チェバ・メネラウスの定理

例6(メネラウスの定理)
△ABCの辺AB,ACまたはその延長上のそれ点R,Qがある.
直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ.
3点P,Q,Rが一直線上にある
  → BP/PC・CQ/QA・AR/RB=−1
  ここでBP/PC等は向きまで考え,BP,PCの向きが同じとき正で,反対のとき負とする.




証明
Cを通りPQに平行な直線と直線ABとの交点をDとする.
このとき
BP/PC=BR/RD,CQ/QA=DR/RA
より
BP/PC・CQ/QA・AR/RB
=BR/RD・DR/RA・AR/RB
=−1
(∵BR/RD<0,DR/RA>0,AR/RB>0)
次の図はR,QがAB,ACの延長上にある場合であるが,証明はまったく同様である.



R,Qを定めたとき,
BP/PC・CQ/QA・AR/RB=−1
より 点Pはただ1つ定まるから同値になります.


例8(チェバの定理)
△ABCの辺AB,ACまたはその延長上のそれ点R,Qがある. 直線BC上に点Pをとるとき次が成り立つ.
3直線AP,BQ,CRが1点で交わる
  → BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1
  ここでも,メネラウスの定理と同様BP/PC等は向きまで考え, BP,PCの向きが同じとき正,反対のとき負とする.




証明
 △OBC=S,△OCA=S,△OAB=S とし,比の値をS,S,Sで表します.
なお,ここでは三角形の面積S,S,Sは正 とします.
BP/PC=S/S
(∵S,SでAOが共通で高さがBP:CP)
CQ/QA=S/S
AR/RB=S/S
したがって
BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1




上の図は,R,Qは辺AB,ACの延長上にとってあります.
このとき,比の符号について注意する必要があります.
,S,Sは上の証明と同じです.
BP/PC=S/S
これは問題ありませんが CQ/QA,AR/RBは線分の向きを考えて,比の値は負になります.
したがって
CQ/QA=−S/S
AR/RB=−S/S
より成り立ちます.

R,Qを定めたとき,BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1より 点Pはただ1つ定まるから同値になります.

メネラウスの定理,チェバの定理で,P,Q,Rはそれぞれ線分BC,CA,ABを内分,外分 する点ですが,外分する点がメネラウスの定理では奇数個,チェバの定理では偶数個であることが右辺の符号より 分かります.

前回複比の応用として述べた次の命題は,メネラウスの定理,チェバの定理を用いると 簡単に解決します.

命題
△ABCの辺AB,AC上にそれぞれP,QをとりPC,BQの交点をRとする.
ARとBCとの交点をM,PQとBCとの交点をNとすると,M,Nは線分ABを同じ比に 内分,外分する点である.





証明
チェバの定理より
AP/PB・BM/MC・CQ/QA=1・・@
メネラウスの定理より
AP/PB・BN/NC・CQ/QA=−1・A
@,Aより
BM/MC=−BN/NC
したがって,M,Nは線分ABを同じ比に内分,外分する点である.

続く

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