証明１
逆の命題

△APDが正三角形
⇒∠PBC＝∠PCB＝１５°

を証明する．
証明は
△APDが正三角形のとき，∠PAB＝３０°およびAP＝ABより∠PBC＝１５°． 同様に∠PCB＝１５°．
となる．

仮定を満たすPは存在し，Bを通りBCと１５°をなす直線と，Cを通り CBと１５°をなす直線の交点Pはただ一つ存在するので，証明が終了します．

直接証明するには次のようにすればよい．




証明2
△QCD≡△PBCである△QCDを図のように正方形の内部に作ります．
△PCQは正三角形ですから(∵　PC=QC,∠QCP=60°)
線分PCの中点をMとすると，
∠MQC＝３０°，
∠CQD＝１５０°
したがって，３点M，Q，Dは一直線上にある．
したがって，DQは線分PCの 垂直２等分線よりDP＝DC．
∠PDC＝３０°より△PADは正三角形．

初等幾何的解答は簡単ではないが，座標軸を用いて計算でやると簡単である．
証明3
上の図で
B(0,0),C(2,0),A(0,2)
と座標軸を定めると
$P(1,\tan 15^{\circ})$
である．
$\tan ^215^{\circ}=\dfrac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}$
$=(2-\sqrt{3})^2$
$\therefore \tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$
したがって，
$P(1,2-\sqrt{3})$
より$\triangle PDA$は正三角形である．

例２（Morleyの定理）
任意の三角形で，各内角の３等分線を引く．
このとき，２角の隣り合う３等分線の交点を 結ぶと正三角形になる．



意味を説明します．
∠A，∠B，∠Cの３等分線を引き，
∠B，∠Cの３等分線のうち， 辺BC側の交点をP，
∠C，∠Aの３等分線のうち， 辺CA側の交点をQ，
∠A，∠Bの３等分線のうち， 辺AB側の交点をRとすると，△PQRは正三角形になるということです．

この証明は難解であるといわれますが，同一法を用いているところを明確にすれば決して 難しくはありません．
証明に入りましょう．




∠Bの３等分線，∠Cの３等分線を引き，その交点を図のようにP，Dとします．
△DBCに注目すれば，点Pは△DBCの内心です．
したがって，
∠BDP＝∠CDP
が成り立ちます．
ここで，線分CD上に点Q，線分BD上に点Rを
∠DPQ＝３０°，
∠DPR＝３０°
を満たすようにとります．
△PQD≡△PRD
より
PQ＝PR
さらに
∠QPR＝６０°
ですから△PQRは正三角形です．
さてここで同一法を用います．
すなわち，

DC上に点Q，DB上に点Rを∠DPQ＝∠DPR＝３０° を満たすようにとる．
→AQ，ARは∠Aの３等分線である
（仮定を△PQRが正三角形では少し問題があります．それは検討で扱います）

ことが証明できれば，Q,Rが仮定を満たせば△PQRは正三角形で，∠Aの三等分線とDB，DCとの交点は １つずつしかないので２つの条件が同値になります．
したがって証明が完成します．
証明を完成させましょう．




BA上に点EをBE＝BP，
CA上に点Fを
CF＝CP
を満たすようにとれば，
△BPR≡△BER，
△CPQ≡△CFQ
および△PQRが正三角形より
ER＝RQ＝QF
が成り立ちます．
次に∠ERQ＝∠RQFを示します．
∠A＝３α，∠B＝３β，∠C＝３γ
とおき計算します．
∠BDC
＝１８０°−２（β＋γ）
＝６０°＋２α　
（∵α＋β＋γ＝６０°）
したがって，
DR＝DQ（∵△PRD≡△PQD）
および
∠BDC=60°+2α
より
∠DRQ
＝６０°−α
∴　∠DRP＝１２０°−α
＝∠DRE(∵補角が等しい)
∴　∠ERQ＝∠DRE＋∠DRQ＝１８０°−２α
同様に
∠RQF
＝１８０°−２α
(∵　β，γに関係しないαだけの値である．必要ならRをQ，EをF,BをCに替えればよい)
以上で
∠ERQ＝∠RQF＝１８０°−２α
が示せました．
なおα＜６０°より
１８０°−２α＞６０°
で１８０°ー２α＝６０°のときはＥ，Ｆが一致し，１８０°ー２α＜６０°は REとQFが交差してしまう．




今までに証明したことは
ER＝RQ＝QFと
∠ERQ＝RQF＝１８０°−２α
です．
AR，AQが∠Aの３等分になっていることを示すのはもう一息です．
∠ERQの２等分線と∠RQFの２等分線の交点をOとすれば，
△OER
≡△ORQ
≡△OQF
(２辺とその間の角がそれぞれ等しい)
より
OE＝OR ＝OQ＝OF
したがって，４点E，R，Q，FはOを中心とする同一円周上にあります．
さらに，
∠EOF＝６α，かつ∠A＝３αですから，
５点A，E，R，Q，Fは同一円周上にあることが分かり
ER＝RQ＝QF
より AR，AQは∠Aの３等分線であることが証明できました．
以上でMorleyの定理の証明が完成しました．

証明は完成しましたが証明の中で簡単に述べましたが，もう一度，同一法を用いたところを確認してみましょう．
示した命題は逆を考えれので，命題の前提，仮定，結論をきちんと述べる必要があります．
示した命題は
命題
△ABCで∠Bの３等分線と∠Cの３等分線の交点のうち，一番辺BC側の交点をP,一番 頂点A側の交点をDとする．線分CD上に点Q,線分BD上に点Rをとる．
このとき
∠DPQ=30°，∠DPR=30°$\Longrightarrow$ AR,AQは∠Aの３等分線

です．
この命題で，仮定を満たすQ,Rは存在し，結論を満たすQ,Rただ一つしか存在しないので，逆が成り立ちます．
このことから，∠Aの３等分線のうちのAB側のものとDBとの交点をR,AC側のものとDC との交点をQとすれば
∠DPQ=30°，∠DPR=30°
となり，△PQRが正三角形となる．


続く

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