チェバ・メネラウスの定理
例６（メネラウスの定理）
△ABCの辺AB，ACまたはその延長上にそれぞれ
点R，Qがある．ただしRQとBCは平行でない．
直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ．
３点P，Q，Rが一直線上にある
$\Longrightarrow$ (BP／PC)・(CQ／QA)・(AR／RB)＝−１
ここでBP／PC等は向きまで考え，BP，PCの向きが同じとき正で，反対のとき負とする．
証明
Cを通りPQに平行な直線と直線ABとの交点をDとする．
このとき
BP／PC＝BR／RD，CQ／QA＝DR／RA
より
BP／PC・CQ／QA・AR／RB
＝BR／RD・DR／RA・AR／RB
＝−１
（∵BR／RD＜０，DR／RA＞０，AR／RB＞０）
次の図はR，QがAB，ACの延長上にある場合であるが，証明はまったく同様である．
この定理は，仮定を満たす点が存在し，
R，Qを定めたとき，
BP／PC・CQ／QA・AR／RB＝−１
より
点Pはただ１つ定まるから同値になります．
したがって，メネラウスの定理は次にように表すことができます．
定理（メネラウス）
△ABCの辺AB，ACまたはその延長上にそれぞれ
点R，Qがある．ただしRQとBCは平行でない．
直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ．
３点P，Q，Rが一直線上にある
$\Longleftrightarrow$ (BP／PC)・(CQ／QA)・(AR／RB)＝−１
例８（チェバの定理）
△ABCの辺AB，ACまたはその延長上のそれ点R，Qがある．
直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ．
３直線AP，BQ，CRが１点で交わる
$\Longrightarrow$ BP／PC・CQ／QA・AR／RB＝１
ここでも，メネラウスの定理と同様BP／PC等は向きまで考え，
BP，PCの向きが同じとき正，反対のとき負とする．
証明
△OBC＝Ｓ１，△OCA＝Ｓ２，△OAB＝Ｓ３
とし，比の値をＳ１，Ｓ２，Ｓ３で表します．
なお，ここでは三角形の面積Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３は正
とします．
BP／PC＝Ｓ３／Ｓ２
（∵Ｓ３，Ｓ２でAOが共通で高さがBP：CP）
CQ／QA＝Ｓ１／Ｓ３
AR／RB＝Ｓ２／Ｓ１
したがって
BP／PC・CQ／QA・AR／RB＝１
上の図は，R，Qは辺AB，ACの延長上にとってあります．
このとき，比の符号について注意する必要があります．
Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３は上の証明と同じです．
BP／PC＝Ｓ３／Ｓ２
これは問題ありませんが
CQ／QA，AR／RBは線分の向きを考えて，比の値は負になります．
したがって
CQ／QA＝−Ｓ１／Ｓ３
AR／RB＝−Ｓ２／Ｓ１
より成り立ちます．
仮定を満たす点Pは存在し，R，Qを定めたとき，
BP／PC・CQ／QA・AR／RB＝１
より
点Pはただ１つ定まるから同値になります．
したがって，チェバの定理は次にように表すことができます．
定理（チェバ）
△ABCの辺AB，ACまたはその延長上のそれ点R，Qがある．
直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ．
３直線AP，BQ，CRが１点で交わる
$\Longleftrightarrow$ BP／PC・CQ／QA・AR／RB＝１
メネラウスの定理，チェバの定理で，P，Q，Rはそれぞれ線分BC，CA，ABを内分，外分
する点ですが，外分する点がメネラウスの定理では奇数個，チェバの定理では偶数個であることが右辺の符号より
分かります．
複比の応用としてすでに述べた次の命題は，メネラウスの定理，チェバの定理を用いると
簡単に解決します．
命題
△ABCの辺AB，AC上にそれぞれP，QをとりPC，BQの交点をRとする．
ARとBCとの交点をM，PQとBCとの交点をNとすると，M，Nは線分ABを同じ比に
内分，外分する点である．
証明
チェバの定理より
AP／PB・BM／MC・CQ／QA＝１・・@
メネラウスの定理より
AP／PB・BN／NC・CQ／QA＝−１・A
@，Aより
BM／MC＝−BN／NC
したがって，M，Nは線分ABを同じ比に内分，外分する点である．
続く
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