した点をP，Q，RとしAP，BQ，CRが 1点で交わりその交点によって定義しました，
P，Q，RをAB，BC，CAの逆数による比すなわち
BP：PC＝１／AB：１／AC＝AC：AB，
CQ：QA＝BA：BC，
AR：RB＝BC：BA
によって定義されたP，Q，Rについても３直線 AP，BQ，CRが１点で交わります．
したがって次の命題が成り立ちます．




命題
△ABCの辺BC，CA，AB上に点P，Q，Rをそれぞれ
BP：PC＝１／AB：１／AC＝AC：AB，
CQ：QA＝１／BC：１／BA＝BA：BC，
AR：RB＝１／BA：１／BC＝BC：BA
を満たすようにとる．このとき，AP，BQ，CRは１点で交わる．

この交点にも名前がついていると思うのですが，わたしは分かりません．
なお，垂心についても同じ議論ができます(下図)．

同一法の応用

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