同一法の続き 同一法が用いることが出来ない，すなわち（１），（２）が成り立たない場合を調べましょう． 例１（中点連結定理） △ABCの辺ABの中点をM，辺AC上に点Nをとる．このとき次が成り立つ． （１）Nが辺ACの中点→MN‖BC （２）Nが辺ACの中点→MN＝BC／２ 証明 △ABCが∽△AMN(２組の辺の比が等しくその間の角が等しい)より，（１）（２） が成り立ちます． 逆すなわち同値かどうかを調べましょう． （１）Mを通りBCに平行な直線は１つしかないから同値です． （２）は少し説明が必要です．MN＝BC／２をみたすNは唯一つとは限らないので， 同値ではありません． しかし，Nを辺ACの中点とし，MN⊥ACやMN＞min(AM，CM）が成り立つとき， Mを中心とする半径 MNの円は辺ACとNでしか交わらないので，（２）も同値にないます．(下図) なお，min(AM，CM）とはAM，CMの短いほうを意味します． 数学は厳密性を こだわるのでAM＝CMの場合もあるのでAM，CMのうち長くないほうと書くのが一般的です． 例２ △ABCの辺BCまたはその延長上の点Mをとる． このとき次が成り立つ． Mが線分BCの中点 →AB２＋AC２＝２AM２＋ BM２＋CM２ 証明 AからBCに下ろした垂線の足をHとする． ここではHが線分MC上の場合に証明する． （左辺）＝AB２＋AC２ ＝AH２＋（BM＋MH）２＋AH２＋（CM−MH）２ ＝２（AH２＋MH２）＋BM２＋CM２ ＝（右辺） 例題２は同値ではない． 実際，証明から分かるように，AからBCに下ろした 垂線の足をHとすると AB２＋AC２ ＝２AH２＋BH２＋CH２ となる． 以上が，同一法が使えない，すなわち同値でない，結論が２つ以上ある場合です． 次に，仮定の真理集合が空集合φの場合を紹介します． 例３　自然数全体よりなる集合をNとする．このとき ｘは集合のNの最大値　 →　ｘはｘ２≦ｘを満たす． この命題は，仮定の真理集合はφですから結論が何であっても命題は真です． また ｘが最大値なら，それより大きい数はなく，ｘが自然数ならｘ２も自然数ですから， 命題は正しいでしょう．さらに，結論を満たすのはｘ＝１だけで結論の真理集合は唯一つの要素よりなります． それでは逆が成り立つかというとそんな馬鹿なことはありません．当然 逆は偽です． どこに問題があるかというと仮定を満たす要素が存在しないからです． 例２で行ったことは決してばかげていることではありません．存在を示すことが重要なこ とであることを意味しています．これは，１９世紀に 存在を示すことの重要性を説明するために紹介された有名な例です． このように仮定を満たす要素が存在することも忘れてはならないことを確認しましょう． これからは同一法を用いて同値を証明する例を紹介します． 例４（三平方の定理） △ABCでAB，ACが与えられている．このとき A＝９０°→BC２＝AB２＋AC２ BC２をAB２＋AC２で定めれば△ABCは 唯一つに決まるので同値になります． 例５（接弦定理） 円Oの弦ABと，点Aを通る直線ATがある． 弦ABに関してTと反対側にある円Oの周上に１点をとりそれをCとする． このとき 直線ATが円Oの接線 →∠BAT＝∠ACB 証明は第２部円の性質で扱いますが，次の図より読み取ってください． 点Aを通りBAとなす角が与えられた角の直線ATは唯一本ですから同値になります． 例６（数列の漸化式） 数列の漸化式で，一般項を類推して，その類推が正しいことの証明は同一法です． 例　ａ１＝２，ａｎ＋１＝ａｎ／（ａｎ＋１） のとき一般項ａｎを求めよ． ｎ＝１，２，３と計算すれすれば簡単に ａｎ＝２／（２ｎ−１） が予想できます． この予想が正しいことを示すには 　　ａｎ＝２／（２ｎ−１） 　→ａｎが漸化式ａ１＝２，ａｎ＋１＝ １／（ａｎ＋１） を満たす を示せば，仮定を満たす数列は存在し，結論を満たす数列はただ１つであるから，漸化式と数列 ａｎ＝２ｎ／（２ｎ−１） が同値であることがわかります． チェバ・メネラウスの定理 目次